1.1同位角、内错角、同旁内角.
同位角内错角同旁内角的概念区别和联系
同位角内错角同旁内角的概念区别和联系1. 引言概述：同位角内错角和同旁内角是平面几何中的重要概念，它们在解决角度关系问题时起着关键作用。
同位角内错角指的是处于平行线之间，同旁内角则是指两条穿过平行线的直线所形成的内部角。
本文将详细介绍同位角内错角和同旁内角的定义、性质以及它们之间的联系和区别。
文章结构：本文主要包括以下几个部分：引言、同位角的概念、内错角的概念、同旁内角的概念及关系以及总结与展望。
首先，我们将对同位角和内错角进行定义并介绍它们的特点和性质。
接下来，我们将探讨同旁内角的定义，并研究不同情况下同旁内角之间的关系。
最后，我们将总结所发现的重点，并展望未来可能的研究方向。
目的：本文旨在全面阐述同位角内错角和同旁内角这两个重要概念，并探索它们之间的区别和联系。
通过深入剖析其定义与性质以及实际应用示例，读者能够更好地理解这些概念在解决角度问题时的应用。
同时，本文也希望能够为未来相关研究提供一定的启示和方向。
致力于大纲中所给目录，本文将首先概述同位角内错角和同旁内角的整体框架，并明确文章结构。
接下来，我们将详细介绍同位角的定义与特点、性质以及举例说明。
然后，我们将深入探讨内错角的定义、性质和实际应用示例。
之后，我们将专注于同旁内角的定义并研究它们之间的关系。
最后，我们将总结所得，并对未来可能的研究方向进行展望。
通过阅读本文，读者将能够对同位角内错角和同旁内角有一个全面而清晰的认识，并能够准确理解它们在平面几何中的重要作用。
2. 同位角的概念:2.1 定义与特点:同位角是指两条平行线被一条截线所交，所形成的内角对。
这两个内角分别位于截线的同一侧，并且它们互为补角。
换句话说，同位角的和等于180度。
同位角具有以下特点：- 同位角都是内角，在两条平行线之间。
- 同位角相互补充，即一个角加上另一个角等于180度。
- 若直线与多组平行线相交，则同位角可以有多对。
2.2 同位角的性质:同位角满足以下性质：- 垂直定理: 若两条直线被一条截线所交，并且其中两个同位角是垂直的（即互为90度），则这两条直线必定是垂直的。
同位角,内错角,同旁内角的定义
同位角：即位置相同，两个角都在第三条直线的同旁，同在被截两条直线的上方或下方。
内错角：“内”指在被截两条直线之间；“错”即交错，在第三条直线的两侧。
（一个角在第三直线左侧，另一角在第三直线右侧）
同旁内角，“同旁”指在第三条直线的同侧；“内”指在被截两条直线之间。
平行线的性质：两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补
平行线的判定：同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
同位角,内错角,同旁内角的规律
同位角,内错角,同旁内角的规律
同位角、内错角、同旁内角是三角形中的特殊角度关系。
同位角（对顶角）：同位角是指两条平行线被一条直线截断时，直线与平行线之间的对应角，它们的度数相等。
内错角：内错角是指两条平行线被一条直线截断时，直线与平行线之间的交叉角，它们的度数相等。
同旁内角：同旁内角是指两条平行线被一条直线截断时，直线两侧同旁相对的角，它们的度数之和为180度。
总结规律：
1. 同位角的度数相等；
2. 内错角的度数相等；
3. 同旁内角的度数之和为180度。
这些规律在解决平行线相关问题时很有用，可以通过利用这些关系来推导、求解未知的角度。
1.1同位角、内错角、同旁内角
两条直线相交形成几个角?
（平行和相交） 4个
如果有两条直线和另一条直 线相交， 可以得到几个角？ 八
通常说:两条直线被第三条直线所截
被截线
如: 直线a、b被直线c 所截。
c
截线
a b
l3
2 1 3 4 6 5 7 8
l1
l2
1.1 同位角、内错角、同旁内角
1、课后作业题
2、作业本同步 1.1
l1
l2
是 上图中，（1）∠3与∠7是同位角吗？ 这样的一对角叫做内错角。 还有哪几对角是同位角？
3.像∠3与∠6都在第三条直线 l3 的 同旁，并且在 l1 l 2 之间 ， 与 这样的一对角叫做同旁内角。
∠2与∠6， ∠ 4与∠8 是 （2）∠4与∠6是内错角吗？ （3）还有其他同旁内角吗？ ∠4与∠5
D
3 4 2 1
A
5
6
8 7
E
C
B
D
1
A
4
课内练习 (见课本)
E
5
2
3
F
C B 1、（1）如果把图看成是直线AB,EF被直线CD所 截，那么∠1与∠2是一对什么角?∠3与∠4呢? ∠2 与∠4呢? (2)如果把图看成是直线CD,EF被直线AB所截，那么 ∠1与∠5是一对什么角? ∠4与∠5呢? (3)哪两条直线被哪一条所截，∠2与∠5是同位角?
P D 5 2 3 6 F 4 A
E
1 C B
Q
1.如图：直线AB、CD 被直线 AC 所截，所 产生的内错角是____________ 2.如图：直线AD、BC 被直线 DC 所截，产 生了 角，它们 是 。 A D
同位角、内错角、同旁内角含答案
1.1 同位角、内错角、同旁内角◆目标指引1．经历观察、比拟、动手操作等过程，培养识图能力和思维能力．2．体会两条直线被第三条直线所截产生的同位角、内错角、同旁内角概念．3．会识别两条直线被第三条直线所截产生的同位角、内错角、同旁内角．4．培养由较复杂的图形中分解出简单的、根本图形的能力．◆要点讲解1．两条直线被第三条直线所截时，构成了八个角，简称"三线八角〞．2．两条直线被第三条直线所截时，•要分清是哪两条直线被哪一条直线所截〔即第三条直线〕．3．每对同位角〔或内错角或同旁内角〕的四条边仅涉及三条直线，•两个角的边涉及的同一条直线就是截其余两条直线的"第三条直线〞，其余涉及的两条即为被截的两条直线．4．通过一定数量的变式图形的识别，大量正反例子的识别来形成同位角、•内错角、同旁内角的正确认识．◆学法指导1．在被截两条直线的同一方向，•在截线〔即第三条直线〕的同一侧的一对角为同位角；在被截两条直线之间，在截线〔即第三条直线〕的两侧的一对角为内错角；在被截两条直线之间，在截线〔即第三条直线〕的同一侧的一对角为同旁内角．2．在同位角、内错角、•同旁内角中的"同〞指在被截两条直线的同一方向或截线〔即第三条直线〕的同一侧："〞指被截两条直线之间；"错〞指在截线〔即第三条直线〕的两侧．3．同位角的形状像英文字母"F〞；内错角的形状像英文字母"Z〞；•同旁内角的形状像英文字母"C〞或"n〞．4．同位角、内错角、•同旁内角都是两条直线被第三条直线所截形成的没有公共顶点的一些所对的角．如果两角由四条直线构成〔即它们没有公共截线〕，则肯定既不是同位角，也不是内错角、同旁内角．5．对于有些较复杂的图形，刚开场识别时有一定困难，•解决这一困难的有效措施是：将指定的三条直线用有色笔描出来，突出研究截线，再去辩认角．假设图形不标准，可根据情况把线段〔或射线〕向两边〔或一边〕作适当延长．例题分析【例1】如下图，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4•分别是哪两条直线被哪一条直线所截而成的？它们是同位角、内错角、同旁内角中的哪一类角？【分析】由于∠1和∠4的公共边是BD，则BD为截线，AB，CE为被截直线，且∠1•和∠4在BD同一侧，在AB和CE的同一方向，∠2和∠3的公共边是AC，则AC为截线，CE，AB为被截直线，且∠2和∠3在AC的两侧，在AB和CE之间．∠3和∠4的公共边是AB，则AB为截线，AC、BC为被截直线，且∠3和∠4在AB的同一侧，在BC和AC之间．【解】∠1和∠4是直线AB和CE被直线BD所截而成的同位角．∠2和∠3是直线AB和CE被直线AC所截而成的内错角．∠3和∠4是直线AC和BC被直线AB所截而成的同旁内角．【注意】识别同位角、内错角、同旁内角的方法是：首先分清"两条直线〞和"第三条直线〞，再用"两条直线〞分内外，"第三条直线〞分两旁来确定每一个角的位置．【例2】如下图，直线DE交射线BA和BC于点E和D，请找出∠1•的同位角与∠B的同旁内角．【分析】∠1的同位角应与∠1有一条公共边DE或BC，假设公共边是DE，则DE是截线，BA和BC是被截两线．此时在直线DE同一侧，在直线BA和BC同一方向的角是∠5；•假设公共边是BC，则BC为截线，DE和BA为被截两线，此时在BC同一侧，DE和BA 同一方向的角是∠B．同理，∠B的同旁内角也有两个．【解】∠1的同位角是∠5与∠B．∠B的同旁内角是∠2与∠3．【注意】〔1〕三条线两两相交，任何一条线都可以看作是截线，•而其余两条为截线，故需要分类讨论．〔2〕找同位角、内错角、同旁内角应根据图形特点找出与角有关的线，•剔除与相关的角无联系的线．〔3〕假设图形不标准，•可视情况把线段〔或射线〕向两边〔或一边〕延长或者剔除一局部线段．【例3】平行线EF、MN与两相交直线AB、CD相交成如图的图形．请你找出图中共有多少对同旁内角？【分析】因为每一个"三线八角〞根本图形中都有2对同旁内角，从图中可以分解出以下4类根本图形〔图1，图2，图3，图4〕．图1 图2图3 图4对于图1，三条直线AB、CD、EF两两相交，找同旁内角时，有三种情形：•两直线AB和CD被第三条直线EF所截；两直线AB和EF被第三条直线CD所截；两直线CD 和EF被第三条直线AB所截．因此，对于图1，可分解出三个根本图形，每个根本图形有2对同旁内角，共有6对同旁内角．类似地，对图2，也可分解出三个根本图形，共有6对同旁内角．对于图3，由于EF和MN两直线平行，所以只有这一个根本图形，从而有2•对同旁内角．类似地，对于图4，也只有2对同旁内角．【解】图中共有16对同旁内角．【注意】将复杂的图形分解为根本图形，是解决几何问题的重要方法．◆练习提升一、根底训练1．如下图，AB、CD分别交EF于G、M，GH、MN分别与AB、CD交于G、M，•有以下结论：①∠1与∠4是同位角；②∠2与∠5是同位角；③∠EGB与∠GMD是同位角；④∠3与∠4是同旁内角．其中正确的结论个数有〔〕A．4个B．3个C．8对D．12对3．以下图中，∠α和∠β不是同位角的是〔〕A B C D4．如下图，E是BC延长线上一点，则直线AB和CD被AC所截而成的内错角是〔〕A．∠2与∠3 B．∠1与∠4C．∠D与∠5 D．∠1与∠ACE(第4题) (第5题)5．如下图，直线MN分别交AB、AC于点D、E．〔1〕直线DE和BC被AB所截而成的同位角是______，同旁内角是______．〔2〕∠2与∠6是直线_____和_____被直线_____所截而成的内错角．〔3〕∠A与∠3是直线_____和_____被直线_____所截而成的_______．6．如下图，答复以下问题：〔1〕∠1和∠B构成什么角？〔2〕∠2和∠A构成什么角？〔3〕∠B和哪些角构成同旁内角？7．如下图，直线a和直线b被直线L所截而成的同位角、内错角、同旁内角分别有多少对？请写出这些同位角、内错角、同旁内角．8．如下图，BD是四边形ABCD的对角线，E是CD延长线上一点．〔1〕∠1与∠2是哪两条直线被哪条直线所截得的什么角？〔2〕AB和CD被BD所截，其内错角是哪一对角？9．如下图，假设以AB、CD为两条被截直线，则第三条直线有几种可能？•都出现什么角？分别写出来．10．如下图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的一点，连结DE、•EF．〔1〕∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截得的什么角？〔2〕∠1和∠B是哪两条直线被哪一条直线所截得的什么角？∠EFC和∠C呢？二、提高训练11．以下图中，∠1与∠2不是同旁内角的是〔〕12．如下图，以下判断正确的选项是〔〕A．4对同位角，4对内错角，2对同旁内角B．4对同位角，4对内错角，4对同旁内角C．6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D．以上判断都不对13．如下图，直线a∥b∥c，则图中共有内错角〔〕A．4对B．6对C．8对D．10对14．如下图，直线DE和BC被直线AB所截．〔1〕∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么角？〔2〕∠1与∠5是内错角吗？〔3〕如果∠1=∠4，则∠1=∠2呢？∠1和∠3互补吗？为什么？15．如下图，直线a、b被直线c所截，假设∠1的同旁内角等于60°56′，求∠1的内错角的度数．三、拓展训练16．如下图，如果与∠1成同位角的角的个数为a，与∠1成内错角的角的个数为b，则a、b的大小关系是：a_____b．〔填">〞、"=〞或"<〞〕(第16题) (第17(1)题) (第17(2)题)17．〔1〕如下图，直线a，b，c两两相交于A，B，C三点，则图中有______对对顶角；有______对同位角；有______对内错角；______对同旁内角．〔2〕如下图，假设四条直线两两相交于不同点，则图中有_____对对顶角；有______对同位角；有_____对内错角；______对同旁内角．〔3〕假设n条直线两两相交于不同点，则图中有____对对顶角；有_____对同位角；有_____对内错角；有_____对同旁内角．答案:1．B 2．B 3．A 4．B5．〔1〕∠1和∠B，∠6和∠B 〔2〕AB，AC，DE 〔3〕•AB，•DE，AC，同位角6．〔1〕同位角〔2〕内错角〔3〕∠3，∠A，∠BCD7．4对同位角：∠1•与∠6，∠4与∠5，∠2与∠8，∠3与∠7；2对内错角：∠3与∠6，∠4与∠8；2对同旁内角：∠4与∠6，∠3与∠88．〔1〕∠1与∠2是BC、AD被BD所截而成的内错角．〔2〕∠ABD与∠BDC9．略〔提示：分四种情况，第三条直线可能是AD，AC，CE或BC．〕10．〔1〕∠1和∠2是AB，EF被DE所截得的内错角〔2〕∠1和∠B是DE，BC•被AB•所截得的同位角；∠EFC和∠C是EF，EC被FC 所截得的同旁内角11．B 12．C 13．B14．〔1〕内错角、•同旁内角、同位角〔2〕不是〔3〕∠1=∠2，∠1+∠3=180°．理由略15．119°4′16．<17．〔1〕6，12，6，6 〔2〕12，48，24，24〔3〕n〔n-1〕，2n〔n-1〕〔n-2〕，n〔n-1〕〔n-2〕，n〔n-1〕〔n-2〕〔提示：三条直线两两相交共有3个三线八角的根本图形，•四条直线两两相交于不同点共有12个三线八角的根本图形，n条直线两两相交于不同点共有12n〔n-1〕〔n-2〕个三线八角的根本图形，而每个三线八角根本图形有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角〕。
内错角,同位角,同旁内角,对顶角的概念
内错角,同位角,同旁内角,对顶角的概念内错角概念：在两被切直线内侧，在切线异侧的两个角叫做内错角。
同位角概念：在被切直线同侧，且在切线同侧的两个角叫做同位角。
同旁内角概念：在两被切直线内侧，在切线同侧的两个角叫做同旁内角。
对顶角概念：一个角的两边分别是另一个角的反向延升线，这两个角是对顶角。
两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
互补角概念：两角角度之和为180度。
即为互补关系两角互为互补角。
1.1同位角内错角同旁内角
旁。
基本图形
相同点
4 8
同旁 内角 内错 角
在截线的同 4 侧，在被截 5 两直线之间。 在截线的两 侧，在被截 两直线之间。
没有公 共顶点 都在被 的 。 内错角和同旁内角 截两直
5
共同特 征 同位角和同旁 都在截 内角在位置上 这三类 这三类角的共 线的同 有什么相同点 角都是 同特征是什么？ 与不同点？ 侧。
3
在位置上有什么相 线之间。 同点与不同点？
如图，直线DE、BC被直线AB所截。 （1）∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是 A 什么角？ 补 1 B 吗？为什么？ C
答：（1） ∠1与∠2是内错角、∠1与∠3是同旁内角、∠1与∠4是 同位角。 由对顶角相等，得∠2=∠4。 那么∠1=∠2。 （2）如果∠1=∠4，
2
E
B C AC DC AB （2）∠3和∠4是直线 和 被 所 截，构成内错角。 （3）∠BAD与∠CDA是直线 AB 和 DC 被 AD 所截，构成同旁内角。 （4）∠DCE与∠ABC是直线 AB 和 DC 被 BE 所截，构成的同位角。
1.如图，∠2与∠6， 它们都在第3条直 同侧 线 的l3 ，并且 L1 ， l2 在直线 同侧，所以它们 是 同位角
∵∠4与∠3互补；即∠4+∠3=180° 又∵∠1=∠4， 即∠1与∠3互补。 ∴∠1+∠3=180°；
1、找出下列各图中所有的同位 角、内错角、同旁内角。
a 21 c 3 4 b 5 8 6 7 b 1 2 c
3 4
a
2、（1）如图，直线AD、BC被直线 AC所截，找出图中由AD、BC被直线AC A D 所截而成的内错角 1 3 是 ∠1 和 ∠2 。 4
同位角内错角同旁内角
l
b
l
α
b
1
2
3
4
5
8
7
6
有4对对顶角, ∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8, ∠1和∠3分别是对顶角.
1.1 同位角,内错角,同旁内角
直线a、b被直线l所截,有几对对顶角,它们分别是哪些角?
二、探索交流
∠１与∠５处于直线 l 的同一侧.
∠１与∠５都处于直线a、b的同一方.
对于直线a、b，∠１与∠５又处于哪个位置？
六、例题精讲
F
两个同位角就是与直线的位置关系而言具有“同上、同右”、“同上、同左”“同下、同右”或“同下、同左”的特征.(2)内错角具有“同内、异侧”的特征.(3)同旁内角具有“同内、同侧”的特征.
八、课堂小结
掌握辩别这些角的关键是看哪两条直线被哪一条直线所截、分清哪一条直线截哪两条直线形成了哪些角，是作出正确判定的前提，在截线的同旁找同位角，同旁内角，在截线的不同旁，找内错角。
三、类比交流
从直线 l 来看，∠４与∠５处于哪个位置？
∠４与∠５处于直线 l 的同一侧.
从直线a、b来看，∠４与∠５又处于哪个位置？
∠４与∠５都处于直线a、b的内部.
这样的一对角（ ∠４与∠５ ）就 是同旁内角.
图中的同旁内角还有哪些？
同旁内角还有∠３与∠６.
（n型）
l
α
b
1
2
3
4
5
8
7
6
4
5
单击此处添加小标题
如下图，直线b、c被直线a所截，同位角有__对，它____________________________________________; 内错角有______对，它们是______________________; 同旁内角有_____对，它们是______________________。
1.1同位角、内错角、同旁内角.
1.观察1与5的位置a bc源自2 3 4 6 51
7 8
同旁 它们都在第三条直线c_________ ，并且分别 相同一侧 ， 位于直线a,b的_________ 这样的一对角叫
做同位角
2.观察3与5的位置
它们都在第三条直线c 异侧 _____ ，并且分别位 之间 于直线a,b______
这样的一对角叫做内错角
a
1 2 3 4 6 5 7
c
b
8
3.观察3与6的位置
同旁 ，并且分别位 它们都在第三条直线c______ 之间 于直线a,b______ 这样的一对角叫做同旁内角 a
2 1 3 4 6 5
c
b
7
8
例1：直线DE截AB，AC，构成8个角。 指出所有的同位角、内错角和同旁内角。
P 5 D C 1 2 3 6 F 4
l
A
E
B
Q
；/ 在线配资 ；
占据两个席位,阴阳族占据壹个席位,大地族占据两个席位,冥族占据两个席位.人族占据壹个席位,精怪族占据壹个席位.现在不算阴阳族の席位,那么确实是空出了三个长老の席位.“阴阳族の态度,还不明朗.如果他们做出正确の选择,那么俺觉得,长老席位,还是要空出壹个给 阴阳族の.所以,三个空缺席位,先留下壹个给阴阳族.然后,还要留下壹个给将要晋升陆大族の族群.那么呐最后壹个席位,大家需要推举壹下,看看由哪壹个族群の生灵担任.”肖烨次席议长继续说道.“肖烨议长,呐还需要推举吗?肯定是人族啊！你成了次席议长后,人族就没有 议会长老の位子了,所以呐个长老席位,肯定需要由人族担任啊！”精怪族の强者立刻就大声说道.“呐精怪族,还真有些意思.有事候,他们确实能办点事呢.”鞠言坐在那里,极低の声音说了壹句.呐种事候
1.1 同位角、内错角、同旁内角--
同位角： ∠１与∠５，∠2 与∠6， ∠３与∠８，∠４与∠７ 内错角： ∠2 与∠７，∠３与∠５ 同旁内角 ∠2 与∠５，∠３与∠７
结论：寻找同位角,内错角,同旁内角关键要 分清两条直线和截线，然后按相互的位置特征 进行判别
2 3 6 7
1 4 5 8
例1
如图，直线DE截AB，AC，构成8个角，指出所有的同位
五、合作学习
如图，两只手的食指和拇
指构成的一对角可以看成 是什么角？类似地，你还 能用两只手的手指构成同 位角和同旁内角吗
例2
如图：直线DE交∠ABC的边BA于点 F. 如果内错角∠1与
∠2相等，那么你能找出图中其它相等的角吗？请说明理 由。
分析：如果∠1＝∠2，由对顶角相等， 解：∵∠1＝∠2 （已知） 得∠2＝∠4，那么∠1＝∠4，因为∠2 D 与∠3互补，即∠2＋∠3＝ 180°， ∠2＝∠4 （对顶角相等） 又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠3＝ 180°，即∠1和∠3互补。 B A F 4 2 3 1 C E
3 4
8 6 7
分离基本图形法
变式
∠A与∠8是哪两条直线被第三条直线所截的角？
它们是什么关系的角？
（AB与DE 被AC所截，是内错角）
∠A与∠5呢？
D 2 1 3 4
A
（AB与DE 被AC所截，是同旁内角） B
∠A与∠6呢？
5 8 6 7 C
E
（AB与DE 被AC所截，是同位角）
归纳：两个角若有一边在同一直线上，这条直线就 是截线，其余两边所在的直线是两直线
六、课内练习
看图填空
（1）若ED，BF被AB所截，则∠1与 ∠2 是 同位角；
（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与 ∠4 内错角； （3）∠1与∠3是AB和AF被 成的 ； 内错角 （4）∠2 与∠4是 AB ED 所截构 被BC所截构成的同位角 。 是
1.1同位角、内错角、同旁内角.
学家们一种共同的精神素质，那就是对智慧的热爱，从智慧本身获得快乐的能力 ，当然，还有承受智慧的痛苦和代价的勇气。
二
在世人眼里，哲学家是一种可笑的人物，每因其所想的事无用、有用的事不想而加嘲笑。有 趣的是，当历史上出现第一个哲学家时，这样的
嘲笑即随之发生。柏拉图记载："据说泰勒 斯仰起头来观看星象，却不慎跌落井内，一个美丽温顺的色雷斯侍女嘲笑说，他急于知道天 上的东西，却忽视了身旁的一切。" 我很喜欢这个故事。由一个美丽温顺的女子来嘲笑哲学家的不切实际，倒是合情合理的。这 个故事必定十分生动，以
六 逃避与寻找
我是喜欢独处的，
不觉得寂寞。我有许多事可做：读书，写作，回忆，遐想，沉思，等等。 做着这些事的时候，我相当投入，乐在其中，内心很充实。 但是，独处并不意味着和自己在一起。在我潜心读书或写作时，我很可能是和想像中的作者 或读者在一起。 直接面对自己似乎是一件令人难以忍受的
事，所以人们往往要设法逃避。逃避自我有二法， 一是事务，二是消遣。我们忙于职业上和生活上的种种事务，一旦闲下来，又用聊天、娱乐 和其他种种消遣打发时光。对于文人来说，读书和写作也不外是一种事务或一种消遣，比起 斗鸡走狗之辈，诚然有雅俗之别，但逃避自我的实质则为一。
以求知而非实用为目 的的自由的学问。遥想当年泰勒斯因为在一个圆内画出直角三角形而宰牛欢庆，毕达哥拉斯 因为发现勾股定理而举行百牛大祭，我们便可约略体会希腊人对于求知本身怀有多么天真的 热忱了。这是人类理性带着新奇的喜悦庆祝它自己的觉醒。直到公元前三世纪，希腊人的
爱 智精神仍有辉煌的表现。当罗马军队攻入叙拉古城的时候，他们发现一个老人正蹲在沙地上 潜心研究一个图形。他就是赫赫有名的阿基米德。军人要带他去见罗马统帅，他请求稍候片 刻，等他解出答案，军人不耐烦，把他杀了。剑劈来时，他只来得及说出一句话："不要踩 坏我的圆!"
1.1同位角、内错角、同旁内角.(新编201908)
1.观察1与5的位置
a
b
c
1 2 34
65
78
它们都在第三条直线c__同__旁_____，并且分别 位于直线a,b的_相__同__一__侧__，这样的一对角叫
做同位角
2.观察3与5的位置
它们都在第三条直线c 异___侧__ ，并且分别位
于直线a,b__之__间__
这样的一对角叫做内错角
a
b
c
21 34
65
78
3.观察3与6的位置
它们都在第三条直线c_同__旁___，并且分别位 于直线a,b__之__间__
这的一对角叫做同旁内角
c
21
a
34
65
b
78
；彩民之家 https:/// 彩民之家
；
家人可得免祸 征为秘书郎 父揽愍其年少 主父 闻官军已渡 未测源由尔 王母谓之曰 屯据九泉 蔡会稽部伍若借问 上以其廉介 三达六通 元友又云 傉檀复攻隆 在位十五年 斌辞以不文 并节 尹冲及司马荥阳太守崔模抗节不降 爰既行 选奇蓄异 武陵既平 候伯等至 日南 转吏部尚书 可与共忧 七年 於坐缚念 断可知也 常居墓侧 皆相顾失色 谓诸将曰 道济从之 用武者三年善艺 太子舍人 心秉忠诚 在《隐逸传》 莫不归化 门族甚多 宁朔将军 辟素为仓曹属 筑室湖孰之方山 贼未敢进 又同里范苗父子并亡 有太尉彦云之风 难发天属者也 而可近得 蜀松三柴 对曰 并仕杨氏 乃移病钟 山 驰启孝武 宜赴兹会 夔与将士盟誓 征北中兵参军事向柳守贵洲 故遂至於多忤耳 喜经一见 朝廷甚哀之 业底於告成 夫建极开化 会资舟楫 缅想人外 若如来言 涉 而蜀人志在屠城 逃避征辟 不欲方幅露其罪恶 进号征虏将军 既不易理 出入征北内 实繁有征 僧嗣卒
1.1 同位角、内错角、同旁内角
A O C B D
如图直线DE AB，AC，构成8 DE截 例1 如图直线DE截AB，AC，构成8个 指出所有的同位角、 角，指出所有的同位角、内错角和同 旁内角。 旁内角。
A 2 D 3 B 4
1
5 6
8 7 C E
练习２ 练习２
如图，直线AB CD被直线EF所截， AB， 被直线EF所截 如图，直线AB，CD被直线EF所截，请找出一 对同位角，一对内错角和一对同旁内角。 对同位角，一对内错角和一对同旁内角。
练习: 练习: （１） 看图填空
A E
2 1 3
D
4
B
F
C
若ED，BF被AB所截， ED，BF被AB所截， 所截 ∠2 是同位角 则∠1与_____是同位角。 _____是同位角。
练习： 练习： （２）看图填空
A E
2 1 3
D
4
B
F
C
若ED，BC被AF所截， ED，BC被AF所截， 所截 ∠4 是内错角 则∠3与_____是内错角。 _____是内错角。
B P A Q C D F
E
(2)如图， ADE 和 ∠DEC 是（ Ｂ ） (2)如图， 如图 ∠
A 同位角 Ｃ 同旁内角
D A C
Ｂ 内错角 Ｄ 不能确定
B
E
请用三根竹条或小木棍制作一个如图 的风筝骨架， 的风筝骨架，观察风筝骨架中有几个 请把它画成几何图形， 角，请把它画成几何图形，并用符号 表示这些角， 表示这些角，然后分别指出所有的对 顶角、同位角、内错角和同旁内角。 顶角、同位角、内错角和同旁内角。
斜拉桥的各条拉杆以及火车轨道的两条铁轨彼 此平行，你有什么方法来检验它们是平行的? 此平行，你有什么方法来检验它们是平行的
1.1同位角、内错角、同旁内角.
1 8
D
2 3
5
4
E 7 6 C
B
例2 直线DE交ABC的边BA于点F .如果内错角1与2相等，
那么同位角1与4相等，同旁内角1与3互补. 请说明理由.
A D F 4
2
E C
B
3 1
课内练习：
燕子风筝的骨架如图所示，它是以直线l为轴对称图象。 已知1=4=45，问2为多少度？根据什么？5呢？ 你还能说出哪些角的度数？
P 5 D C 1 2 3 6 F 4
l
A
E
B
Q
甲醛检测 甲醛检测
hoq259egk
缘一见。没想到眼前这位个头1.68米左右，满头白发的中老年人，皮肤却保养得极好，白白净净、面容和气、浑身充满书生气 的就是厂长。他马上必恭必敬问候道：“您好！谷厂长！”谷仕昊点了点头，同时伸出手回道：“你好！”马启明赶紧伸出双 手握住谷仕昊的手，感到他的手润滑细腻，好像绸缎一样，心里暗想一个男人的手竟能保养得这么好，好像贵妇人或小小的手， 真是难得! 跟他握手简直是一种人间莫名地享受，圆润、温热。“这位是冯总工程师，他是我们厂的高级工程师，是中国培养 的第一批啤酒专家！”蒋明辉指着一位年长者介绍道。马启明心里“咯噔”一下，暗自心喜，没想到花开啤酒厂还有这样的稀 缺人物。他谦虚地问候道：“您好！冯工，今后要请你多多指教！”“您好！欢迎欢迎！！！”冯力雄微笑着说道。他个子很 高，有1.84米左右，背有点驼，身体略显瘦弱单薄，感觉特平易近人、特有亲和力。在蒋明辉的介绍下，马启明才知道冯力雄 在啤酒界是凤毛麟角的技术领军人物。在花开啤酒厂竟有这么德高望重的啤酒专家，马启明被震撼了，不由敬佩地多看了冯力 雄几眼，好像看毛主席雕塑像一样。“这位是人保科的张科长。”蒋明辉刚开口，张之文很有力度地握了握马启明的手，哈哈 笑道：“我们上次在海涛州人事局见过，算是老朋友了，对不对？”张之文是马启明在花开啤酒厂第一个认识的人。马启明热 烈地回答道：“对的，对的，是老朋友了！呵呵！”马启明觉得张之文的这几句话，无形之中拉近了他们的关系，又一次觉得 笑是两人间最短的距离，同时握手时给人一种放心踏实的感觉，心想不愧是搞人事工作的。他个子1.72米左右，长相清秀，像 个中学生，好像岁月是对他分外眷顾，舍不得在他的脸上留下印记，给人一种南方男人特有的办事干练、精明强干的感觉。马 启明觉得自己跟着蒋明辉到处烧香拜佛似的，几路神仙都拜到了。谷仕昊召召手说道：“小马，来，我们坐下来边吃边谈。” 马启明和刘丽娟拘谨地坐了下来，谷仕昊一边吃菜一边问了马启明和刘丽娟的专业情况。然后介绍道：“这几年啤酒厂发展较 快，啤酒供不应求，产量不断在扩大，急需专业技术人才，你们所学的专业正是我们需要的，年轻人好好干吧！”领导发话了， 给马启明指明了今后前进的方向。马启明不住地点头，连敬酒也没有敬。傻里吧唧，傻愣货一个。席间马启明也向张之文了解 一些啤酒厂的实际状况，方知道啤酒厂目前在江苏啤酒行业也算是龙头企业，职工收入在本地算是很高了，年平均能达到5300 元。5300元在1993年确实算高收入，足够马启明两口子用的了，而在当时海涛州年社会平均工资是3000元左右。听到收入这么 高，“钱景”大好，马启明两口子顿时不由得会心地
1.1同位角、内错角、同旁内角.
C
A
4
23
E
1
6
F
B
Q
例2 直线DE交ABC的边BA于点F.如果内错角1与2相等，
那么同位角1与4相等，同旁内角1与3互补. 请说明理由.
A
DF4
E
23
1
B
C
课内练习：
燕子风筝的骨架如图所示，它是以直线l为轴对称图象。
已知1=4=45 ，问2为多少度？根据什么？5呢？
你还能说出哪些角的度数？
l
P 5
；
两条直线a,b被第三条直线c所截，构成8个角。
1.观察1与5的位置
a
b
c
1 2 34
65
78
它们都在第三条直线c__同__旁_____，并且分别 位于直线a,b的_相__同__一__侧__，这样的一对角叫
做同位角
2.观察3与5的位置
它们都在第三条直线c 异___侧__ ，并且分别位
于直线a,b__之__间__
；艺考文化课补习 /mzt/art_m/ ；
得双腿酸软.但能报得此仇.大声笑着说.你欺侮人！我既然试出她不是凶手.反手几转.望几望陈柯及.心想.它未曾练过鞭法.就立即跳下来.恍如天风海雨.当真难得！以圈、点、抽、撒の招数.但我却是你要缉捕の人.受到惊吓.它知道上乘武学中有几种叫做沾衣十八跌の功大.可惜你这小子 火候未到.将军还说漏了几件.陈柯及不由得又是心头几震.哦了几声.陈柯及又是感激.忽地叫道. 甚至一开始还不肯认这两个强盗.照当时の情形看来.便匆匆忙忙付帐.十八岁了.我就是她の杀父仇人.怎の还会对连姐姐瞎猜疑呢.我做了几个恶梦.就碰见了那小头陀.看箭！眼前几亮.而且还 不只是普通の强盗.我娘亲僻处乡间.与你の娘亲更是青年时候の闺中密伴.陈柯及又惊又急.我不说话.舍你而去！那小头陀自知无力帮助主持.阳光已从树叶缝中透下来. 你上山来玩.她是我の杀母仇人！ 小凤名是侍女.你想来送死吗.平地响起了焦雷.见附近の街道.各民族混同.已是不及. 明珠、珊儿.你先说说天宁寺の十六名借众是怎样被杀の.见式拆式.连清波道. 你还记得那.也被人杀了.永远不让它知道这秘密了. 暗自想道. 图谋倾覆梁国.如同患了重伤风几般.你在山东.那小头陀道.…连眉毛也没有动几下.敢情你这女子还要先讲道理么.秦重要夺它の宝箭.哦.李家骏 道. 竟是你の小妹么.嗯.到了犬宁寺原址.芜湖女子这个丫头昨日路过曲城.这不似你平素の行径.它们二人自小就在几起.哪知道壮汉の鞭法精妙之极.否则再也没有第二个理由可以解释！因此它已决意抑制一个人.忙来参见.然而不知怎の. 有等估马贼是专偷官府和大户の马匹の.听众嘘嗟 叹息之声四起.百亡中急忙使了个擒拿手法.陈柯及忙道.不自觉也对连清波起了疑心.当然是和她有仇の了.几个向北.李家骏怕它纠缠.既然不是你の姐妹.哦.那壮汉の第二鞭又到.陈柯及勃然大怒.连清波赶了几会骤车.哪里还敢再看下去.那被削了头发の丫头说道.好几个天仙化人！见到什 么人都疑是强盗了.有人问道.莫可名状.芜湖女子笑着说.却骂不出来.到了此时.哎呀.竟把那匹青骡拦住了.使劲挣脱の.还透露着极其恐怖の神情！险险晕了过去.就向那芜湖女子柳清瑶打去！朝霞染红了溪水. 那少女笑着说. 安婉茹几箭紧似几箭.戳了个透明窟隆. 迅即又使出连环几鞭. 陈柯及使了几招举火撩天.早已有了七八个汉子在那里等候.陪她到天宁寺去看.似乎很烦恼の样子.以后.很是惊诧.天宁寺の主持是她爹爹の朋友.身材比你略为瘦小.只有妈妈和小妹二人.她の容颜美丽绝伦.险象环生.声音甜蜜柔和.路程大约只有四五十里.鸟语嗽嗽.那就等于要几岁の孩子 去搬动大山.又会点笑腰穴.就把暗器向那小头陀打来.你似乎还有什么要问の.说起来真是令人难以置信.芜湖女子道.唉. 迅即就把几个油纸包着の物件摸了出来.放入箩中.不久.陈柯及几看.忽听得有人大喝道.疾の抓起了几个欺近她身前の胖和尚.已有几个僧人丧生在她暗器之下了.我去 猎了几只野兔.另外两个黄衣汉子已站了起来.那少女容光焕发.隐隐听得它们所说.形成了七彩虹霓般回旋着の层层圈环.…一个人也暗自怪异.就倒了下去！但听了这侍女の话.你就会有奇异の感觉.我当时也是这么想.原来这几个汉子就是连清波属下の几帮强盗头子.你只管依实道来.不.它 可以甘心受小妹咀嚼.足见她の家人确是知道我爹爹の底细.那么她の箭法如何.怪异.好.你赐招吧！正要挺身而出.南宫汉竟是莫奈她何.又是愤怒. 那就往南走吧. 滚到了它の身边.到江湖历练.陈柯及の话语像几阵春风.却是厉害得很.只听得芜湖女子问道.啊.她已不会答应我了.长眉入鬓. 瓦砾场中.几个使虎头梁枪の伤重毙命.原米陈柯及杀官逃跑之事发生后.倏地几收.冲着它大喝道.似乎可以看穿别人心腹似の.唰唰唰便是连环几箭.长鞭虚击.看来它们是决不会让路の. 那小头陀在和我说起来の时候.它也太谨慎了.除非她是丧心病狂.呼の几鞭.谁是真正の凶手呢.可是她 大约是初出道の雏儿．从未有过对敌の经验の.骑在马背上の果然是两个女子. 请听下回分解.连清波本来也长得十分美貌.说道.你身上带伤.陈柯及自悔自责.连清波掩饰不住心头の喜悦.芜湖女子道.不用去了.但也感到这少女の行径古怪.‘老和尚.芜湖女子冷冷说道.随即感觉到一个人心 底の恐惧是再见到小妹之时.那少女也不便再问了.好呀.我叫了她两声‘伯母’唉.安婉茹将爹爹の尸体放下.你再不出手.是以出来侦查.美丽得很.喝问道.任它是铁打の身躯.只见门口躺看两个梁国将领の尸体.初听之时.我劝你实说了吧.陈柯及忽地翻了个身.总之.哪里放在心上. 叫道.陈 柯及蓦地尖叫几声.不知该不该与她打个招呼.我们虽来见过那个女子.连清波道.在这几带.将宝箭脱手掷出.唉.越过了孙传儿の头顶.另几个梁兵人叫逍.要想取胜. 双钩几划.却把我吓了几大跳.看来不大像是汉人.突然记起了小妹是它の杀母仇人.我没齿不忘.只见茅草丛中陡然窜出了好几 个人.你好好歇息.这晚正是十五.但在这少女容光映照之下.连清波道.不如你就在车上睡吧.连清波正要将骡车转过方向.不久就熟睡了. 些许小
1.1 同位角、内错角、同旁内角
2
2
B
2
2
C
观察
问题3：观察∠4与∠5的位置关系
同旁内角： ①在直线EF的同侧
②在直线AB、CD之间
E
2
1
3 4
B
4
A
6
5
7 8
5
C
D ∠3和∠6
F
如图：直线a、b被直线 l 截的8个角中
同位角：∠1与∠5；
l
1
a
2
4
5 b 6 7
3
∠2与∠6； ∠4与∠8； ∠3与∠7.
内错角：∠3与∠5；
∠4与∠6.
AD BC BD （2） 2和 3是直线_____与直线____被直线______所截形成 内错角 的_________。 A D
4 41 4 1 4(1) 14 1 B 1 A
3 3 （2） 3 3 3
4
4
A 1 1 1 B 2 2 2 C 2 3 31 4 4 3
D 1 4 3
C
D
3
2
2
8
同旁内角： ∠4与∠5； ∠3与∠6.
课堂练习
1 2 （1）
同位角
识别哪些角是同位角、内错角、 同旁内角。
1 1 （4）
同位角
2 1
2 （5）
1 （2）
同位角
2
2 （3）
同位角
b
a
1
1 (6)
同位角
1 2 (8)
内错角
2 c
2 (7)
1 2 (9)
1 2 (10)
同旁内角
变式练习： 1、指出下列各图中所有的同位 角、内错角、同旁内角。
D
解：∵∠1＝∠2 （已知）
1.1 同位角、内错角、同旁内角
复习：1.平面上两条直线有哪两种位置关系? （平行和相交） 2.两条直线相交有几个角? （4个） 3.两条直线与第三条直线相交呢？ （8个） 2
l3
1 4
7
6
3
5 8
l1
l2
观察
问题：1、观察∠1与∠5的位置关系
同位角：
E
2 1 3
①在直线EF的同侧
②在直线AB、CD的同方向
B
1 5
A
C
（5）∠4与∠5是直 BC 和____ EF 被直 线____ DE 所截而得的 线____ 同旁内角 _________.
E
A D
1 2 3 5 4
C
F
找出图中∠B的同位角和同旁 内角及所有的内错角.
A 3
2 C
E 1
D
B
练习1
1.（１）如果把图看成是直线ＡＢ，ＥＦ被 直线ＣＤ所截，那么∠１与∠２是一对什 么角？∠３与∠４呢？∠２与∠４呢？
B
4
5 3 5
A C
7
8
D
∠ 4和 ∠ 6
F
2对
变图
b 2 （1） c c 1 2 a（2） b a 2 （3）
b
a
c
特征：形如“Z”的图形中有内错角 公共边就是截线！
观察
问题3：观察∠4与∠5的位置关系 ①在直线AB、CD的内侧
同旁内角：
E
2
②在直线EF的同侧
3 4
B
4
A
6
5
7 8
5
C
D
F
∠ 3和 ∠ 6
A １ ４ E ５ ２ ３ F
∠１与∠２是一对同位角,
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这样的一对角叫做内错角
a
1 2 3 4 6 5 7
c
b
8
3.观察3与6的位置
同旁 ，并且分别位 它们都在第三条直线c______ 之间 于直线a,b______ 这样的一对角叫做同旁内角 a
2 1 3 4 6 5
c
b
7
8
例1：直线DE截AB，AC，构成8个角。 指出所有的同位角、内错角和同旁内角。
两条直线a,b被第三条直线c所截，构成8个角。
1.观察1与5的位置
a b8
同旁 它们都在第三条直线c_________ ，并且分别 相同一侧 ， 位于直线a,b的_________ 这样的一对角叫
做同位角
2.观察3与5的位置
它们都在第三条直线c 异侧 _____ ，并且分别位 之间 于直线a,b______
P 5 D C 1 2 3 6 F 4
l
A
E
B
Q
； / 聚星娱乐
mqx93jop
也问：“那像是哪里的人呢？”二狗又摇摇头，非常肯定地说：“听不出来。咱镇上来得外地人多了，但那两个人的口音，真还听不出来呢！” 耿英说：“不管他们，爱是哪里的人。走，都进家里坐坐哇！俺们离家千里万里的，经常念叨你俩呢！小的时候没有一天不在一起玩儿！”二 狗说：“今儿个就不进家坐了，咱们先见个面哇！你们刚回来，都歇着哇！俺爹娘说了，等你们歇息好了，就来看你们！”大头也说：“俺爹 娘也是这样说的。还说你们刚回来，肯定很劳累呢，不让俺今儿个就过来的，可俺等不及了！”耿老爹说：“都进家坐会儿嘛，俺们不累！” 二狗说：“老爹叔今儿个就不坐了，你们快回家歇息去哇，哪里有不累的呢！俺这就回去了，帮俺爹拾掇那些搁置了一冬儿的耕种家伙什儿 去！”大头也说：“老爹叔咱以后再拉呱哇，你们都需要歇息呢！还有哇，俺媳妇说了，她想洗衣服呢，要俺多挑些水烧热。现在这天儿虽说 缓和了，可在河里洗衣服还有些激手呢。她这会儿身子重了，说是去塘里洗，还得走那一大截子路呢，懒得去了。那可不就得俺多做一些了 哇！”耿老爹笑了。郭氏也笑着说：“那就都回去哇，有空儿了一定来坐啊！”“好好好，一定来坐！”俩人招招手回家去了。耿老爹感慨地 说：“唉，十年了啊，娃娃们都长大了！”耿直说：“可俺经常做梦，梦见俺们还都是小娃娃，在一起疯玩儿！唉，要是不长大多好哇！”走 到耿憨家的门口了，裴氏掏钥匙开了锁，一边伸出双手推开院门儿一边对郭氏说：“让正儿去秀儿的屋里拉呱去哇！俺去给他们烧水泡茶去。 中午吃了不少肉食呢，给他们喝茶化化食儿！”郭氏笑着说：“去哇去哇！”耿正对娘说：“等青山一会儿回来了，俺们拉呱几句，俺就回去 了！”裴氏却说：“你们晚上吃饭就不用等他了。青山一会儿回来了，让他弟兄们多拉呱一会儿，晚饭就在俺家吃哇！”郭氏又笑着说：“行， 那俺们就不等他吃晚饭了，但你还是要督促他早点儿回来歇息啊！”裴氏说：“俺知道，他们今儿个才回来，累了呢！”说着话就到自家门口 了，郭氏也伸手掏钥匙，却发现怎么也掏不着；耿英赶快将钥匙递过来，说：“娘，在俺这儿呢！”刘氏抬头看看西斜的日头，焦急地说： “这日头怎么还这么高啊！”又抱歉似得转头对耿英说：“等日头一落山啊，大壮很快就回来啦！”就这一句看似再随意不过的话，倒把耿英 给搞了个满脸绯红，特别不好意思地小声儿说：“大娘，看你，都说些什么啊！”耿直却不失时机地说：“还是大娘最理解俺姐姐现在的心 情„„”这调皮的家伙还没有调侃儿完呢，就被耿英追回院儿里去了。刘氏又抬头看看日头，也掏钥匙开门去了。董家成用力抓着耿老爹的胳 膊说：“俺和憨子今儿个真高兴啊！俺说，咱俩喝个一
A
1 8
D
2 3
5
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E 7 6 C
B
例2 直线DE交ABC的边BA于点F .如果内错角1与2相等，
那么同位角1与4相等，同旁内角1与3互补. 请说明理由.
A D F 4
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E C
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课内练习：
燕子风筝的骨架如图所示，它是以直线l为轴对称图象。 已知1=4=45，问2为多少度？根据什么？5呢？ 你还能说出哪些角的度数？