江苏省无锡市八年级(上)期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下面的图形都是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是
（）
A. 3、4、5
B. 6、8、10
C. 5、12、13
D. 5、5、7
3.和三角形三条边距离相等的点是（）
A. 三条角平分线的交点
B. 三边中线的交点
C. 三边上高所在直线的交点
D. 三边的垂直平分线的交点
4.若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的第三条边长为（）
A. 2或5
B. 3
C. 4
D. 5
5.如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
6.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A
和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋
被拉长了（）
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 5cm
7.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边
BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）
A. ∠EDB
B. ∠BED
C. 12∠AFB
D. 2∠ABF
8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是（）
A. 28∘
B. 118∘
C. 62∘
D. 62∘或118∘
9.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交
AC于点D，则△BDC的周长是（）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 15
10.将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示
图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小
值是（）
A. 833cm2
B. 8cm2
C. 1633cm2
D. 16cm2
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.等边三角形是一个轴对称图形，它有______条对称轴．
12.若等腰三角形的周长为20，且有一边长为6，则另外两边分别是______．
13.等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=______．
14.如图，A，D，F，B在同一直线上，AE=BC，且
AF=BD．添加一个条件______，使△AEF≌△BCD．
15.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：2，且最长边为10cm，则最短边长为______cm．
16.在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之
比是______．
17.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中
线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的
最小值为______．
18.如图，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点
（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC全
等的格点三角形共有______个（不含△ABC）．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
19.已知D、E两点在△ABC内，求作一点P，使PE=PD，且点
P到∠B两边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹）．
20.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知
∠B=∠E，AB=DE，BF=21．EC，其中△ABC的周长
为24cm，CF=3cm，则制成整个金属框架所需材料
的长度为多少？
21.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于多
少？
22.如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；
③连接PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是______；
（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．
23.在等腰直角三角形ABC左侧作直线AP，点B关于直线AP
的对称点为D，连结BD、CD，其中CD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAB=28°，求∠ACD的度数；
24.如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为
3米的香樟树AE，活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆之间的距离．
25.如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一
点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN时，求α的度数；
（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．
26.如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，
同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q 也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）记△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．
①当直线l经过点A时，求AQ的长；
②直接写出这样t的值，使得直线l经过点B．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】
解：A、42+32=52，能够成直角三角形，故此选项错误；
B、62+82=102，能构成直角三角形，故此选项错误；
C、122+52=132，能构成直角三角形，故此选项错误；
D、52+52≠72，不能构成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平
方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则
△ABC是直角三角形．
3.【答案】A
【解析】
解：中线交点即三角形的重心，三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边
中点距离的2倍，B错误；
高的交点是三角形的垂心，到三边的距离不相等，C错误；
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，D错误；
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴要到三角形三条边距离相等的点，只能是三条角平分线的交点，A正确．
故选：A．
题目要求到三边距离相等，可两两分别思考，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案．
本题考查了角平分线的性质；熟练掌握三角形中角平分线，重心，垂心，垂直平分线的性质，是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】
解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，这个三角形的第三条边长为5；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
故选：D．
题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
故选：C．
要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
6.【答案】A
【解析】
解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5cm；
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
7.【答案】C
【解析】
解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB=∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB=∠AFB，
故选：C．
根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三
角形外角的性质．
8.【答案】D
【解析】
解：分两种情况：
①当高在三角形内部时（如图1），
∵∠ABD=28°，
∴顶角∠A=90°-28°=62°；
②当高在三角形外部时（如图2），
∵∠ABD=28°，
∴顶角∠CAB=90°+28°=118°．
故选：D．
等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因
而可分两种情况进行讨论．
此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出62°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
9.【答案】B
【解析】
解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选：B．
由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，
即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】
解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
∴S△ABC=×4×4=8cm2．
故选：B．
当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．
11.【答案】3
【解析】
解：等边三角形是一个轴对称图形，它有3条对称轴．
故答案为：3．
根据轴对称图形和对称轴的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
12.【答案】6，8或7，7
【解析】
解：（1）当6是腰长时，底边为20-6×2=8，
此时能够组成三角形，
∴另外两边分别是6，8；
（2）当6是底边，此时腰为：=7，能构成三角形三条边，
∴另外两边分别是7，7．
故答案为6，8或7，7．
题目给出等腰三角形有一条边长为6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边
的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成
三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13.【答案】30°，75°，120°
【解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当∠A=30°为顶角时，∠B==75°；
（2）当∠A=30°为底角时，∠B为底角时∠B=∠A=30°；∠B为顶角时
∠B=180°-∠A-∠B=180°-30°-30°=120°．
故填30°或75°或120°．
本题要分两种情况讨论：（1）当∠A=30°为顶角；（2）当∠A=30°为底角时，则∠B 为底角时或顶角．然后求出∠B．
本题是考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，在解答时一定要讨论已知角为顶角或底角两种情况不要漏解．
14.【答案】EF=CD（或∠A=∠B或AE∥CB或∠E=∠C=90°）
【解析】
解：当EF=CD时，依据AE=BC，AF=BD，EF=CD，可得△AEF≌△BCD（SSS）．当∠A=∠B或AE∥CB时，依据AE=BC，∠A=∠B，AF=BD，可得△AEF≌△BCD
（SAS）．
当∠E=∠C=90°时，依据AE=BC，AF=BD，可得△AEF≌△BCD（HL）．
故答案为：EF=CD（或∠A=∠B或AE∥CB或∠E=∠C=90°）．
根据AE=BC，且AF=BD，利用全等三角形的判定方法，得出所需的条件即可，答案不唯一．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判
定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
15.【答案】5
【解析】
解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，
∴设∠A、∠B、∠C分别为k、3k、2k，
k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
∴∠A=30°，∠B=90°，∠C=60°，
∵最长边为10cm，
∴最短边长=×10=5cm．
故答案为：5
根据比例设∠A、∠B、∠C分别为k、3k、2k，然后根据三角形的内角和等于180°列式求出各角的度数，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
本题考查了含30°角的直角三角形，主要利用了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据比例求出各角的度数是解题的关键．
16.【答案】4：3
【解析】
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，
故答案为4：3．
根据角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．
17.【答案】12013
【解析】
解：
作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，
∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12，
∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN，
∴CN===，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF=FM，
∴CF+EF=CF+FM=CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CF+EF≥，
即CF+EF的最小值是，
故答案为：．
作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性质求出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF≥，即可得出答案．
本题考查了平面展开-最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
18.【答案】7
【解析】
解：如图所示每个大正方形上都可作两个全等的三角形，
所以共有八个全等三角形，除去△ABC外有七个与
△ABC全等的三角形．
故答案为：7．
本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形
可得答案．
本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．
19.【答案】解：如图所示：
①作∠B的角平分线；
②作DE中垂线；
③两直线的交点就是所求作的点P．
【解析】
根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质可知点P为线段DE的垂直平分线与∠B的角平分线的交点．
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键．
20.【答案】解：∵BF=EC，
∴BF+FC=CE+FC，
即BC=EF，
∵在△ABC和△DEF中AB=DE∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF，
∵△ABC的周长为24cm，CF=3cm，
∴制成整个金属框架所需这种材料的长度为24×2-3=45cm．
【解析】
首先证明△ABC≌△DEF（SAS）可得AC=DF，然后再根据△ABC的周长为
24cm，CF=3cm可得制成整个金属框架所需这种材料的长度．
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握证明三角形全等的方法，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．21.【答案】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°
∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．
【解析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．
本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．
22.【答案】解：（1）如图，PA=PB=PC，
理由是：∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵EP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC；
故答案为：PA=PB=PC；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-2×70°=40°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=20°，
∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．
【解析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；
（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：
∠BAC=180°-2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三
角形外角的性质可得结论．
本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键．
23.【答案】解：（1）如图，
（2）连接AD，由对称知，∠PAD=∠PAB=28°，AD=AB，
∵AB=AC，
∴AD=AC，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD=∠PAD+∠PAB+∠BAC=28°+28°+90°=146°，
∴∠ACD=12（180°-∠CAD）=17°；
【解析】
（1）根据对称性即可画出图形；
（2）由对称性得出AB=AD，进而求出∠CAD，即可得出结论；
主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出AD=AC．
24.【答案】解：根据题意可得：AE=3m，AB=20m，BD=13m．
如图，设该位置为点C，且AC=xm．
由AC=xm得：BC=（20-x）m（1分）
由题意得：CE=CD，则CE2=CD2，
∴32+x2=（20-x）2+132，
解得：x=14，
∴CB=20-x=6，
由0＜14＜20可知，该位置是存在的．
答：该位置与旗杆之间的距离为6米．
【解析】
根据题意可得：AE=3m，AB=20m，BD=13m，由于CE2=CD2，根据勾股定理得到方程求解即可．
考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
25.【答案】（1）证明：∵P是AB的中点，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，
∵∠A=∠BPA=PB∠APM=∠BPN，
∴△APM≌△BPN（ASA）；
（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，
∴MN=2PN，
∵MN=2BN，
∴BN=PN，
∴α=∠B=50°；
（3）解：∵△BPN的外心在该三角形的内部，
∴△BPN是锐角三角形，
∵∠B=50°，
∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．
【解析】
（1）根据AAS证明：△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形外接圆的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错．
26.【答案】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵AB2+BC2=32+42=25，AC2=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，即△ABC是直角三角形．
（2）如图1，当0＜t≤3时，
BQ=t，BC=4，
∴S=12×4×t=2t；
如图2，当3＜t≤5时，
，
AQ=t-3，
则BQ=3-（t-3）=6-t，
∴S=12×4×（6-t）=12-2t；
（3）①如图3，
∵QP的垂直平分线过A，
∴AP=AQ，
∴3-t=t，解得t=1.5；
或t-3=t，显然不成立；
∴AP=AQ=1.5；
②（Ⅰ）如图4，当点Q从B向A运动时l经过点B，
当点P运动到AC中点时，PA=BQ=BP，
可得t=2.5．
（Ⅱ）如图5，当点Q从A向B运动时l经过点B；
BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
过点P作PG⊥CB于点G，则PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴PCAC=PGAB=GCBC，
∴PG=PCAC•AB=35（5-t），CG=PCAC•BC=45（5-t），
∴BG=4-45（5-t）=45t，
由勾股定理得：BP2=BG2+PG2，
即（6-t）2=（45t）2+[35（5-t）]2，
解得：t=4514；
综上所述：存在t的值，使得直线l经过点B，t的值是2.5或4514．
【解析】
（1）由勾股定理逆定理可得；
（2）分0＜t≤3和3＜t≤5两种情况，表示出BQ的长度，根据三角形的面积公式可得；
（3）①根据线段的垂直平分线的性质求出AP=AQ，得出3-t=t，求出即可；
②分点Q从B向A运动时l经过点B和点Q从A向B运动时l经过点B两种情况分别求解可得．
本题是三角形的综合问题，考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．。