2023-2024学年辽宁省铁岭市部分学校九年级(上)第三次月考数学试卷+答案解析

2023-2024学年辽宁省铁岭市部分学校九年级（上）第三次月考数学试
卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示的几何体的俯视图是()
A.
B.
C.
D.
2.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，如图，红丝带重叠部分形成的图形是()
A.正方形
B.等腰梯形
C.菱形
D.矩形
3.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为()
A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
4.对于反比例函数，下列说法不正确的是()
A.点在它的图象上
B.它的图象在第一、三象限
C.当时，y随x的增大而增大
D.当时，y随x的增大而减小
5.若一元二次方程有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是()
A. B. C. D.
6.点D是线段AB的黄金分割点，若，则()
A. B. C. D.
7.如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C为y轴上的一点，连接AC，若的面积为4，则k的值是()
A.4
B.
C.8
D.
8.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为()
A.2
B.4
C.12
D.16
9.如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，于点H，，，
，，则DF长是()
A. B. C. D.
10.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，，连接AF交CG于M点，则()
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.已知菱形的两条对角线长分别为8和6，则边长为______.
12.在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出n的值大约是______.
13.如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得，
，这个三角尺的周长与它在墙上形成影子的周长比是______.
14.如图，已知一次函数和反比例函数的图象相交于、两点，则不等式
的解集为______.
15.如图，在中，点D在BC上，BD：：2，点E在AB上，
AE：：2，AD，CE相交于F，则AF：______.
16.如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻AB在阳
光下的投影，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长
为6m，则DE的长为______.
17.矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，
取AD中点M，连接AF，GM，AF、GM交于点H，若，
，则______.
18.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分
别在x、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC
分别交于点M、N，轴，垂足为D，连接OM、ON、下列结论：
①≌；
②；
③四边形DAMN与面积相等；
④若，，则点C的坐标为
其中正确结论的有______.
三、计算题：本大题共1小题，共12分。

19.某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨5元，每天的销售量就减少100件．针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
四、解答题：本题共7小题，共84分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.本小题10分
计算：
；
21.本小题12分
如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，
小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为______；
小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率用画树状图或列
表等方法求解
22.本小题12分
如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是，两个路灯的高度都是
求两个路灯之间的距离；
当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？
23.本小题12分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点C 坐标为，过点C的直线l与x轴平行．
求一次函数与反比例函数的表达式；
求的面积．
24.本小题12分
如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线AC上的一点，且
求证：四边形ABCD是正方形；
延长
DE交BC于点F，交AB的延长线于点G，求证：
25.本小题12分
如图
1，在正方形ABCD中，，点P从点D出发，沿DA向点A匀速运动，速度是，同时，点Q从点A出发，沿AB方向，向点B匀速运动，速度是，连接PQ、CP、CQ，设运动时间为
是否存在某一时刻，使得若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
设的面积为，求S与t之间的函数关系式；
如图2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使：：5？若存在，直接写t的值；若不存在，说明理由.
26.本小题14分
已知，矩形
ABCD中，，，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD先沿直线AE翻折，点B落在点F处，展开后再将矩形ABCD沿直线BF翻折，点E落在点G处，再将图形展开，连接EF、FG、GB，得到四边形
如图1，若点F恰好落在CD边上，求线段BE的长；
如图2，若，直接写出点F到BC边的距离；
若的面积为3，直接写出四边形BEFG的面积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：从上往下看，得到三个长方形．
故选：
根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线．2.【答案】C
【解析】解：如图所示：过点A作于E，于F，
因为两条彩带宽度相同，
所以，，
四边形ABCD是平行四边形．
又
，
四边形ABCD是菱形．
故选：
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形．
3.【答案】C
【解析】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去
即参加酒会的人数为11人．
故选：
设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，
解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、把点代入反比例函数得，故A选项正确；
B、，图象在第一、三象限，故B选项正确；
C、当时，y随x的增大而减小，故C选项错误；
D、当时，y随x的增大而减小，故D选项正确．
故选：
根据反比例函数的性质用排除法解答．
本题考查了反比例函数的性质：
①当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
②当时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】
解：方程有两个不相同的实数根，
，
解得，
故选
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割.应该记熟黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的
根据黄金分割点的定义和得出，代入数据求出AD，即可得出BD的长度.【解答】
解：由于D为线段的黄金分割点，
且，
则
故选
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，属于基础题．
连接OA，得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】
解：连接OA，如图，
轴，，，
而，，
，
故选：
8.【答案】D
【解析】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：
，
解得：，
故选：
根据白球的个数和摸到白球的概率，利用概率公式求得黄球的个数即可．
此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】C
【解析】解：设DF和AE相交于O点，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
即，
于点H，
，
，，
，
∽，
：：
DF，
，，，
故选：
设DF和AE相交于O点，由矩形的性质和已知条件可证明，，进而可得到
∽，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DF的长．
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及等角的余角相等的性质，题目的综合性加强，难度中等．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质
及勾股定理等知识点．由正方形的性质知，，据此证∽得，求出GM的长，再利用勾股定理求解可得答案．
【解答】解：四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
，，，
，，
则∽，
，即，
解得：，
，
故选
11.【答案】5
【解析】解：如图，令，，
四边形ABCD是菱形，
，，且，
是直角三角形，
故答案为：
根据题意作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分，先求出对角线的一半的长度，再利用勾股定理即可求出边长．
本题主要考查了菱形与勾股定理的运用，熟记菱形的对角线互相垂直平分然后构造出直角三角形是求解的关键．
12.【答案】100
【解析】解：由题意可得，，
解得，
故估计n大约是
故答案为：
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出
方程求解．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】2：7
【解析】解：如图，，，
，
三角尺与影子是相似三角形，
三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比：：
故答案为2：
先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质．14.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】
解：观察函数图象，发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
则不等式的解集是或
故答案为：或
15.【答案】
【解析】解：如图，过点A作，交CE的延长线
于点
设，则，；
，
∽，∽，
；而，
，
，
故答案为
如图，作辅助线；首先设出BD、DC的长度；运用相似三角形判定及其性质求出AG的长度；运用
∽，
列出比例式，即可解决问题．
该题主要考查了相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
16.【答案】10m
【解析】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投
影长为6m，
，
，
，
，
，
，，，
故答案为
根据平行的性质可知，利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长．
本题通过投影的知识，结合图形相似的性质，巧妙地求出立柱的长度，是平行投影性质在实际生活中的应用．
17.【答案】
【解析】解：延长AD交EF于点N，如图所示：
四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，，，
，，，
，，
四边形DGFN为矩形，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，，
，
，
又是
AD的中点，
，
，
在和中，
，
和，
，
故答案为：
延长
AD交EF于点N，先证四边形DGFN为矩形得，，然后在中由勾股定理求出，再证和全等得，进而可求出AH
的值．
此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的性质和三角形全等的判定是解答此题的关键．
18.【答案】①③④
【解析】解：设正方形OABC的边长为a，
得到，，，，，
在和中，
，
≌，结论①正确；
根据勾股定理，，，和MN不一定相等，结论②错误；
，
，结论③正确；
过点O作于点H，如图所示，
≌，
，，
，，
，，
≌，
，
，即，
由得，，
整理得：，
解得：舍去负值，
点C的坐标为，结论④正确，
则结论正确的为①③④，
故答案为：①③④
设正方形OABC的边长为a，表示出A，B，C，M，N的坐标，利用SAS得到三角形OCN与三角形OAM全等，结论①正确；利用勾股定理表示出ON与MN，即可对于结论②做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形OCN与三角形OAM全等，根据三角形MON面积=三角形OND面积+四边形ADNM面积-三角形OAM 面积，等量代换得到四边形DAMN与面积相等，结论③正确；过O作OH垂直于MN，如图所示，利用ASA得到三角形OCN与三角形OHN全等，利用全等三角形对应边相等得到，求出a 的值，确定出C坐标，即可对于结论④做出判断．
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
19.【答案】解：设销售单价应定为x元，
根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
要是顾客得到实惠，
，
答：销售单价应定为12元．
【解析】由利润=每件利润销售数量建立方程求出其解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设售价，分别表示每件利润和销售量，根据求利润的公式列出方程．
20.【答案】解：，
，即，
，
，；
，
，
，
或，
，
【解析】利用平方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，根据不同方程的特点选择合适的、简便的方法是解题的关键．
21.【答案】解：；
列表如下：
123
1
2
3
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，
所以这两个数字之和是3的倍数的概率为
【解析】解：在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，
指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，
故答案为：；
见答案.
【分析】
由标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，利用概率公式计算可得；
根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是3的倍数的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：由对称性可知，设
∽
经检验是原方程的根，并且符合题意．
答：两个路灯之间的距离为18米．
设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，
则BF即为此时他在路灯AC的影子长，
设
∽
，即
解得，
经检验是分式方程的解．
答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是米．
【解析】依题意得到∽，再由它可以求出AB；
设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F则BF即为此时他在路灯AC 的影子长，容易知道∽，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．
两个问题都主要利用了相似三角形的性质：对应边成比例．
23.【答案】解：、两点在反比例函数的图象上，
，，
，反比例函数解析式为：，
、，两点在一次函数的图象上，
解得：，
一次函数解析式为：
一次函数与y轴相交
交点坐标为
【解析】将点A，点B坐标代入解析式可求一次函数与反比例函数的表达式；
先求出一次函数与y轴的交点坐标，由三角形的面积公式可求的面积．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两个图象的交点坐标满足两个图象的解析式是本题的关键．
24.【答案】证明：连接
，
，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
四边形ABCD是正方形．
证明：四边形ABCD是矩形
，
，
同理，
四边形ABCD是正方形，
，
又，
，
【解析】根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；
由，推出，同理，由，四边形ABCD是正方形，推出，
可得解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：如图1，连接BD，
四边形ABCD是正方形，
，
由运动知，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
；
根据题意知：
；
如图2，
过点C作于N，
，，
：：5，
，
，
过点
M作于G，于H，
点M是正方形ABCD的对角线AC上的一点，
，
，，
，
，
【解析】由运动知，，，得出，，判断出，得出，即可；
直接利用面积的和差即可得出结论；
先判断出，进而得出，再判断出，即可得，解方程即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，平行线的性质，同高的两三角形的面积比是底的比，方程思想，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
26.【答案】解：连接AF，如图1所示：
四边形ABCD是矩形，
，，，
由翻折的性质得：，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
连接AF，过点F作于N，交AD于M，如图2所示：
则，，
，
，
由翻折的性质得：，，，
，
，
∽，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，或舍去，
即点F到BC边的距离为；
连接AF，过G作于H，过点F作于N，交AD于M，
如图2所示：
则，，，
的面积，
，
由翻折的性质得：，，，
，
四边形BEFG是菱形，
，
四边形GHMF是平行四边形，
，
，
平行四边形GHMF是矩形，
，
，，
同得：∽，
，
即，
，
，
四边形BEFG的面积
【解析】连接AF，由翻折的性质得：，，求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
连接AF，过点F作于N，交AD于M，证∽，得，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
连接AF，过G作于H，过点F作于N，交AD于M，由三角形面积得，再由翻折的性质得四边形BEFG是菱形，然后证平行四边形GHMF是矩形，得，则
，，同得：∽，得，求出
，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性
质、平行四边形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质、翻折变换的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．。