数学上学期期中试题-东张中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题及答案(理)

福清东张中学2015—2016学年度第一学期期中考高二年
数 学 (理科) 试 卷
（完卷时间：120分钟，满分：150分）
说明：本试卷共分两部分，选择题与非选择题，全卷有22小题，共两张；所有答案均需填在答题卡中，写在试卷上的答案无效！
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.答填涂在答题卡对应位置.
1. 已知等差数列{}n a 中，11=a ，3=d ，当19=n a 时，则n ＝（ ） A.5 B.6 C.7 D.8
2. 不等式02<++n mx x 的解集为{}21|<<-x x ，则m ，n 的值分别为（ ） A.1，2 B.1，-2 C.-1，2 D.-1，-2
3. 下列命题中，正确的是（ ）
A.若b a >，则22bc ac >
B.32<<-a ，21<<b ，则13<-<-b a
C.若0>>b a ，0>m ，则
b
m
a m < D.若
b a >，d
c >，则b
d ac > 4. 在ABC ∆中，5=a ，3=b ，︒=60C ，则=c （ ） A.4 B.16 C. 132 D.31834- 5. 函数)1(1
4
>-+
=x x x y 的最小值是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7
6. 已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则=q （ ） A.1或21-
B.1
C.2
1
- D.-2 7. 设)2(2-=a a M ，)3)(1(-+=a a N ，则有（ ）
A.N M >
B.N M ≥
C.N M <
D.N M ≤ 8. 已知等比数列{}n a 中，1651=⋅a a ，则=3a （ ） A.8 B.±4 C.-4 D.4
9. 在锐角ABC ∆中，角B A ,所对的边长分别为b a ,，若b B a 3s i n
2=，则角A ＝（ ）
A.
12π B. 6π C. 4π D. 3
π
10. 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2和为100，则它的前m 3项和为（ ） A.130 B.170 C.210 D.260
11. 福州为了迎接青运会，计划从2011年到2015年，每年年初投入资金用于更新和改进体育场所与设施，若2011年年初投入a 万元，以后每年年初投入的资金比上一年递增10%，则投入的总资金约为（参考数据 46.11.14≈，61.11.15≈） （ ）
A.a 6.4万元
B.a 1.6万元
C.a 6.14万元
D.a 1.16万元
12. 设变量x y ，满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥+≥+-≥-2412
2y x y x y x ，则可行解的平面区域面积为（ ）
A.
2
3
B.3
C.4
D.6 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.在ABC ∆中，已知35=b ，15=c ，︒=30B ，则角=C __________________. 14.数列{}n a 中，21=a ，121-=+n n a a ，则=6a __________________. 15.正数b a ,满足12=+b a ，则
b
a 1
1+的最小值为____________________. 16. 已知变量x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则22y x z +=的最大值为
______________.
三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（10分）已知集合{}016|2<-=x x A ，{}
034|2
>+-=x x x B ，求B A .
18.（10分）设y x z 53+=，其中变量x 和y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤≤+3511535y x x y y x ，求z 的最大值和
最小值。

19.（12分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，且
211==b a ，544=b ，32321b b a a a +=++,
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前10项和10S 。

20.（12分）已知c b a ,,分别是ABC ∆内角C B A ,,的对边，C A B sin sin 2sin 2= （Ⅰ）若b a =，求B cos ； （Ⅱ）若︒=90B ，且2=a ，求ABC ∆的面积.
21.（12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n +=2
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）设数列{}n b 是首项为1，公比为2
1
的等比数列，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T
22.（14分）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，
4
3cos =
B ． （Ⅰ）求
C
A tan 1
tan 1+
的值； （Ⅱ）设2
3
=⋅BC BA ，求c a +的值。

福清东张中学2015—2016学年度第一学期期中考高二年
数 学 (理科) 试 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. ︒60或︒120 14. 33 15. 223+ 16.
13
三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.解：{}
{}44|016|2
<<-=<-=x x x x A …………………………3分 {}
{}3,1|034|2
><=>+-=x x x x x x B 或 …………………6分
∴{}43,14|<<<<-=x x x B A 或 ………………………10分
18.解：由约束条件得可行域（图略） ……………………………………………6分
交点坐标()-2,-1A ，)25,23(B …………………………………………………7分
由y x z 53+=得5
53z
x y +-= (8)
当1=,2=--y x 时，11=min -z ，当2
5
=,23=y x 时，17=max z ………………10分
19. 解：（Ⅰ）∵21=b ，544=b ∴271
4
3
==
b b q ，即3=q ………3分 ∴1
1132--⨯==n n n q b b （*N n ∈） ……………5分
（Ⅱ）由题（Ⅰ）得62=b ，183=b ……………7分
∵32321b b a a a +=++，21=a ∴183=d ，即6=d ………10分 ∴29062
9
1021010=⨯⨯+
⨯=S ………………………12分 20.解：（Ⅰ）由题设及正弦定理得ac b 22
= ………………………………2分
又b a =，可得c a c b 2,2== ………………………………3分
4
12c o s
222=-+=ac b c a B ……………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知ac b 22=∵︒=90B ，由勾股定理得222b c a =+ …………7分 ∴ac c a 222=+ ………………………8分 ∴2=
=a c ……………………10分
∴ABC ∆的面积为1 …………………12分
21. 解：（Ⅰ）当1=n 时，211==S a ， ………………………1分
当1>n 时，n n n n n S S a n n n 2)]1()1[(2
21=-+--+=-=- …3分
综上，n a n 2=，*N n ∈ …………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知{}n a 是等差数列 ∵数列{}n b 是首项为1，公比为2
1
的等比数列 ∴数列{}n n b a ⋅的前n 项和
122
1
221621412-⨯++⨯+⨯
+⨯=n n n T ① …………6分 故n n n n n T 21
221)22(2142122112⨯+⨯-++⨯+⨯=- ② …………8分 由①-②得n n n n T 2
1
221221212211⨯-⨯++⨯+⨯=-
n
n
n 2122112
112⨯--⎪
⎭⎫
⎝⎛-⨯= ()n
n 21
244⋅
+-= ……10分 ∴n
n n T 2
1)48(8⋅
+-=，*
N n ∈ ………………12分 22.解：（Ⅰ）由,4
7)43(1sin ,43cos 2=-==
B B 得 ……………………2分 由b 2=a c 及正弦定理得 .sin sin sin 2
C A B = ………………………4分 于是B
C A C A A C A C C C A A C
A
2sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1
tan 1+=+=+=
+
.774
sin 1sin sin 2
===
B B
B …………………………………6分 （Ⅱ）由2
3
cos 23=⋅=⋅B ca 得 ……………………………8分 .2,2,4
3
cos 2===
b ca B 即可得由 ………………………………10分 由余弦定理 b 2=a 2+
c 2－2a c+cosB 得a 2+c 2=b 2+2a c·cosB=5. …………12分
3,
9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a ………………14分。