苏教版八年级数学下册反比例函数图象与性质习题同步练习题

反比例函数图象与性质的综合应用(第1题图)
1．反比例函数y＝m
x的图象如图所示，有以下结论：
①常数m＜－1；
②在每个象限内，y随x的增大而增大；
③若点A(－1，h)，B(2，k)在图象上，则h＜k；
④若点P(x，y)在图象上，则点P′(－x，－y)也在图象上．其中正确的是(C)
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
2．下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是(B) A. y＝－x＋1 B. y＝x2－1
C. y＝1
x D.
y＝－x2＋1
3．已知圆柱的侧面积是20πcm2，若圆柱底面半径为r(cm)，高为h(cm)，则h 关于r的函数图象大致是(A)
(第4题图)
4．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，OB ＝2OA ，点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上．若点B 在反比例函数y ＝k x
的图象上，则k 的值为(A ) A. －4 B. 4
C. －2
D. 2
(第5题图)
5．如图，在反比例函数y ＝－6x (x <0)的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为__6__．
6．反比例函数y ＝
2a －1x
的图象有一支位于第一象限，则常数a 的取值范围是__a >12__．
(第7题图)
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，反比例
函数y ＝k x (x >0)的图象经过该菱形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F .若点D 的坐标为(6，8)，则点F 的坐标是⎝
⎛⎭⎪⎫12，83．
(第8题图)
8．如图，反比例函数y ＝k x
的图象经过点(－1，－22)，点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP .
(1)k 的值为k ＝22．
(2)在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是(2，－2)．
(第9题图)
9．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k 2x
的图象交于A (1，4)，B (3，m )两点．
(1)求一次函数的表达式．
(2)求△AOB 的面积．
解：(1)把点A (1，4)代入y ＝k 2x 得，k 2＝4.
∴反比例函数的表达式为y ＝4x
. 把点B (3，m )代入y ＝4x 得，m ＝43
∴点B 的坐标为(3，43
)． 把点A (1，4)，B (3，43
)的坐标代入y ＝k 1x ＋b 得， ⎩⎨⎧k 1＋b ＝4，3k 1
＋b ＝43，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－43，
b ＝163.
∴一次函数的表达式为y ＝－43x ＋163
. (2)∵直线y ＝－43x ＋163
与x 轴的交点坐标为(4，0)， ∴S △AOB ＝12×4×4－12×4×43＝163
. 10．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄．当车速为50 km/h 时，视野为80度．如果视野f (度)是车速v (km/h)的反比例函数，求f ，v 之间的关系式，并计算当车速为100 km/h 时视野的度数．
解：设f ，v 之间的关系式为f ＝k v
(k ≠0)．
∵v ＝50时，f ＝80，∴80＝k 50
. 解得k ＝4000.
∴f ＝4000v
. 当v ＝100时，f ＝4000100
＝40(度)． 答：f ＝4000v
，当车速为100 km/h 时视野为40度． 11．某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万m 3.
(1)写出运输公司完成任务所需的时间y (天)与平均每天的工作量x (万m 3)之间的函数表达式，并给出自变量x 的取值范围．
(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000 m 3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3? 解：(1)由题意，得y ＝360x
. 把y ＝120代入y ＝360x
，得x ＝3； 把y ＝180代入y ＝360x
，得x ＝2. ∴自变量x 的取值范围是2≤x ≤3.
∴y ＝360x
(2≤x ≤3)． (2)设原计划平均每天运送土石方x (万m 3)，则实际平均每天运送土石方(x ＋0.5)万m 3，
由题意，得360
x－
360
x＋0.5＝24
化简，得x2＋0.5x－7.5＝0.
解得x1＝2.5，x2＝－3，
经检验，x1＝2.5，x2＝－3均为原方程的根，但x2＝－3不符合实际意义，故舍去．
又∵2≤x≤3，∴x1＝2.5满足条件，即原计划平均每天运送土石方2.5万m3，实际平均每天运送土石方3万m3.
(第12题图)
12．工匠制作某种金属工具需要进行材料煅烧和锻造两道工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃.
(1)分别求出材料煅烧和锻造时y关于x的函数表达式，并且写出自变量x的取值范围．
(2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？
解：(1)停止加热时，设y＝k
x(
k≠0)，
由题意，得600＝k 8， 解得k ＝4800，∴y ＝4800x
. 当y ＝800时，4800x
＝800，解得x ＝6， ∴点B 的坐标为(6，800)．
材料加热时，设y ＝ax ＋32(a ≠0)，
由题意，得800＝6a ＋32，
解得a ＝128.
∴材料加热时，y 关于x 的函数表达式为y ＝128x ＋32(0≤x ≤6)．
停止加热进行操作时，y 关于x 的函数表达式为y ＝4800x
(6＜x ≤20)． (2)把y ＝480代入y ＝4800x
，得x ＝10，10－6＝4(min)． 答：锻造的操作时间为4 min.
(第13题图)
13．如图，已知点A ，P 在反比例函数y ＝k x
(k ＜0)的图象上，点B ，Q 在直线y ＝x －3上，点B 的纵坐标为－1，AB ⊥x 轴(点A 在点B 下方)，且S △OAB ＝4.若P ，Q 两点关于y 轴对称，设点P 的坐标为(m ，n )．
(1)求点A 的坐标和k 的值．
(2)求n m ＋m n
的值． 解：(1)∵点B 在直线y ＝x －3上，点B 的纵坐标为－1，
∴当y ＝－1时，x －3＝－1，解得x ＝2，
∴点B (2，－1)．
设点A 的坐标为(2，t )，则t ＜－1，AB ＝－1－t .
∵S △OAB ＝4，
∴12
(－1－t )×2＝4， 解得t ＝－5，
∴点A 的坐标为(2，－5)．
∵点A 在反比例函数y ＝k x
(k ＜0)的图象上， ∴－5＝k 2
，解得k ＝－10. (2)∵P ，Q 两点关于y 轴对称，点P 的坐标为(m ，n )，
∴点Q (－m ，n )，
∵点P 在反比例函数y ＝－10x
的图象上，点Q 在直线y ＝x －3上， ∴n ＝－10m
，n ＝－m －3， ∴mn ＝－10，m ＋n ＝－3，
∴n m ＋m n ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn ＝（－3）2－2×（－10）－10＝－2910
.
(第14题图)
14．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (时)变化的函数图象，其中BC 段是反
比例函数y ＝k x
图象的一部分．请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多少小时？
(2)求k 的值．
(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少度？
解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18 ℃的时间为10 h.
(2)∵点B (12，18)在反比例函数y ＝k x
的图象上， ∴18＝k 12
， ∴解得k ＝216.
(3)当x ＝16时，y ＝21616
＝13.5， ∴当x ＝16时，大棚内的温度约为13.5 ℃.
15．已知双曲线y ＝1x
(x ＞0)，直线l 1：y －2＝k (x －2)(k ＜0)过定点F 且与双曲线交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)，直线l 2：y ＝－x ＋ 2.
(1)若k ＝－1，求△OAB 的面积S .
(2)若AB ＝52
2，求k 的值．
(第15题图)
(3)设N (0，22)，P 在双曲线上，M 在直线l 2上且PM ∥x 轴，求PM ＋PN 最小值，并求PM ＋PN 取得最小值时点P 的坐标． (参考公式：在平面直角坐标系中，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则A ，B 两点间的距离为AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.
解：(1)当k ＝－1时，l 1：y ＝－x ＋22，
联立⎩⎨⎧y ＝－x ＋2
2，y ＝1x ，化简，得x 2
－22x ＋1＝0， 解得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.
设直线l 1与y 轴交于点C ，则C (0，22)． S △OAB ＝S △BOC －S △AOC ＝1
2
×22(x 2－x 1)＝2 2. (2)根据题意，得⎩⎨⎧y －2＝k （x －
2），y ＝1x ， 整理，得kx 2＋2(1－k )x －1＝0(k ＜0)，
∵Δ＝[2(1－k )]2－4×k ×(－1)＝2(1＋k 2)＞0， ∴x 1，x 2 是方程的两个根，
∴⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝2（k －1）k ①，x 1·x 2＝－1k ，
∴AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（x 1－x 2）2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 22 ＝（x 1－x 2）2
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 12·x 22 ＝[（x 1＋x 2）2
－4x 1·x 2]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 12·x 22 将①代入，得AB ＝
2（k 2＋1）2k 4＝2（k 2＋1）k 2(k ＜0)， ∴2（k 2＋1）k 2＝522
， 解得k ＝63(舍去)，或 k ＝－63
.
(第15题图解)
(3)易得点F (2，2)，如解图：
设点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ，1x ， 则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x
＋2，1x ， 则PM ＝x ＋1
x
－ 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x －22 ＝x 2＋1
x 2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4. ∵PF ＝（x －2）2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －22 ＝x 2＋1
x 2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴PM ＝PF .
∴PM ＋PN ＝PF ＋PN ≥NF ＝2， 当点P 在NF 上时等号成立，此时NF 对应的函数表达式为y ＝－x ＋22， 由(1)知此时点P (2－1，2＋1)，
∴当点P 的坐标是(2－1，2＋1)时，PM ＋PN 的值最小，最小值是2. 考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合
◆类型一 一元二次方程与三角形、四边形的综合
1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（ ）
A ．5
B ．7
C ．5或7
D ．10
2．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A ．12
B ．9
C ．13
D ．12或9
3．(罗田县期中)菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程x 2－7x
＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）
A．16 B．12 C．16或12 D．24
4．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）
A．9 B．10
C．9或10 D．8或10
5．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．
6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】
7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】
◆类型二一元二次方程与函数的综合
8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）
9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）
A．第四象限B．第三象限
C．第二象限D．第一象限
10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．
12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝k
x
(k≠0)的图象有两个不同的
交点，则k的取值范围是．.
◆类型三一元二次方程与二次根式的综合
13．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx＋1
4
＝0有两个实数根，则m的取值
范围为（）
A．m＞5
2
B．m≤
5
2
且m≠2
C．m≥3 D．m≤3且m≠2
14．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合
1．B 2.A 3.A 4.B 5.8
6．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.
7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴
Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2
＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的
两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 2
1＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝
25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114
，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.
8．B
9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.
10．B 11.－2 12.k>－12
且k ≠0 13．B 14.k ≥1。