(完整)数学北师大版八年级下册三线合一

专题训练(六)__“三线合一”好解题
►类型之一证明线段相等
1．已知：如图6－ZT－1所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.
图6－ZT－1
[解析] 欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E.根据等腰三角形的“三线合一”和等边三角形的性质可得∠DBE＝1
∠ABC＝30°.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得∠E
2
＝30°.由此可得结论．
证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠ABC＝30°.(等腰三角形的“三线合一”)
∴∠DBE＝1
2
∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.
∵∠ACB为△CDE的外角，∠ACB＝60°，
∴∠CDE＋∠E＝60°.
∴∠CDE＝∠E＝30°.
又∵∠DBE＝30°，
∴BD＝DE.(等角对等边)
2．如图6－ZT－2所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.
求证：AD＝AE.
图6－ZT－2
[解析] 本题可通过全等三角形来证线段相等．在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，BD＝EC且∠B＝∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD＝AE的结论．也可根据等腰三角形三线合一来证明．
证明：过点A作AF⊥BC于点F.
图ZT－6－1
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF.(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)
又∵BD＝CE，
∴BF－BD＝CF－CE，即DF＝EF，
∴AF是DE的垂直平分线，∴AD＝AE.
►类型之二证明两线垂直
3．如图6－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：AD⊥BC.
图6－ZT－3
[解析] 首先证明∠DBC＝∠DCB，可得DB＝DC，再加上条件AB＝AC，公共边AD ＝AD，可利用SSS证明△ABD≌△ACD，进而得到∠BAD＝∠CAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出AD⊥BC.本题通过证明AD是BC的垂直平分线也可得证，如下面的证法．
证明：延长AD交BC于点M，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD，即∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC.
图ZT －6－2
4．如图6－ZT －4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 上一点，∠DBC ＝1
2∠BAC.求证：
AC ⊥BD.
图6－ZT －4
[解析] 首先过点A 作AE ⊥BC 交BC 于点E ，交BD 于点F.由AB ＝AC ，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得∠CAE ＝12∠BAC ，又由∠DBC ＝1
2∠BAC ，在△ADF 与△BEF
中，易证得∠ADF ＝∠BEF ＝90°，即可得AC ⊥BD.
证明：如图ZT －6－3，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F.
图ZT －6－3
∵AB ＝AC ，AE ⊥BC ，
∴∠CAE ＝1
2∠BAC.(等腰三角形的“三线合一”)
又∵∠DBC ＝1
2
∠BAC ，
∴∠CAE ＝∠DBC.
∵∠1＝∠2，∠ADF ＝180°－∠2－∠CAE ，∠BEF ＝180°－∠1－∠DBC ， ∴∠ADF ＝∠BEF.
∵AE ⊥BC ，∴∠BEF ＝90°. ∴∠ADF ＝90°.∴BD ⊥AC.
► 类型之三 证明角的倍分关系
5．已知：如图6－ZT －5所示，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ，垂足为E ，AE ＝ED ，PB 分别与线段CF ，AF 相交于点P ，M ，∠F ＝∠MCD.求证：∠BAC ＝2∠MPC.
图6－ZT －5
[解析] 先由AF 平分∠BAC 证明∠BAE ＝1
2∠BAC ，再根据等腰三角形“三线合一”和
线段垂直平分线的性质证明∠CDE ＝∠BAE.从而∠CDE ＝1
2∠BAC.然后在△MDC 和△MPF
中证明∠MDC ＝∠MPF.进而得∠MPF ＝∠MDC ，∠MPC ＝∠CDE ＝1
2
∠BAC 即可．
证明：∵AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ， ∴∠BAE ＝∠CAE ＝1
2∠BAC ，CE ＝BE.
∵CE ⊥AE ，AE ＝ED ， ∴AC ＝CD.
∴∠CDE ＝∠CAE ＝1
2∠BAC.
∵BC ⊥AF ，CE ＝BE ， ∴CM ＝BM. ∴∠CMA ＝∠BMA. 又∵∠BMA ＝∠PMF ， ∴∠CMD ＝∠PMF.
又∵∠F ＝∠MCD ，∠MPF ＝180°－(∠F ＋∠PMF)，∠MDC ＝180°－(∠MCD ＋∠CMD)，∴∠MPF ＝∠MDC.
∴∠MPC ＝∠CDE ＝∠CAE ＝1
2∠BAC.
∴∠BAC ＝2∠MPC.
► 类型之四 证明线段的倍分关系
6．如图6－ZT －6，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 为BC 上一点，ED ⊥BC 于点E ，交
CA的延长线于点F，求证：AD＝AF.
图6－ZT－6
[解析] 方法一：由AB＝AC，根据等边对等角的性质，可得∠B＝∠C.又由DE⊥BC，根据等角的余角相等和对顶角相等，可得∠F＝∠ADF，又由等角对等边，可证得AD＝AF.
图ZT－6－4
方法二：过点A作AG⊥BC，由等腰三角形的“三线合一”可得∠BAG＝∠CAG.再由平行线的性质证明∠F＝∠CAG，∠ADF＝∠BAG.进而可得结论．
证明：(方法一)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥BC，
∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BDE＝90°.
∴∠F＝∠BDE.
∵∠ADF＝∠BDE，
∴∠F＝∠ADF.
∴AD＝AF.
(方法二)如图ZT－6－4，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB＝AC，
∴∠BAG＝∠CAG.(等腰三角形“三线合一”)
∵AG⊥BC，ED⊥BC，
∴AG∥EF.
∴∠F ＝∠CAG ，∠ADF ＝∠BAG . ∴∠F ＝∠ADF. ∴AD ＝AF.
7．[2013·五河期末改编] 如图6－ZT －7所示，过等边三角形ABC 的边AB 上一点P ， 作PE ⊥AC 于点E.Q 为BC 延长线上一点，且PA ＝CQ ，连接PQ 交AC 边于点D. 求证：(1)PD ＝DQ ； (2)DE ＝1
2
AC.
图6－ZT －7
[解析] (1)过点P 作BC 的平行线交AC 于点F ，通过证明△PDF 和△QDC 全等，可推出PD ＝DQ ；
(2)由△APF 是等边三角形和PE ⊥AC ，可推出AE ＝EF ＝1
2AF.由△PDF 和△QDC 全等，
可得出FD ＝CD ＝1
2
FC ，进而可得DE 的长．
证明：(1)过点P 作PF ∥BC ，交AC 于点F.
图ZT －6－5
∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°. 又∵PF ∥BC ，
∴∠APF ＝∠AFP ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∴△APF 是等边三角形．∴PA ＝AF ＝PF. 又∵PA ＝CQ ，∴PF ＝CQ. ∵PF ∥BC ，∴∠FPD ＝∠Q. 在△PFD 和△QCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠FPD ＝∠Q ，∠PDF ＝∠QDC ，PF ＝QC ，
∴△PDF ≌△QDC.(AAS) ∴PD ＝QD.
(2)由(1)知PA ＝AF ，又∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF ＝1
2AF.(等腰三角形的三线合一)
由(1)知△PDF ≌△QDC ，∴FD ＝CD ＝1
2FC.
∴DE ＝EF ＋FD ＝12AF ＋12FC ＝12(AF ＋FC)＝1
2AC.。