2021-2022学年北师大版数学必修第一册单元测试附答案第四章对数运算与对数函数.docx

第四章对数运算与对数函数
考试时间120分钟，满分150分.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）
1. 若对数logu-1)(4A —5)有意义，则x 的取值范围是()
A.
B. §>x>2
C. ^>.v>2 或 x>2
D. 2S S A <3
2. 已知 log7 [log3 (log 2X )] =0,那么『2 等于( )
A. |
B.平
3 6 C 也 D 吏 s 4
"9 3. 若 y=logs6 • log6? • log 78 • log 89 • log 910,贝!J (
) A.汽(0, 1) B.汽(1,
2) C. ye (2, 3)
D. 03, 4) 4. 设函数/(x) =10g2%,若六。

+1)>2,则"的取值范围为()
A. (—1,
3) B. (—8, 3) C. (一8, 1)
D. (-1, 1) ］（3。

一1）尤+4。

，x>L
5.
已知/（x ） =1 是R 上的减函数，那么"的取
值范围是（）
〔log* x^l
6.在同一直角坐标系中，函数y=^,y=log«^r+£）, （o>0且o#0）的图象可能是（
1-3 1-7 一︓
(O A.
A 23
A.-百
C J-
19
D- 24
八廿In 2 T In 3 In 5
)
z
8.右u—2，b—3 , c—5，贝！J (
A. a>b>c
B. c>b>a
C. c>a>b
D. b>a>c
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9.若10"=4, 10*=25,贝!]( )
A. a+/?=2
B. b—0=1
C. cib>8 (1g 2)2
D. Z?—«>lg 6
10.若0>a>l,则下列四个不等式中成立的是()
A. log。

(1 +a) >log^l +~J B .logo (1 + Q)> loga(l +-J
C. a i+a>al+~ a
D. a[+a>al+~
a
11.若则下列结论中正确的是()
A. \og a b>logba B・ log。

+log力>2
C. (logg)2>l
D. \ogab + logg > \ogab + log*
12.设函数/(.r) =log i，r,下列四个命题正确的是()
2
A.函数f(|x|)为偶函数
B.若/(o) = \f(b) | ,且a>0, b>Q, a球b,则ab=l
C.函数f(—矽+2x)在(1, 3)上单调递增
D.若0>a>l,则|/(1+a) | > |/(1-a)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.函数y=lo gi(l-2A')的单调递增区间为—.
2
14.设2a=5b=m,且土+号=2,则初=.
｛
一工+6,尤<2,
, («>0,且”/1)的值域是[4, +8),则/(1)=
3十log/, x>2,
实数a的取值范围是.
16.已知函数/（x）=ln.r和g（x）=e*的图象与函数y=-.r+2的图象在第一象限内的交点分别为M（xi，yi）, N（X2, %），则xi+x2=.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10 分）（1）计算31og32+27|+lg 50+lg 2；
（2）已知2"=3, #=6,求2b~a的值.
18.（本小题满分12 分）已知/（.r） = （logj.r）2—21og1.r+4, [2, 4].
2 2
⑴设Z=logp;, [2, 4],求/的最大值与最小值；2
⑵求八0的值域.
19.（本小题满分12分）已知函数/（x） =logi（X2—2tzx+3）・
2
（1）若函数的定义域为（一 8, l）U（3, +8）,求实数"的值;
（2）若函数的值域为（一8, -1],求实数"的值.
20.(本
小题
满分
12
分)
已知
/(X)
是定
义在
R上
的偶
函
数，
且当
A<0
时，
处)=
lo g, (-
2
x+1).
(1)求f(0), f(l)；
⑵求函数f(x)的解析式；
(3)若/(«-!)>-!,求实数a的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知函数g(x) = 2"是奇函数，f(x)=log4(4%+1) 是偶函数.
(1)求m+n的值；
⑵设/? (x) =f(x) +§,若g (,v) >h [log4 (2«+1)]对任意的xNl恒成立，求实数a的取值范围.
22.(本小题满分12分)若函数f(x)的定义域为R,且满足对任意A-i, .r2eR,有f(xi +&) </(%1) +/(%2)，则称f(x)为"V形函数”；若函数g(x)定义域为R, g(x)恒大于0, 且对任意Xl, X2ER,有lg g(xi+x2)Wig g(xi) +lg g(X2),则称g (x)为"对数V 形函数
⑴当六X)=j时，判断函数六X)是否为“V形函数"，并说明理由；
(2)当g(x)=x2+2时，证明：g(x)是''对数V形函数”；
⑶若/Xx)是“V形函数”，且满足对任意A GR,有f(x) ^2,问/Xx)是否为“对数V 形函数” ？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由.
第四章对数运算与对数函数
考试时间120分钟，满分150分.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）
1.若对数loga-i）（4A—5）有意义，则x的取值范围是（C ）
A. B. m>x>2
C. j>x>2 或x>2
D. 2WxW3
工一1>0,
［解析］由题意得"一1尹1,
4x-5>0,
解得X>|,且X丰〉.
\_
2.已知log7［log3 （log2x）］ =0,那么『2 等于（C ）
A. §
B.
C.乎
D.寻
[解析]由log7[log3 (logax) ] =0,得log3(Iog2%) = 1,
log2X=3, .\X=23=8.
4 __L顼
:=福=4・
3.若y=log56 • log6? • log?8 • logs9 • logMO,
A. ye(0, 1)
B. ye(l, 2)
C. ye (2, 3)
D. ye (3, 4)
［解析1序式=蛙•虫•虹如=电
I用牛如黑互i g 5 i g 6 i g 7 1g 8 1g 9 1g 5
log510e(l, 2).
4.设函数/（x） =log2x,若角z+l）>2,则i的取值范围为（A ）
A. (—1, 3)
B. (—8, 3)
C. (—8, 1)
D. (-1, 1)
［解析］..•函数f(x) =log2x在定义域内单调递增，f(4) =log24=2,
...不等式/(«+1)>2等价于0>。

+1>4,解得一1>。

>3,故选A.
［(3。

一1)工+4。

，x>l,
5.已知/(x) = { * 是R上的减函数，那么。

的取值范围是(B )
/ 、
ri n A. (0, 1)
B. 0 刃
C.(0, I)
D. (*, 3
‘3。

一1>0, ［解析］由题意得&—l+4aN0,解得；故选B.
0>«>1,
6. （2019 •浙江高考,6）在同一直角坐标系中，函数y=§，y=logaJ+§），（a>0且a/o ） 的图象可能是（D ）
［解析］令x+；=l,得了=§,
函数y=log （x+§）的图象过点食0）,排除A 、C ；又函数y=-^与y=log （+3的 单调性相反，排除B,故选D.
元(Q4),
7.
给出处)=［2 则/(log 23)的值等于(D ) /(x+1) (x>4),
A 23 R 1 A -
B - IT
C 【
D X
顼19 24 ［解析］因为 log23E (l, 2), 所以 /(log 23) =/(log 23 + l) =/(log 26) =/(log 26+l)
=/(log 212) =/(log 212+l)
=/(log 224)=210二24=£・
c 什 In 2 , In 3 In 5 _ x 8. 右 ci —~2 ~，b=~~~~，则( C )
A. a>b>c
B. c>b>a
C. c>a>b
D. b>a>c ［解析］解法 1：。

=当2=； . in 2 = ln 2。

，
,In 3 1 | In 5 1 b=~^~=w In 3=ln 3 , c=~=ln 5§.
i
1 1 ...(2
2 )30=215, (33)30=310, (55)30=56, 而 56>215>310,
1 1 1 ...55 >2? >3亍
2 11 .\ln 55 >ln >ln 33.
:.c>a>b.:.故选 C.
钢、工 c , In 2 In 3 31n 2—21n 3
解法2：a-b=—^—^= --------------- -----------
=7 (In 8—In 9) >0. o
■'.a>b.同理可得c>a, ：.c>a>b.故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9.若10〃=4, 10^=25,贝U( AC )
A. a+b^2
B. b。

=1
C. a&>8(lg 2)2
D. b~a>lg 6
［解析］V 10a=4, 10力=25, :.a=lg 4, b=lg 25,
.'.a+b—lg 4+lg 25=lg 100=2,
25
b~a=\g 25-lg 4 = lg^->lg 6,
ab=2lg 2X21g 5=41g 2Xlg 5>41g 2Xlg 4=8(lg 2)2.
10.若0>a>l,则下列四个不等式中成立的是(BD )
A. log fl (1 +a) >log/l +~^
B. log fl (1+a) >log/l +£)
C. a i+a>al+~
D. a i+a>al+~
a a
［解析］VO>4Z>1,「・1>云，从而1+。

>1+］
...loga(l+。

)>log6Z^l +£), a i+a>al+^
11.若1>土>%,则下列结论中正确的是(ABC )
A. logab > log* B . I logab+log* I > 2
c. (log^)2>l D. | logab | + | logba | > | logab+log h a |
［解析］方法一(通法)：...0>Z?>Q>1,
则logab >1, 0〉log* > 1, logab • logba = 1,
/. logab > log*,故A 正确;
由基本不等式得，logab+logba>2yj\ogab • \ogba=2,故 B 正确；
由上述分析可知,0> (logz,a) 2> 1, I logab \ + | logba \ = \ log a/?+log^ |,故C 正确,D 错
误.
方法二(特殊值法)：•••1>土>/，^0>b>a>l,
不妨令a=f，则log〃b=2, log*=；,
易得A, B, C均正确，只有D错误.
12.设函数/(x) =lo gi x,下列四个命题正确的是(ABD )
2
A.函数六*|)为偶函数
B.若f(a) = |/(Z?) |,且a>0, b>0,奸b,则ab=l
C.函数/(-X2+2X)在(1, 3)上单调递增
D.若0>。

〉1,则|/(1+«) | > |/(1—a) I
［解析］由题知，/(x) =\ogyX, x>0,
2
函数f(|%|) =log i|x|, V/(| —x|) =/(l^l),
2
/./(kl)为偶函数,A正确；
若/(a) = IfW I,且a>0, b>0, a圭b,
则f(a) = \f(b) | = —f(b),
/.log1o+log1Z?=log1 (aZ?) =0, ab=l,因此B 正确；
2 2 2
函数/(—X2+2X) =logi (~X2+2X),由一那+2尤>0,解得。

>工>2, 2
・.・函数的定义域为(0, 2),因此在(1, 3)上不具有单调性，C不正确；若0>。

>1,则
2>l+a>l>l—a>0, .,./(l+tz) >0>/(l—tz),故\f(\+a) \ — |/(1—tz) | = —f(l+a) ~f(l ~a) = — log1 (1 —W) >0,
2
即|/(l+«)|>|/(l-6z)|,因此 D 正确.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.函数y=lo gi(l-2x)的单调递增区间为(一8, §•
［解析］令U=l—2x,函数M=l—2%在区间(一8, 内递减，而y=logjM是减函数，
故函数7=^(1-2x)在(一8, B内递增.
2
14.设2a=5b=m,且｝+'=2,则m= A/T O .
［解析］Vtz=log2m, Z?=log5m,
.1,1 1 , 1
..—-—--------- —-------
,9 a b logzm logsm
—log w2+log w5 — logm 10 — 2,
Am2 =10.又
x+6, xW2,
15.若函数fCx) =\ . (o>0,且。

夭1)的值域是［4, +°°),则f(l)
= 5 ,
［3 + log/, x>2, 实数a的取值范围是(1, 2］.
［解析］f⑴= — 1+6=5,当xW2 时，/(x) = —x+6^4,
要使f(x)的值域是［4, +8),则当x>2时，fG)=3+logaxN4恒成立，即logarNl.
若0>。

>1,则不等式log^x^l不成立，
当a>l时，则由logarN］=loga。

,则Q W X,
因为工>2,所以Q W2,即1>Q W2.
即1的取值范围是(1, 2］.
16.己知函数/(x) =ln尤和g(x) =W的图象与函数y=~x+2的图象在第一象限内的交点分别为M(X1, yi), N(X2, >2),则Xi+X2= 2 .
［解析］函数/(x) =ln X和g(0=w互为反函数，图象关于直线y=x对称，它们的图
[y——x+2,
象与＞=-x+2的图象在第一象限内的交点A/, N也关于直线y=x对称，由＜得X=l,所以"I'』],所以X1+X2=2.
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)⑴计算31og32+27|+lg 50+lg 2；
(2)已知2a=3, 4b=6,求2b~a的值.
[解析](l)31og32+27§+lg 50+lg 2=2+3+lg 100=2+3+2=7.
(2)由2"=3,得a=log23,又由4"=6,即22b=6,得2Z?=log26,
所以2b~a=logi6—log23=log22 = 1.
18.(本小题满分12 分)已知/(x) = (log^)2—Zlogjx+4, [2, 4].
2 2
(1)设^logjx, xe[2, 4],求』的最大值与最小值；
2
(2)求六工)的值域.
[解析](1)因为函数£=logF在[2, 4]上单调递减，所以知ax = log[2= —1,切n = log【4
2 2 2 = —2.
(2)令f=logpX,工仁[2, 4],则g(r)=户一2/+4=(Ll)2+3,由⑴得2, —1].因
2
此当/=—2,即X=4时，/tr)max = g(，)max=12；当t=~l,即X=2时，f (力min = g ① min =
7.
故函数六0的值域为[7, 12].
19.(本小题满分12分)已知函数八X)=log1(X2—2tzx+3)・
2
(1)若函数的定义域为(一8, 1) U (3, +8),求实数。

的值；
(2)若函数的值域为(一8, -1],求实数a的值.
[解析](1)由题意，知x1~2ax+3＞0的解集为
( — 8, 1) U (3, +8),故a=2.
(2)若函数的值域为(一8, —1],
即f(x) =log] (x2—2ax+3) W —1,且一1 能取到，
2
故2ax+3N2.
故a2—1=0,即a—\或a=~l.
20.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当xWO时，f(x) =log](-
2 x+1)・
(1)求f(0), /(l)；
(2)求函数六工)的解析式；
(3)若/U-1)>-1,求实数。

的取值范围.
[解析] ⑴由题意知/*(()) =log]l=0, /*(1) =f(—1) =log[2= —1.
2 2
(2)令x>0,则一x>0, =lo gi(x+l) =f(x),
2
/.x>0 时，f(x) =logi (x+1)・
2
pog^U+l), x>0,
[log](—x+l), xWO.
(3)易知八r)在(一8, o]上单调递增，在(o, +8)上单调递减，又/(^― 1) > —1=/(1),
/. \ a~\ | >1,「.I〉2 或i>0.
故实数。

的取值范围是(一8, o) U (2, +°°).
4’--n
21.(本小题满分12分)已知函数g CO = 2工是奇函数,六工)=log4(4*+l)是偶函
数.
(1)求m+n的值;
(2)设h (x) =f(x)若g(x) >/z[log4(2«+l)]对任意的xNl恒成立，求实数。

的取
值范围.
[解析](l)..・g(x)是奇函数，且定义域为R,
.・.g(0) =0,
即土K=o,解得〃=i.
*.y(x)是偶函数，..・，(—%)=f(x),
即log4(4-%+1) — mx=log4(4x+l) — (m+l)x=log4(4*+l) /. (2m+l)x=0.
又xER, 2m+l=0,即m= m+n=^.
(2) •「h (x) =f(x) +§x=log4 (4X+1),
4"— 1 _
A h[Iog4(2a+1)] =10g4(2a+2),又g(x) =^^=2X~2~X在区间[1,+<^)上单调递增，
3
.••当X^l时,gG)min = g(l) =2«
3 1
由题意得万>log4(2o+2),即2a+2>4z,解得a>3,
又2。

+1>0,二。

〉一•*,—§>。

>3.
故实数a的取值范围是"z| —.
22.(本小题满分12分)若函数六工)的定义域为R,且满足对任意为，x2eR,有/*(由+X2)W/txi) +/(X2),则称/tx)为“V形函数”；若函数g(x)定义域为R, g(x)恒大于0, 且对任意工1，X2《R，有lg g (Xl+%2)^lg g(Xl) +lg g(X2)，则称g(x)为“对数V形函数"・
(1)当f(x) 时，判断函数六工)是否为“V形函数”，并说明理由；
(2)当g(x)=^+2时，证明：g(0是“对数V形函数”；
(3)若八0是“V形函数”，且满足对任意xeR,有fS问六尤)是否为“对数V 形函数” ？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由.
[解析](1)/G1+尤2)— [/(XI)+/(%2)] =(X1+X2)2—(好+场=2工1刀2.
Vxi, X2&R,..・当2xiX2^0时，处;)是“V形函数”；当2XI%2>0时，八0不是“V形函数”.
⑵假设对任意Xl, X2^R，有lg g(X1 +x2)Wlgg(xi) +lgg(x2)，则lggS+x2)—IggS) —lg g(x2)=lg[(xi+x2)2+2] —lg(x?+2) —lg("+2) WO,
/.U I+X2)2+2^(%I+2) (W+2),
.*.XiX2+(Xl—X2)2 + 2^0,显然成立，
..・假设正确，g(x)是“对数V形函数” .
(3)六0是“对数V形函数".证明如下.
•.7*(尤)是“V形函数"，..•对任意由，X2&R,有f(xi+x2)W/Gl) +/(X2).
•・•对任意x eR,有处)32,
/.O>/(X1) +/(X2)^/(Xl)/(X2),
.L/(Xl +X2)W/txi)/(X2),
lg /(Xl+X2)Wig /(Xl) +lg /(X2),
•.・f(0是“对数V形函数” .。