组合数学课件第二章第四节整数的拆分

2.8：整数的拆分
定理2.8.1 正整数r拆分成不同正整数和的拆分数， 等于拆分成奇正整数的拆分数？
对比7拆分成不同正整数之和的拆分数和拆分成奇 数和的拆分数。
解：7拆分成不同正整数和的所有形式如下：
7，6+1，5+2，4+3，4+2+1共5种
解：7拆分成奇数和的所有形式如下： 7，5+1+1， 3+3+1， 3+1+1+1+1，
任何一个奇数都可表示成 2n+1这种形式。
每一个奇数都及右图这样的自 共轭费勒斯图像一一对应。
n拆分成若干奇数和可以如下表示： n=(2n1+1)+(2n2+1)+…+(2nk+1)
第三十一页，共35页。
2.9 费勒斯（Ferrers)图像
例如：17=9+5+3，求所对应的自共轭 费勒斯图像。
首先将9写成2×4+1,按此构造自共轭费 勒斯图像。
第二行，第二列各n2+2格，对应于 2n2+1。
以此类推。由此得到的Ferres图像是自共 轭的。
第三十三页，共35页。源自2.8：整数的拆分例1 若有1克、2克、3克、4克的砝码各 一枚，问能称出几种可能的重量。
允许空盒，因此常数项为零，单独第一盒的 母函数可构造为：x+x2+ …+xn+…
其它盒也有同样的情况，共m个盒子。
G (x)(xx2...x)x (2...)x .x .2. (...) 第一第 盒二第 盒 m 盒
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2.8：整数的拆分
xm (1 x ) m
x m (1 m m ( x m 1 )x 2 . .C .(m k 1 ,k)x k ...) 2 !
推论:如下拆分数相同
(1)正整数n拆分成最多不超过m个数的和的 拆分数，
(2)正整数n拆分成最大数不超过m的数的拆分 数。
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2.9 费勒斯（Ferrers)图像
定理2.9.1 如下两种拆分方式的数的是相等的。
(1)把正整数n拆分成m个数的和的拆分数。
(2)把正整数n拆分成最大数为m的拆分数之和。
展开中xn-m项的系数
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2.8：整数的拆分
例6 n个完全相同的球放到m个有区别的盒 子，允许空盒，问共有多少种不同的方案？其 中m≤n。
解：第一盒，用1代表不放球，用x代表 放一个球，用x2代表放两个球，…。单独第一 盒的母函数可构造为：1+x+x2+ …+xn+…
其它盒也有同样的情况，共m个盒子。
G (x)(1 xx2 ..1 . )x (x2 ...1 )x . .x .2 (...) 第一第 盒二盒 第 m 盒
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2.8：整数的拆分
例7 n个完全相同的球放到m个有区别的盒 子，不允许空盒，问共有多少种不同的方案？ 其中m≤n。
解：第一盒，用1代表不放球，用x代表 放一个球，用x2代表放两个球，…。因为不
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2.8：整数的拆分
例3 求正整数n拆分成1,2,…m的和，并 允许重复的拆分数。如若其中m至少出现一 次，试求它的方案数及其母函数。
解1：
1 (1x)1(x2)..1.( xm)
展开式中xn项的系数就是要求的拆分数。
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2.8：整数的拆分
解2：如果m至少出现一次。
1 1x1 1x21 1x3...11xm
拆分成不超m-1个数的拆分数。
1 1x1 1x21 1x3...11 xm 1
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2.9 费勒斯（Ferrers)图像
定理2.9.2 整数n拆分成互不相同的若干奇数 和的拆分数，及n拆分成有自共轭费勒斯图像的 拆分数相等。这里所讲的自共轭费勒斯图像是指 共轭图像及原图像一致。
1x1x21x3 1x4 (1x)1(x12)1(x4)...
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2.8：整数的拆分
例2-25 n个完全相同的球放到m个无区别
的盒子，不允许空盒，问共有多少种不同的方 案？其中m≤n。
解：从n中取m个球一个盒子放一个。
整数n-m用不超过m的数来拆分的拆分数。
1 (1x)1(x2)..1.( xm)
4=4，4=3+1，4=2+2， 4=2+1+1，4=1+1+1+1
通常用p(n)表示整数n拆分成若干正整数 的和的拆分数，也可说成方案数
例如p(4)=5。
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2.8：整数的拆分 2、拆分的模型
(1)、C(n,r) 从n个不同的球中取出r个,放进r个相同的盒子 中,不许空盒,有多少种放法.
printf(“error”); else if(n=1||m=1)
return(1); else if(n<m)
return divinteger(n,n) else if(n=m)
return(1+divinter(n,n-1)); else return(divinteger(n,m-1)+divinteger(n-m,m));
2.8：整数的拆分
4、用母函数讨论拆分数
n的拆分数的母函数。
1xx2... 1x2x4... 1x3x6... .................... 1 1x11x211x3...11xn
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2.8：整数的拆分 例2 求1角、2角、3角的邮票可贴出 不同数值邮资的方案数的母函数。 解： 单独用1角的母函数为1+x+x2+x3+… 单独用2角邮票的母函数为 1+x2+x4+x6+…
Q(n,n)有以下递归关系
(1)Q(n,n)=1+Q(n,n1Q)(n,m)有以下递归关系
(2)Q(n,m)=Q(n,m-1)+Q(n-m,m) 停止条件： (1)Q(n,1)=1 (2)Q(1,m)=1
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2.8：整数的拆分
int divinteger(int n,int m) {if (n<1||m<1)
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2.9 费勒斯（Ferrers)图像
3、费勒斯图像对拆分数的讨论
例如：8=3+2+2+1
1
3
2
2
3
2
4 1
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2.9 费勒斯（Ferrers)图像
定理2.9.1 如下两种拆分方式的数的是相等的。 (1)把正整数n拆分成m个数的和的拆分数。 (2)把正整数n拆分成最大数为m的拆分数之和。
xn-m项的系数是: C(m+n-m-1,n-m)=C(n-1,n-m)=C(n-1,m-1)
因此。方案数为C(n-1,m-1)
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2.9 费勒斯（Ferrers)图像
1、什么是费勒斯图像
1
3
2
2
3
2
4 1
例如： 8=3+2+2+1
假设正整数n拆分成n=n1+n2+…+nk。 其中n1≥n2 ≥n3 ≥… ≥nk。将他们排成阶梯形， 左边对齐，第一行n1格，第二行n2格，第k行nk格。
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2.8：整数的拆分
正整数n的拆分，相当于把n个无区别的球 放进n个无区别的盒子，盒子中允许放一个以 上的球，也允许空着
以正整数4为例，球的放法如下：
4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1， 4=1+1+1+1
○○ ○○
○○
○○
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2.8：整数的拆分
3、拆分算法:递归实现 定义一个函数Q(n,m)：表示整数n的所有加数 都不超过m的拆分数。 n的拆分数就可以表示为Q(n,n)
单独用3角邮票的母函数为 1+x3+x6+x9+…
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2.8：整数的拆分
G ( x ) ( 1 x x 2 .. 1 .x 2 ) x 4 ( .. 1 .x 3 ) x 6 ( ..
(1x)1(1x2)1(x3)
1 x 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 x 5 ...
5，4+1，3+2，3+1+1，
52，+42++11，2+2+1，2+1+1+1，
1+1+1+1+1
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2.8：整数的拆分
解：n拆分成重复数不超过2的数之和的拆分数，其母函 数为：
G(x)=(1+x +x2) (1+x2 +x4) (1+x3 +x6) (1+x4 +x8) …
(1x3)(1x)1 (xx2) G (x)1x3.1x6.1x9.1x12 ...
将5写成2×2+1,按此构造自共轭费勒斯图 像。
将3写成2×1+1,按此构造自共轭费勒斯图 像。
将这三个图像结合起来就得到了我们所 要求的图像。
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2.9 费勒斯（Ferrers)图像
n拆分成若干奇数和可以如下表示： n=(2n1+1)+(2n2+1)+…+(2nk+1)
构造一个Ferrers图像，其第一行，第一列 都是n1+1格，对应于2n1+1，
1+1+1+1+1+1+1也是5种
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2.8：整数的拆分
解：首先构造r拆分成不同正整数和的拆分序 列的母函数：
G(x)=(1+x) (1+x2) (1+x3) (1+x4) …
1 x 2 1 x 4 1 x6 1 x8
1 x
. 1
x
2
.
1 x3
. 1
x4
...
1
(1x)(1x3)(1x5)...
第二十四页，共35页。
2.9 费勒斯（Ferrers)图像
2、费勒斯（Ferres)图像的性质：
(1)每一层至少有一个格子；
(2)下一层的格数不多于上一层的格子数；
(3)行及列互换，即第1行及第1列互换，第2行 及第2列互换，……,也就是沿对角线旋转180°， 仍然是费勒斯图像；
后一个费勒斯图像称为前一个费勒斯图像的 共轭图像，而且互为共轭。
(2)、P(n,r) 从n个不同的球中取出r个,放进r个不相同的盒 子中,不许空盒,有多少种放法.
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2.8：整数的拆分
(3)、从n个不同元素中取r个允许重复的组合
r个相同的球放进n个不同的盒子中,允许空盒, 有多少种放法.
(4)、正整数n的拆分数
以正整数4为例：
4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1， 4=1+1+1+1
(1xx2...1 )x (3x6...)...
第十七页，共35页。
2.8：整数的拆分
定理2.8.2 n拆分成其它数之和但重复数 不超过2。其拆分数等于它拆分成不被3除尽 的数的和的拆分数。
考虑n=5的情况
5的所有拆分情况如下：
5，4+1，3+2，3+1+1，2+2+1，2+1+1+1， 1+1+1+1+1
1xx2...
1x2x4...
1 1 1 ... xm 1x 1x2 1x3 1xm
1x3x6...
....................
xmx2mx3m...
第二十八页，共35页。
2.9 费勒斯（Ferrers)图像
推论:正整数n拆分成最多不超过m个数的和的 拆分数，等于将n拆分成最大数不超过m的数 的拆分数。
G(x)=(1+x+x2+ … )(1+x2+x4+… )… (xm+x2m+…)
xm
(1x)1(x2)..1.(xm)
(1x)11 ((1x 2)x.m .1 ). ( xm)
1
1
(1 x )1 (x 2 ).1 .x .m )( (1 x )1 (x 2 ).1 .x .m 1 ()
1xx2... 1x2x4... 1 1x11x211x3...11xm 1x3x6... .................... 1xmx2mx3m...
第二十九页，共35页。
2.9 费勒斯（Ferrers)图像
拆分成正好m个数的拆分数。
1 1x11x21 1x3...1 xm xm
拆分成不超m个数的拆分数。
组合数学课件第二章 第四节整数的拆分
第一页，共35页。
2.8：整数的拆分 1、拆分的概念
2、拆分的模型 3、拆分算法:递归实现 4、用母函数讨论拆分数
第二页，共35页。
2.8：整数的拆分
1、拆分的概念
所谓整数的拆分，是指把一个正整数拆 分成若干正整数的和。不同的拆分法的数 目称为拆分数
例如：考虑正整数4的拆分数：
}
第八页，共35页。
2.8：整数的拆分
4、用母函数讨论拆分数
例1 求4的拆分数。 解：分析下面的多项式x4项的系数及4 的拆分数的关系.
(1+x+x2+x3+x4…)(1+x2+x4…) (1+x3…)(1+x4…)
4=1+1+1+1,4=2+1+1， 4=2+2，4=3+1， 4=4，
第九页，共35页。
第十四页，共35页。
2.8：整数的拆分
正整数n拆分成1,2,…m的和，并允许重复 的拆分数。
若其中m至少出现一次，它的方案数等于拆 分成1,2,…,m的拆分数减去拆分成1,2,…,m-1 的拆分数。
以正整数4为例：
4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1， 4=1+1+1+1
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