(文)试题金卷10套：【全国校级联考】江西省新余一中、宜春一中2019届高三7月联考文数试题解析(解析版)

考试时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.只有一项是符合题目要求的.）
1. 为虚数单位，若)i z i +=，则||z =（ ）
A ．1
B
C
D ．2 【答案】A
考点：复数的运算，复数的模． 2. 满足M ⊆{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M
a a a a a =的集合M 的个数是（ ）
A .1
B .2
C .3
D .4 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意M 可能为12124{,},{,,}a a a a a ，共2个．故选B ． 考点：集合的包含关系．
3. 已知,a b 是实数，则“1a >且2b >”是“3a b +>且2ab >”的( ). A.充分而不必要条件 B.充分必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：1322a a b b ab >+>⎧⎧⇒⎨
⎨>>⎩⎩，但当1
,62a b ==时，满足32a b ab +>⎧⎨>⎩但不满足12a b >⎧⎨>⎩
，所以12a b >⎧⎨
>⎩是32
a b ab +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件．故选A ．
考点：充分必要条件．
4. 设→
a 与→
b 是两个不共线向量，且向量→
→
+b a λ与)2(→
→--a b 共线，则λ=（ ） A ．0 B ．2
1
-
C ．－2
D ．
2
1 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意(2)()b a k a b λ--=+，所以21
k k λ=⎧⎨=-⎩，1
2λ=-．故选B ．
考点：向量的共线．
5. 某程序框图如下图所示，现输入如下四个函数，则能够输出的函数是（ ）
A.2()f x x =
B.1
()f x x
=
C.()x f x e =
D.()sin f x x =
【答案】D
考点：程序框图．
6．袋中共有6个大小质地完全相同的小球，其中有2个红球、1个白球和3个黑球，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为（ ）
A ．
34
B ．
25
C ．35
D ．
45
【答案】D
试题分析：由题意23264
15
C P C =-=．故选
D ．
考点：古典概型，互斥事件的概率．
【名师点睛】对含“至少”、“至多”等的概率问题，能够用分类加法原理求事件数，用古典
概型概率公式求解，也能够从反面入手．本题直接做就是11
23332
64
5
C C C P C +==，从反面入手就是“至少有1个黑球”的反面“没有黑球”，没有黑球概率为23261
5
C C =，所以至少有有一个黑
球的概率为14155
-
=． 7．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=,且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ,设
)3(),2
1
(),0(f c f b f a ===,则 ( )
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．a c b << 【答案】
B
考点：函数的单调性．
8．函数)2
||,0)(sin()(π
ϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期是π，若其图象向右平移
3
π
个单位
后得到
的函数为奇函数，则函数)(x f 的图象（ ） A ．关于点)0,12
(
π
对称 B ．关于直线12
π
=
x 对称
C ．关于点)0,125(π对称
D ．关于直线12
5π
=
x 对称 【答案】D
试题分析：由2T π
πω=
=得2ω=，()f x 图象向右平移
3
π
个单位后得
()sin[2()]3g x x π
ϕ=-+
2sin(2)3x πϕ=-+，由题意2sin()03πϕ-+=，因为2πϕ<，所以3π
ϕ=-，即
()sin(2)3f x x π
=-．
1sin(2)sin()12362π
ππ⨯
-=-=-，5sin(2)sin 11232
πππ⨯-==，A 、B 、C 错误，D 准确．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的性质． 9. 已知函数()2ln x
f x x x
=-
，则函数()y f x =的大致图像为（ ）
【答案】A 【解析】
试题分析：2
2ln ln ()()()x x
f x x x f x x x
--=--
=+≠--，所以()f x 不是奇函数，图象不会关于原点对称，B 、C 不准确，在0x >时，32
ln ln ()x x x
f x x x x
-=-=
，易知此时()f x 无零点，所以D 错，只有A 准确．故选A ． 考点：函数的图象．
10．若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图像上， 则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）
B.2
C.【答案】D
考点：导数的几何意义，点到直线的距离．
11．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23
AFB π
∠=
，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是（ ）
【答案】C
考点：抛物线的性质，余弦定理，基本不等式．
【名师点睛】在解决涉及圆锥曲线上的点到焦点距离时常考虑圆锥曲线的定义，利用它能够把距离实行转化，能够把代数计算借助于几何方法实行解决，通过这种转化能够方便地寻找到题中量的关系．本题通过抛物线的定义，把比值
MN AB
转化为ABF ∆的三边的关系，从而再
由余弦定理建立联系，自不过然地最终由基本不等式得出结论．
12．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)16f x f x ++=，当(]0,4x ∈时，2
()2x
f x x =-，
则函数()f x 在[]4,2016-上的零点个数是（ ） A. 504
B.505
C.1008
D.1009
【答案】B 【解析】
试题分析：由()(4)16f x f x ++=得(4)(8)16f x f x +++=，所以(8)()f x f x +=，即
()f x 是以8为周期的周期函数，当(0,4]x ∈时，2()2x f x x =-有两个零点2和4，当(4,8]x ∈时，24()16(4)2x f x x -=--+无零点，
2016
2528
=，所以在(0,2106]上函数有2252504⨯=个零点，又(4)(4)0f f -==，所以有[4,2016]-上，()f x 有5041505+=个
零点．故选B ．
考点：周期函数，函数的零点．
【名师点睛】函数的周期性在解函数问题时有很多应用．如本题求在区间[4,2016]-上的零点个数，如求值12()()()n f a f a f a ++
+等涉及的区间较大，求函数值的个数较多等时，一
般要考虑函数有没有周期性，如是周期函数，只要研究函数在一个周期内的情形就可得出结论．在解题时要注意所求区间的端点是否满足题意，否则易出错．
二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分，将答案填在答题纸上．）
13. 若向量)2,1(=→a ，)1,1(-=→
b ，则=+→
→b a 2 . 【答案】(3,3) 【解析】
试题分析：=+→
→
b a 22(1,2)(1,1)(3,3)+-=． 考点：向量线性运算的坐标表示． 14．已知1sin cos 2αα=
-，则
cos 2sin()4
α
πα-的值为___________.
【答案】
考点：二倍角公式，两角和与差的正弦公式．
15．若曲线),(sin )(R b a x b ae x f x
∈+=在0=x 处与直线1-=y 相切，则=-a b 【答案】2 【解析】
试题分析：'()cos x
f x ae b x =+，'(0)f a b =+，由题意10a a b =-⎧⎨+=⎩，则1
1a b =-⎧⎨=⎩
，2b a -=．
考点：导数的几何意义．
【名师点睛】1．导数的几何意义：
函数f (x )在点x 0处的导数0'()f x 的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相对应地，切线方程为y －y 0＝0'()f x (x －x 0)． 2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
16. 已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当11x -≤＜ 时，
3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是_______.
【答案】1
(0,]
(5,)5
+∞
考点：函数的周期性，函数的零点．
【名师点睛】函数的零点问题，属于函数与方程专题，对于基本的零点问题可用零点存有定理判断，绝大部分情况下，应该把函数的零点与方程的解结合起来，再把方程的解转化为函数图象交点问题，利用函数图象能够直观地得出结论．
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本题满分12分）已知函数x x x f 2cos 2sin 3(-=）.
（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间；
（Ⅲ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值．
【答案】（I ）π=T ；（Ⅱ）)](6
5,3[z k k k ∈+
+πππ
π；
（Ⅲ）()f x 2-．
考点：三角函数的周期，单调性，最值．
18. （本题满分12分）已知函数()f x =
的定义域为集合A ，
函数()g x =1()2
x ,(10)x -≤≤的值域为集合B ． （1）求A
B ；
（2）若集合[],21C a a =-，且C B B =，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{2}；（2）3
(,]2
-∞．
考点：集合的运算，集合的包含关系．
19. （本题满分12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10.
87092
1
1
2n m 甲
组乙组
（1）分别求出m ，n 的值；
（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2
s 乙，并由此分析两
组技工的加工水平；
（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件实行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.
（注：方差2222121
=[()()()]n s x x x x x x n
-+-+-+，其中x 为数据12,,
,n x x x 的平均
数）.
【答案】（1）3=m ，8=n ；（2）甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（3）
5
4. 【解析】 试题分析：（1）利用平均数都为10可求得,m n ；（2）利用方差公式可计算出方差，比较可知哪个更稳定；（3）甲乙两车间各5个数据，各取一个有5525⨯=种取法，其中不合格有78,79,710,88,89+++++共5种，其余都是合格的，由此可计算出概率．
试题解析：（1）由87(10)1210105m +++++=得3m =，由9101112105
n ++++=，得8n =；
（2）2222221[(810)(710)(1010)(1210)(1310)] 5.25
S =-+-+-+-+-=甲， 2222221[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]25
S =-+-+-+-+-=乙， 因为22S S >乙
甲，所以能够判断甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些； （3）甲车间5人合格零件个数依次为7,8,10,12,13，乙车间5人合格零件个数依次为8,9,10,11,12，各抽一个，共有25种取法，其中质量不合格的有325+=种，合格的有25520-=种，合格概率为204255
=． 考点：茎叶图，方差，古典概型．
20．（本题满分12分）己知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其中11a =，且2a ，4a ，62a +构成等比数列：数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21n n S b +=．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）如果n n n c a b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，是否存有正整数n ，使得n n T S >成立，若存有，求出n 的最小值，若不存有，说明理由．
【答案】（1）n a n =，13
n n b =；（2）2.
S，求通项公式，错位相减法求和．
考点：等差数列与等比数列的通项公式，已知
n
【名师点睛】1．一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．
2．用错位相减法求和的注意事项
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出
“Sn－qSn”的表达式．
21. （本小题满分12分）已知函数()()ln 4f x ax x a =--∈R .
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）当2a =时，若存有区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],m n 上的值域是,11k k m n ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦
， 求k 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当a ≤0时，()f x 在()0+∞，上为减函数；当a >0时，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上为减函数，在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数. （Ⅱ）3ln 294,.2-⎛⎤- ⎥⎝⎦
试题解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()0+∞，，()1ax f x x
-'=， 当a ≤0时，()0f x '≤，所以()f x 在()0+∞，上为减函数，
当a >0时，令()0f x '=，则1x a =，当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1+x a ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭
，
时，()0f x '>，()f x 为增函数， ∴当a ≤0时，()f x 在()0+∞，上为减函数；当a >0时，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，
上为增函数.
（Ⅱ）当2a =时，()2ln 4f x x x =--，由（Ⅰ）知：()f x 在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，上为增函数，而[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢
⎣⎭，∴()f x 在[],m n 上为增函数，结合()f x 在[],m n 上的值域是,11k k m n ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦知：()(),11k k f m f n m n ==++，其中12
m n <≤， 则()1k f x x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上至少有两个不同的实数根， 由()1
k f x x =+得()2=221ln 4k x x x x --+-， 记()()2=221ln 4x x x x x ϕ--+-，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，则()1=4ln 3x x x x ϕ'---， 记()()1=4ln 3F x x x x x ϕ'=---，则()()2
222
213410x x x x F x x x -+-+'==>， ∴()F x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，即()x ϕ'在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数， 而()1=0ϕ'，∴当1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0x ϕ'<，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数，在()1,+∞上为增函数， 而13ln 2922ϕ-⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()1=4ϕ-，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，故结合图像得： ()13ln 291422k k ϕϕ-⎛⎫<⇒-< ⎪⎝⎭≤≤，∴k 的取值范围是3ln 294,.2-⎛⎤- ⎥⎝⎦
考点：导数与单调性，函数的综合应用．
【名师点睛】本题是函数的综合应用，通过定义域与值域提出问题，考查转化与思想，通过数学概念的转化，通过数学方法的转化，是我们解决问题的基础．本题中由定义域和值域提出问题是方程则()1k f x x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上至少有两个不同的实数根，方程()1k f x x =+采用分离参数法转化为()2=221ln 4k x x x x --+-，这样问题又转化为直线y k =与函数记
()()2=221ln 4x x x x x ϕ--+-， 1
,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，有两个不同的交点，最终问题转化为研究函数()()2=221ln 4x x x x x ϕ--+-的的单调性与极值．通过这种持续转化，可使问题逐步明朗，
易于求解．这也是在解决综合问题时常用的方法．
请考生在第22、23两题中任选一题．．．．
做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平
面直角坐标系，设直线l
的参数方程为5,12
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）设曲线C 与直线l 相交于,P Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．
【答案】(1) C ：22
4x y x +=
,:50l x -=
.
【解析】
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与圆相交弦长．
23. 设函数()f x ．
（1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；
（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围．
【答案】(1) {}14x x x ≥≤-或;(2) (],1-∞.
【解析】
试题分析：（1）求函数定义域实质就是解不等式|1||2|50x x +++-≥，可按照绝对值的定义分类去掉绝对值符号化绝对值不等式为一元一次不等式组解得；（2）|1||2|0x x a +++-≥恒成立，只要求得12x x +++的最小值即可，这由绝对值的性质可得．
试题解析：（1）当5a =时，()f x =|1||2|50x x +++-≥得： 2820x x <-⎧⎨--≥⎩或2120x -≤<-⎧⎨-≥⎩或1220
x x ≥-⎧⎨-≥⎩，解得：41x x ≤-≥或，
考点：解绝对值不等式．。