黑龙江省嫩江高级中学2017届高三数学一轮复习：题组层

2017年高考第一轮复习-题组层级快练(35-36-37) 25
一．选择题
1.下列命题中正确的是( ) A.函数y ＝x ＋1
x 的最小值为2
B.函数y ＝
x 2
＋3
x 2
＋2
的最小值为2 C.函数y ＝2－3x －4
x (x>0)的最小值为2－4 3
D.函数y ＝2－3x －4
x (x>0)的最大值为2－4 3
2．若0<x<3
2，则y ＝x(3－2x)的最大值是( )
A.916
B.94 C ．2 D.98
3．已知函数g(x)＝2x
，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，则ab 的最大值为( ) A.12 B.14
C ．2
D ．4
4．若实数a ，b 满足1a ＋2
b ＝ab ，则ab 的最小值为( )
A. 2 B ．2C ．2 2 D ．4
5.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.32
2
6．若2x
＋2y
＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ． B ． C ．
7．已知不等式(x ＋y)(1x ＋a
y )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
8．设实数x ，y ，m ，n 满足x 2
＋y 2
＝1，m 2
＋n 2
＝3，那么mx ＋ny 的最大值是( ) A. 3 B ．2C. 5 D.10
2
9．若x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x
)2
的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.9
2
10．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y
2
xz 的最小值为( ) A ．3 B ．6C ．9
D ．12
11．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 016＝(B) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6
12．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： ①1*1＝1，②(n ＋1)*1＝n*1＋1，则n*1等于( ) A ．n B ．n ＋1C ．n －1 D ．n 2
13．已知函数f(x)＝e x
e x ＋1，且数列{a n }满足f(lna n )＝a n ＋1，a 1＝1
4，则a 2 015＝( )
A.
12 015 B.12 016 C.12 017 D.1
2 018
14.观察一列算式；1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )
A ．22项
B ．23项
C ．24项
D ．25项
15．已知函数f(x)满足：f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f 2
（1）＋f （2）f （1）＋
f 2
（2）＋f （4）
f （3）＋f 2
（3）＋f （6）f （5）＋f 2
（4）＋f （8）
f （7）＝( ) A ．4 B ．8C ．12 D ．16
二、填空题
16．设x ＞0，y ＞0，且(x －1)(y －1)≥2，则xy 的取值范围为:
17．已知a>b>0，求a 2
＋16
b （a －b ）
的最小值．
18．已知lg(3x)＋lgy ＝lg(x ＋y ＋1)， (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．
19.已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝21，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．1
20．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22
x 1＋x 32
x 2＋x 1
2
x 3≥1.
三、解答题
21．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a n 2＋1a n －1且a n >0，n ∈N *
.
(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．
22.设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的自然数n都有：(S n－1)2＝a n S n.
(1)求S1，S2，S3；
(2)猜想S n的表达式并证明．
23．设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝
xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．
令g1(x)＝g(x)，g n＋1(x)＝g(g n(x))，n∈N*，求g n(x)的表达式．
2017年高考第一轮复习-题组层级快练(35-36-37) 25
一．选择题
1.下列命题中正确的是(D) A.函数y ＝x ＋1
x 的最小值为2
B.函数y ＝
x 2
＋3
x 2
＋2
的最小值为2 C.函数y ＝2－3x －4
x (x>0)的最小值为2－4 3
D.函数y ＝2－3x －4
x
(x>0)的最大值为2－4 3
解:y ＝x ＋1
x 的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，有最小值当x<0时，有最大值－2，故A 项不正
确； y ＝
x 2
＋3
x 2
＋2
＝x 2
＋2＋
1x 2
＋2
≥2，
∵x 2
＋2≥2，∴取不到“＝”，故B 项不正确； ∵x>0时，3x ＋4
x
≥2·
3x·4
x
＝43，
当且仅当3x ＝4x ，即x ＝2
3
3时取“＝”，
∴y ＝2－(3x ＋4
x )有最大值2－43，故C 项不正确，D 项正确．
2．若0<x<3
2，则y ＝x(3－2x)的最大值是(D)
A.916
B.94 C ．2 D.98
3．已知函数g(x)＝2x
，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，则ab 的最大值为(B) A.12 B.1
4 C ．2 D ．4 解:∵2a 2b
＝2
a ＋b
＝2,∴a ＋b ＝1，ab ≤(a ＋b 2)2＝1
4
，故选B.
4．若实数a ，b 满足1a ＋2
b ＝ab ，则ab 的最小值为(C)
A. 2 B ．2C ．2 2 D ．4
解:由题设易知a>0，b<0，∴ab ＝1a ＋2
b
≥2
2
ab
，即ab≥22，选C.
5.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为(B) A ．9 B.92 C ．3 D.32
2
解:方法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a ＋6≥0.由基本不等式，可知（3－a ）（a ＋6）≤
（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当a ＝－3
2时等号成立．
方法二：（3－a ）（a ＋6）＝－（a ＋32）2＋814≤9
2
，
当且仅当a ＝－3
2
时等号成立．
6．若2x
＋2y
＝1，则x ＋y 的取值范围是(D) A ． B ． C ．
解:∵2x
＋2y
≥22x
·2y
＝22x ＋y
(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2
x ＋y
≤12，∴2x ＋y
≤14
，得x ＋y≤－2，故选D.
7．已知不等式(x ＋y)(1x ＋a
y )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为(B)
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解:(x ＋y)(1x ＋a y )＝1＋a·x y ＋y x ＋a≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2
，
当且仅当a·x y ＝y x ，即ax 2＝y 2
时“＝”成立．
∴(x ＋y)(1x ＋a y
)的最小值为(a ＋1)2
≥9.∴a ≥4.
8．设实数x ，y ，m ，n 满足x 2
＋y 2
＝1，m 2
＋n 2
＝3，那么mx ＋ny 的最大值是(A) A. 3 B ．2C. 5 D.
102
解:设x ＝sin α，y ＝cos α，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈R .∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α＝3cos(α－β)．故选A. 9．若x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x
)2
的最小值是(C) A ．3 B.72 C ．4 D.9
2
解:原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2
＋y x ＋14x 2≥4.
当且仅当x ＝y ＝
12
时取“＝”号．
10．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y
2
xz 的最小值为(A) A ．3 B ．6C ．9 D ． 12
11．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 016＝(B) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6
解：∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又2 016＝6×335＋6，∴a 2 016＝a 6＝－3.选B. 12．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： ①1*1＝1，②(n ＋1)*1＝n*1＋1，则n*1等于(A) A ．n B ．n ＋1C ．n －1 D ．n 2
解：由(n ＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1＋(n －1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.
13．已知函数f(x)＝e x
e x ＋1，且数列{a n }满足f(lna n )＝a n ＋1，a 1＝1
4，则a 2 015＝(D)
A.
12 015 B.12 016 C.12 017 D.1
2 018
解：解法一：由f(lna n )＝a n ＋1，得
a n a n ＋1＝a n ＋1，即1a n ＋1－1a n ＝1，所以{1a n }是以1
a 1
＝4为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝4＋1×(n－1)＝n ＋3，所以a n ＝1n ＋3，从而a 2 015＝1
2 018，故选
D.
解法二：由f(lna n )＝a n ＋1，得a n a n ＋1＝a n ＋1，由a 1＝14，得a 2＝1
414＋1＝15，a 3＝15
15＋1＝1
6
，…，所
以可归纳a n ＝1n ＋3，从而a 2 015＝1
2 018
，故选D.
14.观察一列算式；1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第(C)
A ．22项
B ．23项
C ．24项
D ．25项
解:两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．故选C. 15．已知函数f(x)满足：f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f 2
（1）＋f （2）f （1）＋
f 2
（2）＋f （4）
f （3）＋f 2
（3）＋f （6）f （5）＋f 2
（4）＋f （8）
f （7）＝(D)
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16 解：根据f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，
得f(2n)＝f 2
(n)．又f(1)＝2，则f （n ＋1）f （n ）
＝2.
由f 2
（1）＋f （2）f （1）＋f 2
（2）＋f （4）f （3）＋f 2
（3）＋f （6）f （5）＋f 2
（4）＋f （8）f （7）＝2f （2）f （1）＋
2f （4）f （3）＋2f （6）f （5）＋2f （8）f （7）＝16.
二、填空题
16．设x ＞0，y ＞0，且(x －1)(y －1)≥2，则xy 的取值范围为:2
＝a
2
4
.
∴a 2＋16b （a －b ）≥a 2
＋64a 2≥2
a 2
·64a
2＝16.
当a 2
＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．
∴a 2
＋16b （a －b ）的最小值为16.
18．已知lg(3x)＋lgy ＝lg(x ＋y ＋1)， (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．
解:由lg(3x)＋lgy ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪
⎧x>0，y>0，3xy ＝x ＋y ＋1.
(1)∵x>0，y>0，
∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1.
∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy)2
－2xy －1≥0. ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0.∴xy ≥1.∴xy ≥1. 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1. (2)∵x>0，y>0，∴x ＋y ＋1＝3xy≤3·(x ＋y 2
)2
.
∴3(x ＋y)2
－4(x ＋y)－4≥0.∴≥0.∴x ＋y≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号．∴x ＋y 的最小值为2.
19.已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝21，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．18
解：S 11＝11（a 1＋a 11）
2＝11a 6，由S 11为定值，可知a 6＝a 1＋5d 为定值．设4a 2＋a 10＋a n ＝24，整
理得a 1＋n ＋12
6
d ＝4，可知n ＝18.
20．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22
x 1＋x 32
x 2＋x 1
2
x 3
≥1.
解:∵x 22x 1＋x 1＋x 32x 2＋x 2＋x 12x 3＋x 3≥2x 22＋2x 32＋2x 12
＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 32x 2＋x 12
x 3≥1.
所以∀n ∈N *
，1a 12＋4a 22＋…＋n 2
a n 2<54
.
三、解答题
21．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a n 2＋1a n －1且a n >0，n ∈N *
.
(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． 【解析】 (1)当n ＝1时，
由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 12
＋2a 1－2＝0.
∴a 1＝3－1(a 1>0)．
当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1
a 2－1，
将a 1＝3－1代入并整理得a 22
＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0)．同理可得a 3＝7－ 5. 猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n∈N *)．
(2)①由(1)知，当n ＝1，2，3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k(k≥3，k ∈N *
)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.
由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1
a k
，
将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理，得 a k ＋12
＋22k ＋1a k ＋1－2＝0.
解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)． 即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．
由①和②，可知对所有n∈N *
，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．
22.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2
＝a n S n . (1)求S 1，S 2，S 3；
(2)猜想S n 的表达式并证明． 解：(1)由(S 1－1)2＝S 12
，得S 1＝12；
由(S 2－1)2
＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23
；
由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34
. (2)猜想：S n ＝n n ＋1
. 证明：①当n ＝1时，显然成立；
②假设当n ＝k(k≥1且k∈N *)时，S k ＝k k ＋1
成立． 则当n ＝k ＋1时，由(S k ＋1－1)2＝a k ＋1S k ＋1，得S k ＋1＝12－S k ＝12－k k ＋1
＝k ＋1k ＋2. 从而n ＝k ＋1时，猜想也成立．综合①②得结论成立．
23．设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝
xf ′(x)，x ≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．
令g 1(x)＝g(x)，g n ＋1(x)＝g(g n (x))，n ∈N *，求g n (x)的表达式．
解：由题设，得g(x)＝x 1＋x
(x≥0)． 由已知，g 1(x)＝x 1＋x ，g 2(x)＝g(g 1(x))＝x
1＋x 1＋x 1＋x
＝x 1＋2x ，g 3(x)＝x 1＋3x ，…，可得g n (x)＝x 1＋nx . 下面用数学归纳法证明．
①当n ＝1时，g 1(x)＝x 1＋x
，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x)＝
x 1＋kx . 那么，当n ＝k ＋1时，
g k ＋1(x)＝g(g k (x))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x
1＋kx 1＋x 1＋kx
＝x 1＋（k ＋1）x
，即结论成立． 由①②可知，结论对n∈N *成立．。