人教版高中数学必修五一元二次不等式及其解法一测试题

§3.2 一元二次不等式及其解法(一) 课时目标
1．会解简单的一元二次不等式．
2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．
(1)若a >0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a ； (2)若a <0，解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x <b a . 2．一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：
(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：
判别式 Δ＝b 2－4ac
Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx
＋c
(a >0)的图象 一元二次方程ax 2＋
bx ＋c
＝0(a >0)的根
ax 2＋bx ＋c >0
(a >0)的解集
(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠－b 2a } R ax 2＋bx ＋c <0
(a >0)的解集
{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅
一、选择题
1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )
A.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－23≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≤－32
答案 B
解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，
∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，
∴x ≥12或x ≤－23
. 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >2}
B ．{x |x ≤－1或x ≥2}
C ．{x |－1<x <2}
D ．{x |－1≤x ≤2}
答案 D
解析 由题意知，－b a ＝1，c a
＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，
又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.
3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( )
A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
答案 B
解析 ∵⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，∴x ≤－6或x >2. 4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为
( )
A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2)
答案 B
解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0，
∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1.
5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2,2)
B ．(－2,2]
C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D ．(－∞，2)
答案 B
解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ，
∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.
当m ＝2时，4>0，x ∈R ；
当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，
解得－2<m <2.此时，x ∈R .
综上所述，－2<m ≤2.
6．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)
C ．(－1,1)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(1,3)
答案 A
解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，
当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；
当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.
所以f (x )>f (1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)．
二、填空题
7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应点如下表：
X
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是______________．
答案 {x |x <－2或x >3}
8．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________．
答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}
解析 ∵⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0， ∴－3≤x <－2或0<x ≤1.
9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4
解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2.
10．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________________．
答案 {x |x <1－52或x >1＋52
} 解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34
>0， ∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0可转化为
解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知，
x 1＝1－52，x 2＝1＋52
. ∴x 2－x －1>0的解集是
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. ∴原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. 三、解答题 11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．
解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2， ∴⎩⎨⎧
－13＋2＝－b a －13×2＝c a ，∴b ＝－53a ，c ＝－23a . 所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为
⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭
⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2－5ax －3a >0.
又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，
所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－12<x <3. 12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.
解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为
(x －a )(x －a 2)>0.
∵a 2－a ＝a (a －1)．
∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．
当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }．
当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．
综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；
当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；
当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．
【能力提升】
13．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1
B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1
C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3
D.⎝⎛⎭
⎫0，2a 3 答案 B
解析 由(1－a i x )2<1，
得1－2a i x ＋(a i x )2<1，
即a i ·x (a i x －2)<0.
又a 1>a 2>a 3>0.
∴0<x <2a i
， 即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3
. ∵2a 3>2a 2>2a 1
>0 ∴0<x <2a 1
. 14．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．
解 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，
化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.
当a ＝0时，x ≤－1；
当a >0时，x ≥2a
或x ≤－1； 当－2<a <0时，2a
≤x ≤－1； 当a ＝－2时，x ＝－1；
当a <－2时，－1≤x ≤2a
. 综上所述，
当a >0时，解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1； 当a ＝0时，解集为{}x |x ≤－1；
当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；
当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－1≤x ≤2a .
1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．
2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．
3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．
附赠材料
答题六注意：规范答题不丢分
提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:
第一,考前做好准备工作。

做题前要做好准备工作,包括认真检查答题卡页数和条形码上的姓名、考号与本人的姓名、准考证上的号是否相符等。

此外还要准确填写答题卡的相关信息,正确粘贴条形码,注意不能超出框外。

第二,使用规定的笔作答。

答选择题时,考生必须用2B 型铅笔在答题卡上的“选择题答题区”内将对应题目的选项字母点涂黑
第三,答题不要超出规定范围。

考生必须在答题卡各题目规定的答题区域内作答(包括画表及作辅助线)。

在各题目指定答题区域外的地方,或超越试卷上标出的边界作答,或者自己编题号,其答案都是无效的。

第四,若题中有图,答题前应规划好“布局”,合理安排空间。

例如几何题,图形多在左边。

这种情况下建议大家从图下方开始写起,书写规范字迹清晰,避免“箭头”“地图”等出现。

第五,答题卡千万别折叠。

考生答题时,要注意保持答题卡的清洁,不能折叠、弄皱和损坏答题卡,以免影响计算机扫描。

第六,书写要整洁。

有的学生的答案“布局”很乱,还用箭头标注下一句话的位置,加上字迹潦草、卷面不整洁等情况,阅卷老师很难辨认,甚至对考生的学习态度、学习习惯和知识基础产生怀疑,由此分数也将大受影响来确定一个足够
小的范围,要是四个选项中有一个答案是满足该范围的,那么正确答案也就有了。

第五,草图法。

在解答选择题的过程中,可先根椐题意画出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质和图形的特征等,得出结论。

在答选择题时,你可以采取先易后难的答题顺序。

先从前往后把你认为有把握的题先做完,然后再做那些不确定的题;对自己把握不大的题可采用排他法,尽可能排除你认为不正确的答案。

这样在剩余的答案中进行选择,正确率就会。