2015年高考数学(理)真题分项解析：专题03+导数

专题三 导数
1.【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11
f k k ⎛⎫<
⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫
> ⎪
-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫
< ⎪
--⎝⎭ D ． 111
k f k k ⎛⎫
> ⎪
--⎝⎭ 【答案】C
【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则'
'
()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单调递增，且
101k >-，故1()(0)1g g k >-，所以1()111
k
f k k ->---，11
(
)11
f k k >
--，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且1
0k
>，
所以1()(0)h h k >，即11()1f k k ->-，11
()1f k k >-，选项A,B 无法判断，故选C ．
【考点定位】函数与导数．
【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．
2.【2015高考陕西，理12】对二次函数2
()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A
【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+，因为1是()f x 的极值点，
3是()f x 的极值，所以()()10
13
f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩，因为点()2,8在
曲线()y f x =上，所以428a b c ++=，即()42238a a a +⨯-++=，解得：5a =，所以10b =-，8c =，所以()2
5108f x x x =-+，因为
()()()2
1511018230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以选项A 错误，
选项B 、C 、D 正确，故选A ．
【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．
【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．
3.【2015高考新课标2，理12】设函数'
()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，
当0x >时，'
()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞
C ．(,1)(1,0)-∞--
D ．(0,1)(1,)+∞
【答案】A
【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．
【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．
4.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)x
e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()
f x 0，则a 的取值范围是（ ）
(A)[-32e ，1） (B)[-错误！未找到引用源。

，3
4
错误！未找到引用源。

） (C)[错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

） (D)[错误！未找到引用源。

，1） 【答案】D
【解析】设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线
y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当1
2
x >-时，
()g x '＞0，所以当1
2
x =-时，max [()]g x =1
2-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，
直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得
3
2e
≤a ＜1，故选D.
【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论，本题用的就是思路2.
5.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【答案】1.2
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是()1
1010222162
⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >）
，因为该抛物线过点()5,2，所以2
225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225
y x =，
所以当前最大流量是
()()5
3235
35
522224022255255257575753
x dx x x --⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎡
⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是
16
1.2403
=，所以答案应填：1.2． 【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．
【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是
()b
a
f x dx ⎰．
6.【2015高考天津，理11】曲线2
y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】
1
6
O x
y
【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.
【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.
【2015高考湖南，理11】2
0(1)x dx ⎰-= .
【答案】0. 【解析】 试题分析：
0)2
1()1(2
22
0=-=-⎰x x dx x . 【考点定位】定积分的计算.
【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.
7.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分） 设函数2()mx
f x e
x mx =+-．
(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-． 【解析】(Ⅰ)'
()(1)2mx
f x m e
x =-+．
若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，'
()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，
'()0f x >．
若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，'
()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，
'()0f x >．
所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：
(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,
m
m
e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()1t g t e t e =--+，则'()1t g t e =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，
在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1
(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当
[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，
()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的
取值范围是[1,1]-．
【考点定位】导数的综合应用． 【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数'
()(1)2mx
f x m e
x =-+，根据m 的范围讨论导函数在(,0)
-∞和(0,)+∞的符号即可；（Ⅱ）
12()()1f x f x e -≤-恒成立，等价于
12max ()()1f x f x e -≤-．由12,x x 是两个独立的变量，故可求研究()f x 的值域，由(Ⅰ)可得最小值为(0)1f =，最大值可能是(1)f -或(1)f ，故只需(1)(0)1,
(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩
，从
而得关于m 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解． 8.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分）
已知函数),()(2
3
R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；
（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2
3()23
,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值. 【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递减；
当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递减．
（2） 1.c =
当0a <时，()
2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递减．
（2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为()0f b =，3
24327
a f a
b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 有三个
零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫
⋅-=+< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，从而304027
a a
b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或
304027a b a <⎧⎪
⎨
<<-⎪⎩
． 又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34
027
a a c -+<． 设()3
427
g a a a c =
-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是 ()
33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上()0g a >均恒成立，
从而()310g c -=-≤，且3102g c ⎛⎫
=-≥
⎪⎝⎭
，因此1c =． 此时，()()()3
2
2
1111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦，
因函数有三个零点，则()2
110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，
所以()()22141230a a a a ∆=---=+->，且()()2
1110a a ---+-≠， 解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫
∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 综上1c =．
【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点
【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：①确定函数y ＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．
已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系. 9.【2015高考福建，理20】已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =? (Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；
(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；
(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2
|f()()|x g x x -<． 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ) =1k ．
【解析】解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??则有
1()11+1+x
F x x x
¢=
-=- 当(0,),x ?? ()0F x ¢<,所以()F x 在(0,)+?上单调递减； 故当0x >时，()(0)0,F x F <=即当0x >时，x x f()<． (2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??则有1(1k)
()1+1+kx G x k x x
-+-¢=
-=
当0k £ G ()0x ¢>,所以G()x 在[0,)+?上单调递增, G()(0)0x G >=
(3)当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+()f()g x x x ，
>>故()f()g x x >， |f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，
令
2M()k ln(1),[0)
x x x x x =-+-违，+
，则有
2
1-2+(k-2)1
M ()k 2=,11x x k x x x x
+-¢=--++
故当
0x Î（时，
M ()0
x ¢>,M()x 在
[0上单调递增，故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以
满足题意的t 不存在.
当1k <时，由（2）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >．
此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-, 令
2N()ln(1)k ,[0)
x x x x x =+--违，+
，则有
2'
1-2-(k+2)1
()2=,11x x k N x k x x x
-+=--++
故
当
0x Î（时，
N ()0
x ¢>,M()x 在
[0上单调递增，故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记
0x 与
1x ， 则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，故满足题意的t 不存在.
当=1k ，由（1）知，(0,),x 违当+
|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，
令2
H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+
，则有2
1-2H ()12=,11x x
x x x x
-¢
=--++ 当0x >时，H ()0x ¢<,所以H()x 在[0+¥，）上单调递减，故H()(0)0x H <=, 故当0x >时，恒有2
|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意. 综上，=1k .
解法二：（1）（2）同解法一.
（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+
()f()g x x x >>，
， 故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-， 令2
(k 1),01x x x k -><<-解得，
从而得到当1k >时，(0,1)x k ?对于恒有2
|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在. 当1k <时，取11k+1
=
12
k k k <<，从而 由（2）知存在00x >,使得0(0),x x Î任意，恒有1f()()x k x kx g x >>=. 此时11|f()()|f()()(k)2
k
x g x x g x k x x --=->-=
,
令
21k 1k ,022x x x --><<
解得，此时 2
f()()x g x x ->, 记0x 与1-k 2
中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，
【考点定位】导数的综合应用．
【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价，min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续． 10.【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边
界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，
所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y x b
=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；
M
（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .
①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.
【答案】（1）1000,0;a b ==（2
）①()f t =定义域为[5,20]
，②min ()t f t ==千米
【解析】
（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．
将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400a
b
a b
⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，
解得1000
0a b =⎧⎨=⎩
．
（2）①由（1）知，21000y x =
（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，3
2000
y x '=-， 则l 的方程为()23
10002000y x t t t -
=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫
B ⎪⎝
⎭． 故(
)f t ==，[]5,20t ∈． ②设()62
4410g t t t ⨯=+，则()6
5
16102g t t t
⨯'=-．令()0g t '=
，解得t =
当(
t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；
当()
20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．
从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时(
)min f t =．
答：当t =l 的长度最短，最短长度为千米． 【考点定位】利用导数求函数最值，导数几何意义
【名师点晴】解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可.求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值. 11.【2015高考山东，理21】设函数()()()
2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围.
【答案】（I ）：当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当8
09
a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当8
9
a >
时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； （II ）a 的取值范围是[]0,1.
（2）当0a > 时， ()()2
8198a a a a a ∆=--=-
①当8
09
a <≤
时，0∆≤ ，()0g x ≥ 所以，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值；
②当8
9
a >
时，0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212
x x +=- 所以，1211,44
x x <-
>- 由()110g -=>可得：11
1,4
x -<<-
所以，当()11,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点． （3）当0a < 时，0∆> 由()110g -=>可得：11,x <-
当()21,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 因此函数()f x 有一个极值点． 综上：
当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当8
09
a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当8
9
a >
时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； （II ）由（I ）知， （1）当8
09
a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 因为()00f =
所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意； （2）当
8
19
a <≤ 时，由()00g ≥ ，得20x ≤
所以，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，
又()00f =，所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意； （3）当1a > 时，由()00g < ，可得20x > 所以()20,x x ∈ 时，函数()f x 单调递减； 又()00f =
所以，当()20,x x ∈时，()0f x < 不符合题意； （4）当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+ 因为()0,x ∈+∞时，()11011
x h x x x '=-
=>++
当11x a
>-
时，()2
10ax a x +-< 此时，()0,f x < 不合题意. 综上所述，a 的取值范围是[]0,1
【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.
【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用，着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方法，意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力，其中最后一问所构造的函数体现了学生对不同函数增长模型的深刻理解. 12.【2015高考安徽，理21】设函数2
()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22
ππ
-
内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22
ππ
-
,上的最大值D ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求2
4a z b =-满足D 1≤时的最大值.
【答案】（Ⅰ）极小值为2
4
a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-； （Ⅲ）1.
【解析】
（Ⅰ）2
(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，2
2
x π
π
-<<
.
[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-，2
2
x π
π
-<<
.
因为2
2
x π
π
-
<<
，所以cos 0,22sin 2x x >-<<.
①当2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值. ②当2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值. ③当22a -<<，在(,)22
ππ
-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =. 02
x x π
-
<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02
x x π
<<
时，函数(sin )f x 单调递增.
因此，22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值
2
0(sin )()24
a a f x f
b ==-.
（
Ⅱ
）
2
2
x π
π
-
≤≤
时，
00000|(si n )(si n )||()si n |||||
f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-，
当00()()0a a b b --≥时，取2
x π
=
，等号成立，
当00()()0a a b b --<时，取2
x π
=-
，等号成立，
由此可知，函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22
ππ
-
,上的最大值为00||||D a a b b =-+-.
（Ⅲ）D 1≤，即||||1a b +≤，此时2
01,11a b ≤≤-≤≤，从而2
14a z b =-≤. 取0,1a b ==，则||||1a b +≤，并且2
14
a z
b =-=.
由此可知，2
4
a z
b =-满足条件D 1≤的最大值为1.
【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.
【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类
与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用. 13.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数()n ,n
f x x x x R =-∈，其中
*n ,n 2N ∈≥.
(I)讨论()f x 的单调性；
(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；
(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a
x x n
<
+- 【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.
(2)当n 为偶数时，
当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.
所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则11
0n x n
-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P
处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-
由于1
()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为
0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()
F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有
0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.
(III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()20
()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2
x '，
可得
202
.a
x x n n '=
+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由(II)知
222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.
类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当
(0,)x ∈+∞，
()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <
设方程()h x a =的根为1x '，可得1a
x n
'=
，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.
由此可得212101a
x x x x x n
''-<-=+-. 因为2n ≥，所以1
1
11
2(11)111n n n C
n n ---=+≥+=+-=，故11
02n n
x -≥=，
所以2121a
x x n
-<
+-. 【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分n 为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用，是拨高题.
14.【2015高考重庆，理20】 设函数()()23x
x ax
f x a R e +=∈
（1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。

【答案】（1）0a =，切线方程为30x ey -=；（2）9
[,)2
-
+∞.
当1x x <时，g()0x <,故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，g()0x >,故()f x 为增函数； 当2x x >时，g()0x <,故()f x 为减函数；
由()f x 在[3,)+∞上为减函数，知23x =
≤，解得9
2
a ≥- 故a 的取值范围为9
[,)2
-
+∞. 【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．
【名师点晴】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两
个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质． 15.【2015高考四川，理21】已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >. （1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；
（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解.
【答案】（1）当104a <<
时，()g x
在区间)+∞上单调递增，
在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递
增.（2）详见解析.
【解析】（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
()()222ln 2(1)a
g x f x x a x x '==---+，
所以222
112()2()
2224()2x a a g x x x x -+-'=-+=. 当104a <<
时，()g x
在区间)+∞上单调递增，
在区间上单调递减； 当1
4
a ≥
时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. （2）由()222ln 2(1)0a f x x a x x
'=---+=，解得1
1ln 1x x
a x
---=+. 令2
21111
1ln 1ln 1ln 1ln ()2()ln 2()2()1111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------=-+
+--+++++.
则2
11
(2)2(1)10,())2()011e e e e e e
ϕϕ----=>=-
-<++，. 故存在0(1,)x e ∈，使得0()0x ϕ=. 令00
01
1ln ,()1ln (1)1x x a u x x x x x ---=
=--≥+，. 由1
()10u x x
'=-
≥知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增.
所以00111
0()(1)()2
0111111u x u u e e a x e e
----=
<=<=<++++. 即0(0,1)a ∈
.
【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.
【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.
【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出()f x 的大致图象，要使得()0f x ≥在区间
∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解，则这个解0x 应为极小值点，且极小
值为0，当0(1,)x x ∈时，()f x 的图象递减；当0(,)x x ∈+∞时，()f x 的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.
16.【2015高考湖北，理22】已知数列{}n a 的各项均为正数，1
(1)()n n n b n a n n
+=+∈N ，e
为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1
(1)n n
+与e 的大小；
（Ⅱ）计算
11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212
n
n
b b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令1
12
()n
n n c a a a =，
数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：n n eS T <. 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 1(1)e n n
+<；（Ⅱ）
详见解析；（Ⅲ）详见解析.
【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，x e x f -='1)(. 当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.
故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即x e x <+1.
令1
x n =，得n e n 1
11<+，即e n
n <+)11(. ①
（Ⅱ）
11111(1)1121b a =⋅+=+=；222121212121
22(1)(21)32
b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43
b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测：
12
12(1).n n
n
b b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.
（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立. （2）假设当n k =时，②成立，即
1212
(1)k k
k
b b b k a a a =+. 当1n k =+时，1
111(1)(1)1
k k k b k a k +++=+++， 由归纳假设可得
1
112112
112
11211(1)(1)(1)(2)1
k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++. 所以当1n k =+时，②也成立.
根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立. （Ⅲ）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得 123n n T c c c c =+++
+=11113
1211212312()()()()n
n a a a a a a a a a +++
+
1
1113
12
12312112()()
()()
234
1
n
n b b b b b b b b b n =
++++
+
12312112122334
(1)
n
b b b b b b b b b n n ++++++≤
++++
⨯⨯⨯+
1211111
1
1
[][]1223(1)2334
(1)
(1)
n b b b n n n n n n =++
+
+++
+
+
+⋅
⨯⨯+⨯⨯++
1211111
(1)()()121
1
n b b b n n n n =-
+-++-+++
12
12
n b b b n <+++
121211
1
(1)(1)(1)12
n n a a a n
=++++++
n n eS ea ea ea =+⋅⋅⋅++<21.
即n n eS T <.
【考点定位】导数的应，数列的概念，数学归纳法，基本不等式，不等式的证明. 【名师点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
运用数学归纳法应注意以下三点：(1)n ＝n 0时成立，要弄清楚命题的含义．(2)由假设n ＝k 成立证n ＝k ＋1时，要推导详实，并且一定要运用n ＝k 成立的结论．(3)要注意n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的项数．
17.【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31
,()ln 4
x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；
（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{
()min (),()(0)h x f x g x x => ，
讨论h （x ）零点的个数. 【答案】（Ⅰ）34a =
；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54
a =-时，()h x 有两个零点；当53
44
a -
<<-时，()h x 有三个零点.
若54a <-
，则5
(1)04
f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f
g f ==<,故x =1不是()
h x 的
零点.
当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.
(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而
1(0)4f =
，5(1)4
f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.
(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增，故当
x ()f x 取的最小值，最小值为f 14.
①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.
②若f =0，即34
a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；
③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344
a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当5
34
a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或5
4
a =-时，()h x 有两个零点；当53
44
a -
<<-时，()h x 有三个零点. ……12分 【考点定位】利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想 【名师点睛】本题主要考查函数的切线、利用导数研究函数的图像与性质、利用图像研究分段函数的零点，试题新颖.对函数的切线问题，主要在某一点的切线与过某一点点的切线不同，在某点的切线该点是切点，过某点的切线该点不一定是切点，对过某点的切线问题，设切点，利用导数求切线，将已知点代入切线方程，解出切点坐标，即可求出切线方程. 18.【2015高考北京，理18】已知函数()1ln 1x
f x x
+=-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，
时，()323x f x x ⎛⎫
>+ ⎪⎝
⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫
>+ ⎪⎝⎭
对()01x ∈，
恒成立，求k 的最大值．
【答案】（Ⅰ）20x y -=，
（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2. 【解析】
试题分析：利用导数的几何意义，求出函数在0x =处的函数值及导数值，再用直线方程的点斜式写出直线方程；第二步要证明不等式()323x f x x ⎛⎫
>+ ⎪⎝
⎭在()01x ∈，
成立，可用作差法构造函数1()ln 1x F x x +=-3
2()3
x x -+，利用导数研究函数F(x)在区间
（0，1）上的单调性，由于()0F x '>，()F x 在（0，1）上为增函数，则
()(0)0F x F >=，
问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数k 作讨论，首先[0,2]k ∈符合题意，其次当2k >时，不满足题意舍去，得出k 的最大值为2.
(0,1)x ∀∈，
3()2()3
x f x x >+
成立；
（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫
>+ ⎪⎝
⎭成立，()01x ∈，
，等价于3
1()ln ()013
x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，
；
42
22
22()(1)11kx k F x k x x x
+-'=-+=--， 当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；
当2k >时，令4
02
()0,(0,1)k F x x k
-'
==
∈，
()(0)F x F <，显然不成立，
综上所述可知：k 的最大值为2.
考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.
【名师点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题，本题第一步为基础，第二、三步属于中等略偏难问题，首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标，写出切线方程，其次用作差法构造函数，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，最后一步对参数k 进行分类讨论研究.
19.【2015高考广东，理19】设1a >，函数a e x x f x
-+=)1()(2
． (1) 求)(x f 的单调区间 ；
(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点；
(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平
行（O 是坐标原点）,证明：12
3--
≤e
a m ． 【答案】（1）(),-∞+∞；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）依题()()()()()
2
22'1'1'10x x
x f x x e x e x e =+++=+≥，
∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数；。