2013年浙江卷数学试题及答案(理)

2013·浙江卷(理科数学)
1． 已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3i D ．－1＋i
1．B [解析] (－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i ＋1＝－1＋3i ，故选择B. 2． 设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁S )∪T ＝( ) A ．(－2，1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)
2．C [解析] ∁S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |(x ＋4)(x －1)≤0}＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁S )∪T ＝(－∞，1]．故选择C.
3．， 已知x ，y 为正实数，则( )
A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y
B ．2lg(x ＋
y )＝2lg x ·2lg y
C ．2lg x ·lg y
＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y
3．D [解析] ∵lg(xy )＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy )＝2lg x ＋
lg y ＝2lg x 2lg y ，故选择D. 4． 已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)
(A >0，ω>0，φ∈)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π
2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．B [解析] f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数的充要条件是f (0)＝0，即cos φ＝0，φ＝k π＋π
2，
k ∈，所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π
2
”的必要不充分条件，故选择B.
5． 某程序框图如图1－1所示，若该程序运行后输出的值是9
5
，则( )
图1－1
A ．a ＝4
B ．a ＝5
C ．a ＝6
D ．a ＝7
5．A [解析] S ＝1＋
11×2＋12×3＋…＋1k （k ＋1）
＝1＋1－12＋12－13＋…＋1k －1k ＋1＝1
＋1－1k ＋1＝2－1k ＋1＝9
5，故k ＝4，k ＝k ＋1＝5，满足k >a 时，即5>a 时，输出S ，所以a
＝4，选择A.
6． 已知α∈，sin α＋2cos α＝10
2
，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 6．C [解析] 由(sin α＋2cos α)2＝
1022'得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝104＝5
2，4sin αcos α＋1＋3cos 2α＝52，2sin 2α＋1＋3×1＋cos 2α2＝52，故2sin 2α＝－3cos 2α
2，所以tan 2α＝－
3
4
，选择C. 7． 设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝1
4AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒
有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )
A ．∠ABC ＝90°
B ．∠BA
C ＝90°
C ．AB ＝AC
D ．AC ＝BC
7．D [解析] 建立以AB 的中点O 为原点的坐标系，如图所示，PB →·PC →
＝(c －x ，0)·(a －x ，b )＝x 2－(a ＋c )x ＋ac ，当x ＝a ＋c 2时，PB →·PC →最小，而已知P 0B →·P 0C →最小，所以c 2＝a ＋c 2，
此时a ＝0，所以AC ＝BC ，选择D.
8． 已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1，2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值
8．C [解析] 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝e x (x －1)＋(e x －1)＝x e x －1，则在x ＝1处取不到极值．当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，f ′(x )＝e x (x －1)2＋(e x －1)×2(x －1)＝(x －1)(x e x ＋e x －2)，f ′(1)＝0，f ′(2)>0，f ′1
2
<0，所以在x ＝1处取得极小值．
图1－2
9．， 如图1－2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是
C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
A. 2
B. 3
C.32
D.6
2
9．D [解析] 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝
3，⎩
⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，
m 2＋n 2＝（2c ）2
＝12，2mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝6
2
，选择D.
10． 在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B ＝f π(A )．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( )
A ．平面α与平面β垂直
B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C ．平面α与平面β平行
D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°
10．A [解析] 当α⊥β，且α∩β＝b ，设f α(P )＝A ，则P A ⊥α，Q 1＝f β[f α(P )]＝f β(A )，故AQ 1⊥β；同理设f β(P )＝B ，则PB ⊥β，Q 2＝f α[f β(P )]＝f α(B )，故BQ 2⊥α，故AQ 1∥PB ，P A ∥BQ 2，所以Q 1和Q 2重合，恒有PQ 1＝PQ 2，选择A.
11． 设二项式x －
13x
5
的展开式中常数项为A ，则A ＝________．
11．－10 [解析] T r ＋1＝C r 5x 5－r 2(－1)r x －r 3＝(－1)r C r 5x 15－5r 6，则15－5r 6＝0，r ＝3，故常数项A ＝T 4＝(－1)3C 35＝－10.
12． 若某几何体的三视图(单位：cm)如图1－3所示，则此几何体的体积等于________cm 3.
图1－3
12．24 [解析] 此几何体知直观图是一个直三棱柱挖去一个三棱锥而得，如图所示，则体积为12×3×4×5－13×1
2
×3×4×3＝24.
13． 设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝
________．
13．2 [解析] 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC 及其内部，A (2，0)，B (4，4)，C (0，2)，要使z 的最大值为12，只能经过B 点，此时12＝4k ＋4，k ＝2.
14． 将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
14．480 [解析] 先在6个位置找3个位置，有C 36种情况，
A ，
B 均在
C 的同侧，有CAB ，CBA ，ABC ，BAC ，而剩下
D ，
E ，
F 有A 33种情况，故共有4C 36A 3
3＝480种．
15． 设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．
15．±1 [解析] 设直线l ：my ＝x ＋1，代入y 2＝4x 得y 2－4my ＋4＝0，则y A ＋y B ＝4m ，因为Q 为线段AB 的中点，则y Q ＝y A ＋y B
2＝2m ，x Q ＝my Q －1＝2m 2－1，故Q (2m 2－1，2m )，
又|FQ |2＝4，(2m 2－2)2＋(2m )2＝4⇒m 4－m 2＝0，所以m ＝±1.
16． 在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝1
3
，则sin ∠BAC ＝________．
16.
63 [解析] 设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，tan ∠BAM ＝12 2
.
而tan ∠BAM ＝tan(∠BAC －∠CAM )＝tan ∠BAC －tan ∠CAM
1＋tan ∠BAC ·tan ∠CAM
＝a b －a 2b 1＋a b ·a 2b ＝a 2b 1＋a 22b 2
＝
1
2 2
，
则2a b ＝1＋a 22b 2⇒a 2b 2－22a b ＋2＝0⇒a b －22＝0，故a b ＝2⇒sin ∠BAC ＝a c ＝a
a 2＋
b 2＝
2b 3b ＝63
. 17． 设1，2为单位向量，非零向量＝x 1＋y 2，x ，y ∈若1，2的夹角为π6，则|x |
|b |的最大值
等于________．
17．2 [解析] |x |
|b |
＝
|x |2
|b |2
＝x 2
x 2e 21＋2xy e 1·e 2＋y 2e 22＝
x 2
x 2＋2xy ×3
2
＋y 2
＝
11＋3y x ＋y x
2
＝
1
y x ＋322＋14
≤
114
＝2. 18． 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列．
(1)求d ，a n ；
(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 18．解：(1))由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0. 所以d ＝－1或d ＝4.
所以a n ＝－n ＋11，n ∈*或a n ＝4n ＋6，n ∈*.
(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝－12n 2＋212
n .
当n ≥12时， |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－21
2
n ＋110.
综上所述，|a 1
|＋|a 2
|＋|a 3
|＋…＋|a n
|＝⎩⎨⎧－12n 2
＋21
2n ，n ≤11，
12n 2
－21
2n ＋110，n ≥12.
19． 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝5
9
，求a ∶b ∶c .
19．解：(1)由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.
P (ξ＝2)＝3×36×6＝1
4，
P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝1
3，
P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝5
18.
P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝1
9，
P (ξ＝6)＝1×16×6＝1
36，
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6 P
14
13
518
19
136
(2)由题意知η的分布列为
η 1 2 3 P
a
a ＋
b ＋c
b
a ＋
b ＋c
c
a ＋
b ＋c
所以Eη＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝5
3
，
Dη＝1－532·a a ＋b ＋c ＋2－532·b a ＋b ＋c ＋3－532·c a ＋b ＋c ＝5
9
，
化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，
a ＋4
b －11
c ＝0，
解得a ＝3c ，b ＝2c ，
故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.
图1－4 20．， 如图1－4所示，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝2 2，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC . (1)证明：PQ ∥平面BCD .
(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．
20．解：方法一：(1)证明：取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC .联结OP ，OF ，FQ .
因为AQ ＝3QC ，所以QF ∥AD ，且QF ＝1
4
AD .
因为O ，P 分别为BD ，BM 的中点，所以OP 是△BDM 的中位线，所以 OP ∥DM ，且OP ＝1
2
DM .
又点M 为AD 的中点，所以OP ∥AD ，且OP ＝1
4
AD .
从而OP ∥FQ ，且OP ＝FQ ，
所以四边形OPQF 为平行四边形，故PQ ∥OF .
又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD . (2)作CG ⊥BD 于点G ，作GH ⊥BM 于点H ，联结CH . 因为AD ⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ，所以AD ⊥CG .
又CG ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ，故CG ⊥平面ABD ，又BM ⊂平面ABD ，所以CG ⊥BM . 又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ，所以CH ⊥BM . 所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角，即∠CHG ＝60°. 设∠BDC ＝θ，在Rt △BCD 中， CD ＝BD cos θ＝2 2cos θ， CG ＝CD sin θ＝2 2cos θsin θ， BG ＝BC sin θ＝2 2sin 2θ，
在Rt △BDM 中，HG ＝BG ·DM BM ＝2 2sin 2 θ
3.
在Rt △CHG 中，tan ∠CHG ＝
CG HG ＝3cos θ
sin θ
＝ 3. 所以tan θ＝3，从而θ＝60°， 即∠BDC ＝60°.
方法二：
(1)证明：如图所示，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y ，z 轴的正半轴，
建立空间直角坐标系O －xyz .
由题意知A (0，2，2)，
B (0，－2，0)，D (0，2，0)．设点
C 的坐标为(x 0，y 0，0)，因为AQ →＝3QC →
，所以Q
34x 0，
24＋34y 0，12
. 因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P 0，0，12.所以PQ →＝
34x 0，
24＋3
4y 0
，0. 又平面BCD 的一个法向量为＝(0，0，1)，故PQ →
·＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .
(2)设＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量． 由CM →＝(－x 0，2－y 0，1)，BM →
＝(0，2 2，1)，
知⎩⎨⎧－x 0x ＋（2－y 0）y ＋z ＝0，2 2y ＋z ＝0.
取y ＝－1，得＝y 0＋2
x 0
，－1，2 2.
又平面BDM 的一个法向量为＝(1，0，0)，于是
|cos 〈，〉|＝
|m·n |
|m||n|
＝y 0＋2x 0
9＋
y 0＋2x 02＝12，
即
y 0＋2x 0
2
＝3.① 又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →
＝0，
故(－x 0，－2－y 0，0)·(－x 0，2－y 0，0)＝0，
即x 20＋y 2
0＝2.② 联立①②，解得⎩⎨⎧x 0
＝0，
y 0
＝－2(舍去)或⎩⎨⎧x 0
＝±6
2，y 0
＝2
2.
所以tan ∠BDC ＝x 0
2－y 0＝ 3.
又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°
.
图1－5
21．， 如图1－5所示，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长
轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)求△ABD 面积取得最大值时直线l 1的方程．
21．解：(1)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝1，
a ＝2，
所以椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.
又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1
k 2＋1
，
所以|AB |＝2
4－d 2
＝2
4k 2＋3
k 2＋1
. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2
＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0. 故x 0＝－8k 4＋k 2，
所以|PD |＝8
k 2＋1
4＋k 2
.
设△ABD 的面积为S ，则S ＝1
2·|AB |·|PD |＝8 4k 2＋34＋k 2，
所以S ＝
32
4k 2
＋3＋134k 2＋3
≤
322
4k 2＋3·
134k 2＋3
＝16 1313，当且仅当k ＝±102
时取
等号．
所以所求直线l 1的方程为y ＝±
10
2
x －1. 22． 已知a ∈，函数f (x )＝x 3－3x 2＋3ax －3a ＋3. (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x ∈[0，2]时，求|f (x )|的最大值．
22．解：(1)由题意 f ′(x )＝3x 2－6x ＋3a ，故 f ′(1)＝3a －3. 又f (1)＝1，所以所求的切线方程为y ＝(3a －3)x －3a ＋4. (2)由于f ′(x )＝3(x －1)2＋3(a －1)，0≤x ≤2，故
①当a ≤0时，有f ′(x )≤0，此时f (x )在[0，2]上单调递减，故 |f (x )|max ＝max {|f (0)|，|f (2)|}＝3－3a .
②当a ≥1时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0，2]上单调递增，故 |f (x )|max ＝max {|f (0)|，|f (2)|}＝3a －1.
③当0<a <1时，设x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a ，则 0<x 1<x 2<2，f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)． 列表如下： x 0 (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，2) 2 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 3－3a
单调 递增
极大值 f (x 1)
单调 递减
极小值 f (x 2)
单调 递增
3a －1
由于f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a ，f (x 2)＝1－2(1－a )1－a ， 故f (x 1)＋f (x 2)＝2>0，f (x 1)－f (x 2)＝4(1－a )1－a >0. 从而f (x 1)>|f (x 2)|.
所以|f (x )|max ＝max{f (0)，|f (2)|，f (x 1)}． (Ⅰ)当0<a <2
3
时，f (0)>|f (2)|.
又f (x 1)－f (0)＝2(1－a )1－a －(2－3a )＝a 2（3－4a ）
2（1－a ）1－a ＋2－3a >0，
故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a .
(Ⅱ)当2
3
≤a <1时，|f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)．
又f (x 1)－|f (2)|＝2(1－a )1－a －(3a －2)＝a 2（3－4a ）2（1－a ）1－a ＋3a －2.
所以(i)当23≤a <3
4时，f (x 1)>|f (2)|.
故f (x )max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a . (ii)当3
4≤a <1时，f (x 1)≤|f (2)|.
故f (x )max ＝|f (2)|＝3a －1. 综上所述，
|f (x )|max
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3－3a ，a ≤0；
1＋2（1－a ）1－a ，0<a <3
4；
3a －1，a ≥34
.
自选模块
1． (1)解不等式|x －1|＋|x －4|≥5.
(2)求函数y ＝|x －1|＋|x －4|＋x 2－4x 的最小值．
1．解：(1)当x <1时，1－x ＋4－x ≥5，得x ≤0，此时x ≤0； 当1≤x ≤4时，x －1＋4－x ≥5，得3≥5，此时x ∈∅； 当x >4时，x －1＋x －4≥5，得x ≥5，此时x ≥5.
综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪[5，＋∞)． (2)因为|x －1|＋|x －4|≥|(x －1)－(x －4)|＝3， 当且仅当1≤x ≤4时取等号；
x 2－4x ＝(x －2)2－4≥－4，当且仅当x ＝2时取等号．
故|x －1|＋|x －4|＋x 2－4x ≥3－4＝－1，当x ＝2时取等号．
所以y ＝|x －1|＋|x －4|＋x 2－4x 的最小值为－1.
2．， 已知a ∈“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块
(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．
(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩
⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点P (2，1)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若|P A |·|PB |＝83
，求|AB |的值． 2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ.
又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，
故化成直角坐标方程为x ＋y (x 2＋y 2)＝x 2＋y 2.
又(0，0)满足原极坐标方程．
故所求的直角坐标方程为x ＋y (x 2＋y 2)＝x 2＋y 2.
(2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2.
设过点P (2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)． 及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2.
将直线的参数方程代入x 2＋2y 2＝2得
(2＋t cos α)2＋2(1＋t sin α)2－2＝0.
即(1＋sin 2α)t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0.
则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2 α)>0，且t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）1＋sin 2 α，t 1t 2＝41＋sin 2 α
， 由|P A |·|PB |＝83得|t 1t 2|＝41＋sin 2 α＝83
. 故sin 2 α＝12
.又由Δ>0得0<tan α<2. 故t 1＋t 2＝8 23，t 1t 2＝83
. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝
4 23.。