2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题1.6解析几何(练)含解析

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测
专题六 解析几何
1.练高考
1.【2017课标3，理5】已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为5
2y x =
,且与椭圆221123
x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）
A ．
22
1810
x y -= B ．
22
145x y -= C ．22
154x y -= D ．22
143
x y -= 【答案】
B
故选B.
2.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .
【答案】22
(1)(1x y ++-=
【解析】
3.
【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线
()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】2
2
y x =±
4.【2017课标1，理】已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a>0，b>0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A
与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN=60°，则C 的离心率为________.
【答案】
3
【解析】试题分析：
5.
【2017天津，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为1
2.已知A 是抛物线
22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为
1
2
. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .
若APD △的面积为
6
2
AP 的方程. 【答案】 （1）2
2
413
y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=. 【解析】
（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --
，故2
(1,)Q m
-.将1x my =+与22
413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634m
y m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2
(1,)Q m
-，可得直线BQ 的方程为
22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得2
2
2332m x m -=+，故22
23(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD
△6221626232||m m m ⨯⨯=+，整理得
23|20m m -+=，解得6||3m =
，所以6
3
m =±. 所以，直线AP 的方程为3630x -=，或3630x -=.
6.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>2
，焦距为2.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，
且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.
【答案】（I ）2
212x y +=.
（Ⅱ）SOT ∠的最大值为
3
π
，取得最大值时直线l 的斜率为12k =
.
（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2
211,2
3x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得(
)
22114210k x x +--=，由题意知0∆>
，且()
1121222
111
,21221x x x x k k +=
=-++，
所以
121AB x =-=.
由题意可知圆M 的半径r
为1r =由题设知122k k =
，所以212
k =因此直线OC 的方程为12y =.
联立方程22
11,
22,
4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得222
122
1181,1414k x y k k ==++，因此 2221211814k OC x y k +=++
2.练模拟
1.直线3y kx =+被圆()()2
2
234x y -+-=
截得的弦长为 ） A ．
56
6π
π或
B ．33ππ-或
C ．66ππ-或
D ．6
π 【答案】A
【解析】圆()()2
2
234x y -+-=的圆心()3,2，半径2=r ，圆心()3,2到直线
y kx =+直线3y kx =+被圆()()2223
x y -+-=
2.【2018届湖北省稳派教育高三上第二次联考】 已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的半焦距为c ，且满足
220c b ac -+<，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．
【答案】10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【解析】∵220c b ac -+<，
∴()
2220c a c ac --+<，即2220c a ac -+<，
∴22210c c a a -+<，即2210e e +-<，解得112
e -<<。

又01e <<， ∴1
02
e <<。

∴椭圆的离心率e 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。

答案： 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
3. 【2018届安徽省六安市第一中学高三上第五次月考】已知直线()10y kx k =+≠交抛物线2
4x y =于E 和F 两
点，以EF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为27k =__________． 【答案】1±
【解析】由2
1
{ 4y kx x y
=+=消去y 整理得2440x kx --=， 设()()1122,,,E x y F x y ， 则12124,4x x k x x +==-，
∴()2
1212242y y k x x k +=++=+．
由抛物线的定义可得2
12244EF y y k =++=+， ∴以EF 为直径的圆的半径为21222EF k =+，圆心到x 轴的距离为()2121
212
y y k +=+． 由题意得(
)(
)
2
2
2
2
2227
21k k +=++，
解得1k =±．
4.过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆22
24
a x y +=的切线，切点为E ，延长FE
交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率是 .
5.
【2018届湖南省长郡中学高三月考（五）】已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为223的椭圆过点⎭． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与y 轴的非负半轴交于点B ，过点B 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点P ， Q 两点，连接PQ ，求BPQ ∆的面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）2219x y +=；（Ⅱ） 278
． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为2
2
221(0)x y a b a b +=>>
，则22
3{ 27
19c a a b =
+=可求得a b ，（Ⅱ）由题意可知，直线BP 的斜率存在且不为o ．故可设直线BP 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >，由
22
1
{
990
y kx x y =++-=，消去y 得()
2219180k x kx ++=，求弦长|BP|， 将式子中的0k >换成1k -
，得221116212829BPQ BQ S BP BQ k k k k ∆⎛
⎫==+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝
⎭，设1k t k +=，则
2t ≥． 2
162964
BPQ t
S t ∆=
+利用基本不等式即得解. 试题解析：
（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22
22{ 27
19c a
a b =
+=，故3{ 1a b ==， 所以，椭圆方程为2
219
x y +=． （Ⅱ）由题意可知，直线BP 的斜率存在且不为o ．
故可设直线BP 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >，
由22
1
{
990
y kx x y =++-=，消去y 得()
2219180k x kx ++=，
则BP =0k >换成1
k
-，得： 2181k BQ += 1
2
BPQ
S BP BQ ∆==221181181·
·k k k ++
=
21
18
91k k =+()221629191k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
2211621829k k k k ⎛
⎫=+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪
⎝
⎭，
设1
k t k
+=，则2t ≥． 故2162964BPQ t S t ∆==+ 16227
64829649t t
≤=
⨯+，取等条件为649t t =即83t =， 即183k k +
=，解得47k ±=时， BPQ S ∆取得最大值27
8
． 3.练原创
1. 方程02
=+ny mx 与)0(12
2>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）
【答案】A
【解析】原方程可化为,2
x n
m
y -=①11122=+n
y m x ②当n m ,异号且n m >>0时，①为焦点在x 轴正半轴上的抛物线，②为焦点在x 轴上的双曲线,选项A 、B 不符合；当n m ,异号且m n >>0时，①为焦点在x 轴正半轴上的抛物线，②为焦点在y 轴上的双曲线，选项A 符合、B 不符合；当n m ,同号且0>>n m 时，①为焦点在x 轴负半轴上的抛物线，②为焦点在y 轴上的椭圆, 选项D 不符合； 当n m ,同号且n m >>0时，①为焦点在x 轴负半轴上的抛物线，②无轨迹.
2．已知动点),(y x P 满足5
|
1243|)2()1(22++=
-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 ( )
A ．两条相交直线
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．椭圆 【答案】B
【解析】动点),(y x P 的轨迹满足与定点(1,2)和一定直线01243=++y x 距离相等，且定点不在定直线上，故是抛物线.
3.已知,A B 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>长轴的两个端点， ,M N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k )0(21≠k k ，若椭圆的离心率为2
3,则||||21k k +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2
【答案】A
【解析】设)(),,(),,(a x a y x N y x M <<--，则a
x y k +=1，a x y k --=2，因椭圆的离心率为23， ∴2
112=-=e a b =-++=+x a y a x y k k ||||212
2222222(1)221x b y b a a x a x a -≥===--. 4. 已知圆C 经过点(2,0)A ，与直线2x y +=相切，且圆心C 在直线210x y +-=上.
（1）求圆C 的方程；
（2）已知直线l 经过点(0,1)，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程.
【答案】(1) 22
(1)(1)2x y -++=；(2)0x =，3440x y +-=.
【解析】（1）22(1)(1)2x y -++=.
（2）k 不存在时，0x =符合题意， k 存在时，3440x y +-=，综上，直线方程为0x =，3440x y +-=.
5.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率12
e =，且椭圆C 经过点(2,3)P ，过椭 圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ，B 两点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求△1PF G 的面积S 的取值范围．
【答案】（1）2211612x y +=；（2）9(,3)4
.
（2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+（0k ≠）．
由22(2),34480
y k x x y =+⎧⎨+-=⎩消去y 并整理得2222(34)1616(3)0k x k x k +++-=． 易知0∆>，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122164+3k x x k -+=，2122164843
k x x k -=+， 设00(,)M x y 是AB 的中点，则2
020028,436(2).43k x k k y k x k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩
线段AB 的垂直平分线MG 的方程为001()y y x x k
-=--， 令0y =，得2200222862343434G k k x x ky k k k
-=+=+=-+++． 因为0k ≠，所以102
G x -
<<， 因为1113|||||2|22PF G P G S S FG y x ∆==⋅=+，1(,0)2
G x ∈-， 所以S 的取值范围是9(,3)4．。