高中数学必修1函数讲义--函数的三要素

高一函数讲义
一、求函数定义域
1、使得x 在实数范围内让解析式可以正常运算的x 的范围。

① 分式的分母不等于0；
② 偶次根式被开方式大于等于0；
③ 对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；
④ 指数为0时，底数不等于0
【例1】求下列函数的定义域
（1
）21x y += （2
）lgcos y x (3)y=lg(a x -kb x ) (a,b>0且a,b≠1，k ∈R)
[解析]（1
）依题有1021021032403241x x x x ≠+>⎪⎪+≠⎨⎪->⎪⎪-≠⎩ 411
2052log 31
x x x x x ≠±⎧⎪⎪>-⎪⎪⇒≠⎨⎪⎪<⎪⎪≠⎩ ∴函数的定义域为415{|0,1,log 31}22
x x x -<<≠且 (2)依题意有2250cos 0x x ⎧-≥⎨>⎩ 5522()22x k x k k z ππππ-≤≤⎧⎪⇒⎨-<<+∈⎪⎩
∴函数的定义域为33[5,)(,)(,5]2222
ππππ--⋃-⋃ （3）要使函数有意义，则a x -kb x >0，即x
a k
b ⎛⎫> ⎪⎝⎭
①当k≤0时，定义域为R
②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则log a b x k > 定义域为{x|log a b x k >}
(Ⅱ)若0<a<b ，则log a b x k <， 定义域为{x|log a b
x k <}
(Ⅲ)若a=b>0，则当0<k<1时定义域为R ；当k≥1时，定义域为空集
[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x 的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组)。

2、抽象函数的定义域：
(1)已知)(x f 的定义域，求))((x g f 的定义域。

例：已知)(x f 定义域为[0,1]，求函数)32(-=x
f y 的定义域 (2)已知))((x
g f 的定义域，求)(x f 的定义域。

例：已知)2(2+=x f y 定义域为[-1,0]，求函数)(x f 的定义域；
(3)已知))((x f ϕ的定义域，求))((x g f 的定义域。

例：已知)32(2++=x x f y 定义域为[-3,0]，求函数)(x f 的定义域.
(4)若函数)(x f y =的定义域是]2,0[，则函数1)2()(-=
x x f x g 的定义域是＿＿＿＿． 3、复合函数的定义域
例:已知1
1)(+=
x x f ，则))((x f f 的定义域_______________. 4、含参函数的定义域。

例：已知)(x f 的定义域为],[b a ，且0>+b a ，求)()()(x f x f x F --=的定义域。

注：含有参数要根据参数的情况分类讨论。

练习：（1）若函数3
1)(23++-=mx mx x x f 的定义域为R ，求m 的取值范围。

（2）设函数|32|)(+=x x f ，R x ∈，若m x f x f x g 2)22()()(+++=
的定义域为R ， 求实数m 的取值范围.
（3）若)(x f 的定义域为]1,0[，求)10)(2()()(<<+++=a a x f a x f x F 的定义域。

二、求函数的值域
1、常见初等函数的值域（一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等）
2、分
函数： )()1(=x f )()2(x f 122123)()3(22++++=x x x x x f （4）求函数1
22123)(22++++=x x x x x f 在区间[]4,2 内的值域. 3、根式函数
2233)1(-++=x x y 54136)2(22++++-=x x x x y
54136)3(22++-+-=x x x x y 2333)4(--+=x x y 4、含绝对值
13)1(-++=x x y |22||32|)2(-++=x x y
5、分段函数
设函数，　⎩
⎨⎧≥-<++=-=)(,)()(,4)()(,2)(2x g x x x g x g x x x g x f x x g 则)(x f 的值域是______________.
三、求函数解析式：
1、换元法与配凑法
(1) 已知564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 的解析式；
(2) 已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f 的解析式；
2、方程组法
(1) 已知)0()()1(2≠=+x x x f x
f ，求)(x f 的解析式； (2) 已知)()(x
g x f 、分别满足)()(),()(x g x g x f x f =--=-，且1
1)()(-=+x x g x f ，求)()(x g x f 、 ； (3) 定义在)3,3(-内的函数43)()(2+=--x x f x f ，求函数)(x f 的解析式；
3、待定系数法
(1) 已知)(x f 是一次函数，且14))((-=x x f f ，求函数)(x f 的解析式；
(2) 已知)0()(≠+=
a b a b ax x x f 为常数，且、，满足1)2(=f ，方程x x f =)(有唯一解，求函数)(x f 的解析式；
4、抽象函数解析式求法
(1) 赋值法
)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对任意实数y x 、有：)12()()(+--=-y x y x f y x f ，求函数)(x f 的解析式；
(2) 递推法
已知函数)(n f y =满足⎩
⎨⎧∈+=+=*,2)()1(1)1(N n n n f n f f ，求)(n f 的解析式； (3) 数形结合法（已知函数图像）
已知函数)(x f y =的图像如图所示：
① 根据图像确定函数定义域和值域；
② 根据图像求函数的解析式；
③ 试就a 的取值讨论a x f 2)(=的解的个数．
(4) 已知定义域为R 的函数)(x f 满足x x x f x x x f f +-=+-22)(])([：
① 若3)2(=f ，求)1(f ．又若a f =)0(，求)(a f ；
② 设有且仅有一个实数0x ，使得00)(x x f =，求)(x f ；
(5) 数形结合（图像的平移）
对实数b 和a ，定义运算“⊗”：⎩⎨⎧>-≤-=⊗1
,1,b a b b a a b a ，设函数R x x x x x f ∈-⊗-=),()2()(22，若函数
c x f y -=)(的图像与x 轴恰有两个公共点，求实数c 的取值范围．
四、函数技巧
１、函数运算技巧
(1) 已知221)(x
x x f +=，那么=++++++)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f . (2)已知*N b a ∈、，2)1(),()()(==+f b f a f b a f ，求
)
2011()2012()2010()2011(...)2()3()1()2(f f f f f f f f ++++的值. 2、函数图像的应用
(1) 设R x ∈，求函数x x y 312--=的最大值。

(2) 当m 为怎样的实数时，方程m x x =+-542有四个互不相等的实数根？
(3)对于任意的实数}{2121,min ,x x x x 、表示2,1x x 中比较小的那个数，若x x g x x f =-=)(,2)(2，求}{)(),(min x g x f 的最大值。

五、探索题
1、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“孪生函数”，求解析式为432+=x y ，值域为}16,7{的“孪生函数”有多少个？
2、已知函数)(n f y =满足⎩⎨⎧∈+=+=*
,2)()1(1)1(N n n n f n f f
(1)求)5()4()3()2(f f f f 、、、；
(2)探索)()1(n f n f -+有何规律？能否根据规律写出)(n f 的一个解析式？
（可用公式2)
1(321+=++++m m m ）。