高考数学《三角函数与平面向量》专项训练及答案解析

高考数学《三角函数与平面向量》专项训练
一、单选题
1．已知()1,2a =r ，()
1,0b =r ，则2a b +=r r （ ） A ．5 B ．7 C ．5 D ．25 2．若3sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-
C ．32
D ．3- 3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==r r ，则向量a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45
- 4．若4sin 3cos 0αα-=，则2sin 22cos αα+=（ ）
A ．4825
B ．5625
C ．85
D ．43 5．将函数()226f x sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6
π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ）
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π 6．已知042a π
π
β<<<<，且5sin cos 5
αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ） A ．31010- B ．155- C ．
155 D ．310 7．如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13
AE AC =uu u r uuu r ，若DE AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）
A ．56-
B ．16-
C ．16
D ．56
8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
cos cos a B b A =，则ABC ∆形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形 9．如图，在ABC V 中，1cos 4BAC ∠=
，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，15AD =，则ABC V 的面积的最大值为（ ）
A ．32
B ．4
C 15
D ．2310．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知25c =2sin cos sin sin a C B a A b B =-+
5sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=uu v uu u v uuu v ，3cos 8CAO ∠=，则ABC △的面积为（ ）
A 55
B ．35
C ．52
D 55二、填空题
11．sin 613cos1063tan 30︒︒︒++的值为________.
12．函数()2
1sin f x x =+的最小正周期是__________． 13．如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形上的动点，则
131A A A P
⋅u u u u r u u u r 的取值范围________.
14．将函数()3)13f x x π
=+-的图象向左平移3
π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质__________．（填入所有正确性质的序号） 33x π=-
对称； ②图象关于y 轴对称；
③最小正周期为π； ④图象关于点(,0)4π
对称； ⑤在(0,)3
π上单调递减 三、解答题
15．若向量(3,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->r r ，在函数
()()f x m m n t =⋅++r r r 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,],()3
x f x π∈时的最大值为1． （I ）求函数()f x 的解析式；
（II ）求函数()f x 的单调递增区间．
16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin 32B m ⎛= ⎝u r ，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，
且m n ⊥u r r .
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）如果1a =，3b =
，求ABC ∆的面积.
17．如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.
（1）求b 和sin C ；
（2）如图，设D 为AC 边上一点，37
BD CD =ABD △的面积.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
求出向量2a b +r r 的坐标，然后利用向量模的坐标表示可求出2a b +r r 的值.
【详解】
()()()221,21,03,4a b +=+=r r Q
，因此，25a b +==r r .
故选：C.
【点睛】
本题考查向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】 根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案.
【详解】
因为sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，
所以2cos 21262πα⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 12
=.
【点睛】
本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.
3．B
【解析】
【分析】 由向量的模的坐标计算公式求出,a b r r ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅r r ，再根据向量的夹角公式即可求出．
【详解】
由()()2,1,2,4a b ==r r
，得a b ==r r .设向量a r 与b r 的夹角为θ
，则84105
cos θ===． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
4．B
【解析】
【分析】
由4sin 3cos 0αα-=，求得3tan 4α=，再由222tan 2sin 22cos tan 1αααα++=+，即可求出． 【详解】
由4sin 3cos 0αα-=，求得sin 3tan cos 4ααα=
=， 而222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1
ααααααααα+++==++， 所以22322564sin 22cos 25314αα⨯++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭
． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于
5．C
【解析】
【分析】
首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．
【详解】
解：函数()226f x sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到226y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，再向上平移1个单位，得到()2216g x sin x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
的图象， 由于若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，
所以函数在1x x =和2x 时，函数()2216g x sin x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭都取得最大值． 所以()12262x k k Z π
π
π+=+∈，解得16
x k π
π=+， 由于且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以176x π=，同理2116x π=-，所以711366
πππ+=． 故选：C ．
【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题．
6．D
【解析】
【分析】
首先根据sin cos 5αα-=，求得sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角的范围，利用平方关系，求得
cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，利用题的条件，求得3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后将角进行配凑，使得()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，利用正弦的和角公式求得结果. 【详解】
因为sin cos αα-=sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
因为42a π
π
<<，所以cos 410
πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭. 因为04π
β<<，4sin 45πβ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，
所以()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-
++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3455=+= 故选D.
【点睛】 该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.
7．C
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算将DE u u u r 用,AB AC u u u r u u u r
表示，由此即可得到,λμ的值，从而可求λμ+的值.
【详解】 因为1123DE DA AE BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()
111111236363BA BC BA BA BC AB BC =+-=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以16λ=-，13μ=.故16
λμ+=. 故选：C.
【点睛】 本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.
8．D
【解析】
【分析】 由cos cos a B b A
=，利用正弦定理化简可得sin2A ＝sin2B ，由此可得结论． 【详解】
∵cos cos a B b A
=， ∴由正弦定理可得
sin cos sin cos A B B A =， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，
∴sin2A ＝sin2B ，
∴2A ＝2B 或2A +2B ＝π，
∴A ＝B 或A +B ＝2
π， ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形
故选：D ．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠，根据三角形的面积公式求出AC ，AB ，然后由
1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠()4213
sin θϕ⎡⎤=+-⎣⎦，根据三角函数的性质求出面积的最大值． 【详解】
解：设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠．
3BD DC =Q ，AD =，34ABD ABC S S ∴=V V ，131242AB ADsin AB ACsin BAC θ∴⋅=⋅⋅∠， 83
AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，
()1124ABC S AB ACsin BAC sin BAC sin θθθθθ⎫∴=⋅∠=∠-=-⎪⎪⎝⎭
V
()421(sin θϕ⎤=+-⎦其中tan ϕ=，
0BAC θ<<∠Q ，∴当22πθϕ+=
时，sin(2)1max θϕ+=，()ABC max S ∴=V
故选：C ．
【点睛】
本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
10．D
【解析】
【分析】
运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.
【详解】
由2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-+，
可得2222222a c b ac a b ac +-⨯=-+，即c =.又c =，所以4b =． 因为0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ，所以点O 为ABC △的重心，
所以3AB AC AO +=u u u v u u u v u u u v ，所以3AB AO AC =-u u u v u u u v u u u v
， 两边平方得22|9|6cos AB AO AO AC CAO =-∠u u u v u u u v u u u v u u u v 2||AC +u u u v ． 因为3cos 8
CAO ∠=，所以2223|9|6||8AB AO AO AC AC =-⨯+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 于是29||AO -u u u v 940AO -=u u u v ，所以43
AO =u u u v ，
AOC △的面积为114sin 4223AO AC CAO ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯u u u v u u u v =.
因为ABC △的面积是AOC △面积的3倍.故ABC △
【点睛】
本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.
11【解析】
【分析】
根据诱导公式，进行化简，从而得到答案.
【详解】
sin 613cos1063tan 30︒︒︒++
()sin 253cos 17tan30︒︒︒=+-+
()sin 73cos 17tan30︒︒︒=-+-+
=cos17cos17tan 30︒︒︒-++
=
故答案为：
3
【点睛】 本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题.
12．π
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期．
【详解】
因为()21cos 2311sin 1cos 2222
x f x x x -=+=+=-， 所以函数的最小正周期为22T ππ=
=． 故答案为：π．
【点睛】
本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题．
13．⎡-+⎣
【解析】
【分析】
由题意可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r 最小，当P 与4A 重合时，131A A A P
⋅u u u u r u u u r 最大，求出即可. 【详解】
由题意，正八边形12345678A A A A A A A A 的每一个内角均为135o ，
且边长1218
2A A A A ==u u u u r u u u u r ，1317A A A A ==u u u u r u u u u r ， 由正弦函数的单调性及值域可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r
最小，
且最小值为2cos112.5
⎛
⨯==-
⎝⎭
o
当P与4A
重合时，
131
8
A A A P
⋅==+
u u u u r u u u r
因此，
131
A A A P
⋅
u u u u r u u u r
的取值范围是⎡-+
⎣.
故答案为：⎡-+
⎣.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的运算以及数形结合思想的应用，解题的关键就是找出临界位置进行分析，考查计算能力，属于中等题.
14．②③④
【解析】
将函数(
)21
3
f x x
π
⎛⎫
=+-
⎪
⎝⎭
的图象向左平移
3
π
个单位长度，得到
21
33
y x
ππ
⎡⎤
⎛⎫
=++-
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣
⎦
(
)
211
x x
π
=+-=-的图象向上平移1个单位长度，得到函数(
)
g x x
=的图象，对于函数()
g x
，由于当
3
x
π
=-时，(
)
g x=
故()
g x图象不关于直线
3
x
π
=-对称，故排除①；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确；它的最小周期为
2
2
π
π
=，故③正确；当
4
x
π
=时，()0
g x=，故函数的图象关于点,0
4
π⎛⎫
⎪
⎝⎭
对称，故正④确；
在0,
3
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上，()
2
20,,
3
x g x
π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④.
【方法点晴】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的周期性及奇偶性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．
15
．3()),32
[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时
55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-
≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分 【解析】
解：（I ）由题意得()()f x m m n t =⋅++r r r 2m m n =+⋅r r r
23sin cos 33cos 22222
3)432
x x x t
x x t x t ωωωωωπω=⋅+=
-++=-++L L L L 分 ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π ()f x ∴的最小正周期为T π=
2,12ππωω
∴=∴=………………6分
3()),32
[0,],2[,]3333
f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时 2,()333x x f x π
π
π
∴-==即时取得最大值3t +
)max (1,31,2
1()).832
x f t t f x x π=∴+=∴=-∴=--n Q L L L L L L 分 （II ）222,232k x k k Z π
π
π
ππ-≤-≤+∈………………10分
55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z π
πππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分
16．（Ⅰ）
23π；. 【解析】
【分析】 （Ⅰ）由m n ⊥u r r 得出0m n ⋅=u r r ，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得
tan B =，结合B 的范围可得出角B 的值；
（Ⅱ）利用余弦定理求出c 的值，然后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积.
【详解】
（Ⅰ）m n ⊥u r r Q ，2sin cos sin 022
B B m n B B B ∴⋅==+=u r r .
化简得：tan B =，又0B Q π<<，23
B π∴=；
（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，2221122c c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭
，
整理得220c c +-=，解之得：1c =，11sin 1122ABC S ac B ∆∴=
=⨯⨯=. 【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
17．(1)b =7；【解析】
【分析】
（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；
（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.
【详解】
（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=，
所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，
得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，
因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=， 所以1cos 2
B =-， 又0B π<<，所以23B π=
， 由余弦定理得，
222
2cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，
所以b =，
在ABC V 中，由正弦定理
sin sin c b C B =， 所以sin sin c B
C b
=22sin π
=7=； （2）在ABD △中，由正弦定理得，
sin sin BD C CD CBD =∠，
因为BD CD =
sin sin C CBD =∠
因为sin 7C =
，所以sin 1CBD ∠=， 而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π
∠=，
由BD CD =
,BD
=CD =，
所以222)1)+=，所以12
t =，
所以2
BD =， 因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6
π=，
所以1sin 2ABD S AB BD ABD =
⨯⨯∠V 11222=⨯4
=. 【点睛】 本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.。