3.3.2第2课时 直线与抛物线的位置关系 导学案正文

第2课时直线与抛物线的位置关系
【学习目标】
1.由直线与抛物线的方程,利用代数方法解决与直线和抛物线位置关系有关的问题.
2.能初步运用抛物线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
◆知识点一直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,则有
判别式位置关系交点情况
Δ>0直线与抛物线
Δ=0直线与抛物线
Δ<0直线与抛物线
(2)若k=0,则直线与抛物线有交点,此时直线与抛物线的对称轴.
【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.( )
(2)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.( )
◆知识点二弦长公式
若直线(斜率为k且k≠0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=
=.
(1)若直线AB过抛物线的焦点F,则|AB|=,x1x2=,y1y2=.
(2)若直线AB过抛物线的焦点F且垂直于x轴,则|AB|=.
(3)若直线AB过抛物线的焦点F且直线的倾斜角为α,则|AB|=.
◆探究点一直线与抛物线的位置关系
例1已知抛物线C:y2=-2x,过点P(1,1)的直线l的斜率为k,当k取何值时,l与C有一个公共点,有两个公共点,无公共点?
变式 已知点A (0,2)和抛物线C :y 2=6x ,求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程.
[素养小结]
当直线与抛物线有两个交点时,设直线方程的方法如下:
若抛物线的方程为y 2=±2px (p>0),则设直线l 的方程为x=my+n ;
若抛物线的方程为x 2=±2py (p>0),则设直线l 的方程为y=kx+m.
◆ 探究点二 与抛物线有关的弦长、中点弦问题
例2 已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线l 与C 交于A ,B 两点.
(1)若l 的倾斜角为π6且l 过点F ,求|AB|;
(2)若线段AB 的中点坐标为(3,-2),求l 的方程.
变式 (1)设点P (x ,y )(y ≥0)为平面直角坐标系内的一个动点,O 为坐标原点,点P 到定点M (0,12)的距离比到x 轴的距离大12. ①求点P 的轨迹方程;
②若直线l :y=kx+1与点P 的轨迹交于A ,B 两点,且|AB|=2√6,求实数k 的值.
(2)已知抛物线y 2=2x ,过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A ,B 两点,试求弦AB 中点的轨迹方程.
[素养小结]
“中点弦”问题的两种解题策略
(1)点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=y 1-y 2x 1-x 2
求斜率,再由点斜式求解. (2)传统法:设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x (或y )得关于y (或x )的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,进而求解.
◆探究点三抛物线的综合问题
例3设点F(1,0),动圆P经过点F且和直线x=-1相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知点D(2,0),过F的直线交C于M,N两点,直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线
为定值.
MN,AB的斜率分别为k1,k2,求证:k1
k2
变式 [2024·辽宁六校高二期中] 已知P(4,y0)是抛物线C:y2=2px(p>0)上位于第一象限的一点,且P到C
的焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设A,B为C上异于P的两点,且直线PA与PB的斜率之积为-4,证明:直线AB过定点.
[素养小结]
与抛物线有关的综合问题,体现在最值、定点和定值方面,解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等,解决这些问题的关键是代换和转化.。