初中数学方程与不等式之二元一次方程组经典测试题及解析

初中数学方程与不等式之二元一次方程组经典测试题及解析
一、选择题
1．对于实数a 、b 定义运算“※”：22
()
()
a a
b a b a b ab b a b ⎧-≥=⎨-<⎩※，例如2424428=-⨯=※，若x ，y 是方程组3
3814
x y x y -=⎧⎨-=⎩的解，则y ※x 等于（ ）
A ．3
B ．3-
C ．1-
D ．6-
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据方程组解出x 和y 的值，代入新定义计算即可得出答案. 【详解】 解:∵3
3814x y x y -=⎧⎨
-=⎩
∴21x y =⎧⎨=-⎩
所以()()2
y x=-12=-12-2=-2-4=-6⨯※※．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
2．若是关于x 、y 的方程组
的解，则(a+b)(a ﹣b)的值为( ) A ．15 B ．﹣15
C ．16
D ．﹣16
【答案】B 【解析】 【分析】
把方程组的解代入方程组可得到关于a 、b 的方程组，解方程组可求a ，b ，再代入可求（a+b ）（a-b ）的值． 【详解】 解：∵
是关于x 、y 的方程组
的解，
∴
解得
∴（a+b ）（a-b ）=（-1+4）×（-1-4）=-15． 故选：B ． 【点睛】
本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键．
3．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x 元，每个实心球y 元，则根据题意列二元一次方程组得（ ）
A ．329557230x y x y +=⎧⎨
+=⎩ B ．239557230x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．329575230x y x y +=⎧⎨+=⎩ D ．2395
75230x y x y +=⎧⎨+=⎩
【答案】B 【解析】
分析：根据题意，确定等量关系为：若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，根据所设未知数列方程，构成方程组即可. 详解：设每个排球x 元，每个实心球y 元，
则根据题意列二元一次方程组得：2395
57230x y x y +=⎧⎨
+=⎩
， 故选B ．
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是确定问题中的等量关系，列方程组.
4．已知关于x 的方程x-2m=7和x-5=3m 是同解方程，则m 值为（ ） A ．1 B ．-1
C ．2
D ．-2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据同解方程，可得方程组，根据解方程组，可得答案． 【详解】 解：由题意，得
2753x m x m -=⎧⎨
-=⎩①
②
， 由①得：7+2x m =， 由②得：3+5x m =， ∴7+23+5m m =， 解得：2m =， 故选C. 【点睛】
本题考查了同解方程，利用同解方程得出方程组是解题关键．
5．已知二元一次方程1
34
2
x y
-=的一组解是
x a
y b
=
⎧
⎨
=
⎩
，则63
a b
-+的值为（）
A．11 B．7 C．5 D．无法确定【答案】A
【解析】
【分析】
把二元一次方程1
2
x-3y=4的一组解先代入方程，得
1
2
a-3b=4，即a-6b=8，然后整体代入求
出结果．【详解】
∵
x a
y b
=
⎧
⎨
=
⎩
是二元一次方程
1
2
x-3y=4的一组解，
∴1
2
a-3b=4，
即a-6b=8，
∴a-6b+3=8+3=11．
故选：A．
【点睛】
此题考查二元一次方程的解，解题的关键是运用整体代入的方法．
6．某人购买甲种树苗12棵，乙种树苗15棵，共付款450元，已知甲种树苗比乙种树苗每棵便宜3元，设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元．由题意可列方程组（）
A．
1215450
3
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
B．
1215450
3
x y
y x
+=
⎧
⎨
-=
⎩
C．
1215450
3
x y
y x
+=
⎧
⎨
=-
⎩
D．
1215450
3
x y
x y
+=
⎧
⎨
=-
⎩
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“购买甲种树苗12棵，乙种树苗15棵，共付款450元”可列方程12x+15y＝450；由“甲种树苗比乙种树苗每棵便宜3元”可列方程y﹣x＝3，据此可得．
【详解】
设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元．
由题意可列方程组
1215450
3
x y
y x
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
7．已知方程组
5
430
x y
x y k
-=
⎧
⎨
-+=
⎩
的解也是方程3x－2y=0的解，则k的值是（）
A．k=－5 B．k=5 C．k=－10 D．k=10【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程组
5
430
x y
x y k
-=
⎧
⎨
-+=
⎩
的解也是方程3x－2y=0的解，可得方程组
5
320
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
，解
方程组求得x、y的值，再代入4x-3y+k=0即可求得k的值.【详解】
∵方程组
5
430
x y
x y k
-=
⎧
⎨
-+=
⎩
的解也是方程3x－2y=0的解，
∴
5
320
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得，
10
15
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
；
把
10
15
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
代入4x-3y+k=0得，
-40+45+k=0，∴k=-5.
故选A.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，根据题意得出方程组
5
320
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
，解方程组求得x、y的值
是解决问题的关键.
8．已知方程组
324
22
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
，则()2
x y-
-=( )
A．1
4
B．
1
2
C．2 D．4
【答案】A 【解析】
32422x y x y ＝①
＝②-⎧⎨
-⎩
， ①-②得：x-y=2， 则原式=-22=1
4
． 故选A.
9．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五人出七，不足三，问人数、羊价各几何?”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意，可列方程组为（ ）.
A ．54573y x y x =+⎧⎨=-⎩
B ．54573y x y x =-⎧⎨=+⎩
C ．545
73y x y x =+⎧⎨=+⎩
D ．545
73y x y x =-⎧⎨=-⎩
【答案】C 【解析】 【分析】
根据羊价不变即可列出方程组.
【详解】
解：由“若每人出5钱，还差45钱”可以表示出羊价为：545y x =+，由“若每人出7钱，还差3钱”可以表示出羊价为：73y x =+，故方程组为545
73
y x y x =+⎧⎨=+⎩.故选C.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，明确羊价不变是列出方程组的关键.
10．如图，将长方形ABCD 的一角折叠，折痕为AE ，∠BAD 比∠BAE 大18°．设∠BAE 和∠BAD 的度数分别为x ，y ，那么x ，y 所适合的一个方程组是（ ）
A ．18
90
y x y x -=⎧⎨
+=⎩
B ．18
290
y x y x -=⎧⎨
+=⎩
C ．18
2y x y x
-=⎧⎨
=⎩
D ．18
290x y y x -=⎧⎨
+=⎩
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据题意可得等量关系：①∠BAD-∠BAE 大18°；②∠BAD+2∠BAE=90°，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】
解：设∠BAE 和∠BAD 的度数分别为x°和y°， 依题意可列方程组：18
290
y x y x -=⎧⎨+=⎩
故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
11．如果方程组x 35ax by =⎧⎨+=⎩的解与方程组y 4
2bx ay =⎧⎨+=⎩
的解相同，则a 、b 的值是
（ ）
A ．a 1
2
b =-⎧⎨
=⎩
B ．a 1
2
b =⎧⎨
=⎩
C ．a 1
2
b =⎧⎨
=-⎩
D ．a 1
2
b =-⎧⎨
=-⎩
【答案】A 【解析】 【分析】 把3
4
x y =⎧⎨
=⎩代入方程中其余两个方程得345342a b b a +=⎧⎨+=⎩，解方程组可得．
【详解】
解：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是
3
4x y =⎧⎨=⎩， 把34x y =⎧⎨=⎩
代入方程中其余两个方程得
345
342
a b b a +=⎧⎨
+=⎩ 解得a 1
2b =-⎧⎨
=⎩
故选A ． 【点睛】
本题考核知识点：解二元一次方程组.解题关键点：熟练解二元一次方程组．
12．甲、乙两人在同一个地方练习跑步，如果让乙先跑10米，甲跑5秒钟就追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，若设甲、乙每秒钟分别跑x 、y 米，则列出方程组应是( )
A ．5105442
x y
x y +=⎧⎨
-=⎩
B ．5510
424x y x y
=+⎧⎨
-=⎩
C ．()5510 42x y x y y -=⎧⎨
-=⎩ D ．()()510 42x y x y x ⎧-=⎪
⎨
-=⎪⎩
【答案】C 【解析】
解：设甲、乙每秒分别跑x 米，y 米，由题意知：()5510
42x y x y y -=⎧⎨-=⎩
．故选C ．
点睛：根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
13．若233
4
a b x y +与634
a b
x y -的和是单项式，则a b +=（ ） A ．3- B ．0
C ．3
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
根据同类项的定义可得方程组26
3a b a b +=⎧⎨-=⎩
，解方程组即可求得a 、b 的值，即可求得a+b
的值. 【详解】 ∵
2334a b x y +与643
a b
x y -是同类项， ∴263a b a b +=⎧⎨-=⎩，
解得30a b =⎧⎨=⎩
，
∴a+b=3. 故选C. 【点睛】
本题考查了同类项的定义及二元一次方程组的解法，根据同类项的定义得到方程组
26
3a b a b +=⎧⎨
-=⎩是解决问题的关键.
14．方程5x ＋2y ＝－9与下列方程构成的方程组的解为212x y =-⎧⎪
⎨=⎪⎩
的是( )
A ．x ＋2y ＝1
B ．3x ＋2y ＝－8
C ．5x ＋4y ＝－3
D ．3x －4y ＝－8
【解析】
试题分析：将x与y的值代入各项检验即可得到结果．
解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3x﹣4y=﹣8．
故选D．
点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
15．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（）
A．106cm B．110cm C．114cm D．116cm
【答案】A
【解析】
【分析】
通过观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度加上3个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加上8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【详解】
解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则
29
714
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
7
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
则99x+y＝99×1+7＝106
即把100个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是106cm．
故选：A．
【点睛】
本题以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，这是近年来比较流行的一种命题形式，主要考查信息的收集、处理能力．本题易错点是误把9cm当作3个纸杯的高度，把14cm当作8个纸杯的高度．
16．若关于x，y的方程组
3,
25
x y m
x y m
-=+
⎧
⎨
+=
⎩
的解满足x＞y＞0，则m的取值范围是()．
A．m＞2 B．m＞－3 C．－3＜m＜2 D．m＜3或m＞2【答案】A
【解析】
先解方程组用含m 的代数式表示出x 、y 的值，再根据x ＞y ＞0列不等式组求解即可. 【详解】
解325x y m x y m -=+⎧⎨+=⎩，得
21
2x m y m =+⎧⎨
=-⎩
. ∵x ＞y ＞0，
∴212
20m m m +>-⎧⎨
->⎩
，
解之得 m ＞2. 故选A. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，用含m 的代数式表示出x 、y 的值是解答本题的关键.
17．图①的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②所示．则被移动石头的重量为（ ）
A ．5克
B ．10克
C ．15克
D ．20克
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：设左天平的一袋石头重x 克，右天平的一袋石头重y 克，被移动的石头重z 克，由题意，得：
20
10x y x z y z =+⎧⎨
-=++⎩
解得z=5
答：被移动石头的重量为5克． 故选A ． 【点睛】
本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用,三元一次方程组的解法的运用,解答时理解
图象天平反映的意义找到等量关系是关键．
18．如果方程组
4
5
x
by ax
=
⎧
⎨
+=
⎩
的解与方程组
3
2
y
bx ay
=
⎧
⎨
+=
⎩
的解相同，则a+b的值为( )
A．﹣1 B．1 C．2 D．0【答案】B
【解析】
【分析】
把
4
3
x
y
＝
＝
⎧
⎨
⎩
代入方程组
2
5
bx ay
by ax
+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左
右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．【详解】
把
4
3
x
y
＝
＝
⎧
⎨
⎩
代入方程组
2
5
bx ay
by ax
+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，
得：
432 345
b a
b a
＝①
＝②
+
⎧
⎨
+
⎩
，
①+②，得：7（a+b）=7，
则a+b=1．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键．
19．已知
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
是方程组
2
3
ax by
bx ay
+=
⎧
⎨
+=-
⎩
的解，则+
a b的值是（）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【答案】A
【解析】
【分析】
把
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
代入方程组，可得关于a、b的方程组，继而根据二元一次方程组的解法即可求
出答案．【详解】
将
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
代入
2
3
ax by
bx ay
+=
⎧
⎨
+=-
⎩
，
可得：
322 323
a b
b a
-=
⎧
⎨
-=-
⎩
，
两式相加：1a b +=-，
故选A ．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法.
20．下面几对数值是方程组233,22x y x y +=⎧⎨-=-⎩
的解的是（ ） A ．1,0x y =⎧⎨=⎩ B ．1,2x y =⎧⎨=⎩ C ．0,1x y =⎧⎨=⎩ D ．2,1
x y =⎧⎨=⎩ 【答案】C
【解析】
【分析】
利用代入法解方程组即可得到答案.
【详解】
23322x y x y +=⎧⎨-=-⎩
①②， 由②得：x=2y-2③，
将③代入①得：2（2y-2）+3y=3，
解得y=1，
将y=1代入③，得x=0，
∴原方程组的解是01x y =⎧⎨=⎩
， 故选：C.
【点睛】
此题考查二元一次方程组的解法：代入法或加减法，根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键.。