向量与三角函数专题

向量与三角函数
一、解三角形
例5．已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为
1
sin 6
C ，求角C 的度数．
解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，
BC AC +=，两式相减，得1AB =．
（II ）由ABC △的面积
11sin sin 26BC AC C C = ，得1
3
BC AC = ， 由余弦定理，得222
cos 2AC BC AB C AC BC
+-=
22()2122
AC BC AC BC AB AC BC +--== ，所以60C = ．
例6. 如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，4
3cos =C ．
（1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值. 解答过程：（Ⅰ） 由余弦定理，得
2222..cos AB AC BC AC BC C =+- 3
41221 2.4
=+-⨯⨯⨯
=
那么，AB
（Ⅱ）由3
cos 4
C =，且0,C π<<得sin C 由正弦定理，得
,sin sin AB BC C A
=
解得sin sin BC C A AB
==所以，cos A .由倍角公式
sin 2sin 2cos A A A =⋅=
， 且29cos 212sin 16
A A =-=，故
(
)sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+例7．在ABC △中，1tan 4A =
，3tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；（Ⅱ）若AB
，求BC 边的长．
解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，13
45tan tan()113145
C A B +
∴=-+=-=-- ．
又0πC << ，3
π4
C ∴=．
（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧
==⎪⎨⎪+=⎩
，，
且π02A ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，，
得sin A =
sin sin AB BC C A =
，sin sin A BC AB C ∴== 二．求三角函数的定义域、值域或最值 典型例题
例8.已知函数11()(sin cos )sin cos 2
2
f x x x x x =+--,则()f x 的值域是（ ）
A.[]1,1-
B.
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.
⎡-⎢⎣
⎦
D.
1,⎡-⎢⎣
⎦
)),,444, 1.,,,24f x x x x f x x f x A C D x f x ππππ
π+-∴==
--=-=解法1:(当时(故选C.11解法2:当时()=知不可能.又由时(知选C.22
例9． 设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2
π
(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且. （Ⅰ）求实数m 的值;
（Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.
解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++
a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛
⎫=++= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）
得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=
++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭时，
()f x
的最小值为1
例10.
已知函数1)
4()cos x f x x
π
-=
， （Ⅰ）求()f x 的定义域；
（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3
α=-，求()f α的值.
解答过程：（Ⅰ） 由cos 0x
≠得()2
x k k Z ππ≠+∈.
故()f x 的定义域为,2x x k k Z π
π⎧⎫
≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
， （Ⅱ） 因为43
tan ,cos ,55
αα=-
=且第四象限的角， 所以43
sin ,cos ,55
αα=-=
故(
)()21)
4cos 122)22cos 1sin 2cos 2cos 2cos 2sin cos cos 2cos sin 14.5
f π
ααα
αααααα
αααα
αα-=
=
-+=
-=
=-=
例11设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12
(=πf ， （1）求ω、a 、b 的值；
（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f .
解答过程：(1)
)x sin(b a )x (f 22ϕ+ω+=， π=∴T ， 2=ω∴， 又 )x (f 的
最大值
4)12(
f =π ， 2
2b a 4+=∴ ① ， 且 12
2cos b 122sin a 4π+π= ②， 由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2) )3
x 2sin(4x 2cos 32x 2sin 2)x (f π
+
=+=， 0)(f )(f =β=α∴，
)32sin(4)32sin(4π
+β=π+α∴，
3
2k 232π
+β+π=π+α∴， 或
)3
2(k 232π
+β-π+π=π+
α， 即 β+π=αk (βα、 共线，故舍去) ， 或 6
k π+π=β+α，
3
3)6k tan()tan(=
π+π=β+α∴ )Z k (∈.
例12.设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6
π.
（I ）求ω的值；
（II ）如果()f x 在区间5,3
6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
a 的值.
解答过程：（Ⅰ）1()2sin 22f x x x a ωω=
+sin(2)3x a πω=+, 依题意得 26
3
2
πππω⋅+=， 解得 12
ω=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()sin()3
f x x a π=+,
又当5,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，70,36x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故11sin()123x -≤+≤，
从而()f x 在5[,]36ππ-上取得最小值12a -.
因此，由题设知1
2
a -故a =例13.已知函数R x x x x f ∈++=),2
sin(sin )(π
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值； （Ⅲ）若4
3)(=αf ，求α2sin 的值.
命题目的：本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力. 解答过程：)4
sin(2cos sin )2
sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f
（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ21
2==T ;
（Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；
（Ⅲ）因为4
3)(=αf ，即37
sin cos 2sin cos .416
αααα+=⇒=-
即 16
72sin -
=α. 三．三角函数的图象和性质 典型例题 例14.已知函数
22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.求：
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间. 解答过程：（I ）解法一： ()1cos 23(1cos 2)
sin 222
x f x x θ-+=
++
2sin 2cos 2x x =++
2)
4
x π=+
. ∴
当224
2
x k π
ππ+=+
，即()8
x k k Z π
π=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8
x x k k Z ππ⎧
⎫=+∈⎨⎬
⎩
⎭
. 解法二：222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++ 1sin 21cos 2x x =+++
2)4
x π=+.
∴
当224
2
x k π
ππ+=+
，即()8
x k k Z π
π=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8
x x k k Z ππ⎧
⎫=+∈⎨⎬
⎩
⎭
.
（Ⅱ）解： ()2)4
f x x π
=+
由题意得222()2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，即3()8
8
k x k k Z ππππ-≤≤+∈.
因此， ()f x 的单调增区间是()3,8
8k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥
⎣
⎦
.
例15．（本小题满分12分） 已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 解：（I ）由题设知1π
()[1cos(2)]26
f x x =
++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π
26
x +
πk =， 即0 π
2π6x k =-
（k ∈Z ）． 所以0011π
()1sin 21sin(π)226
g x x k =+=+-．
当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫
=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644
g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=
++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
1π311
3cos 2sin 2sin 2262222
x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=
+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭
1π3sin 2232
x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -
++≤≤，即5ππ
ππ1212
k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3
()sin 2232
h x x ⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，（k ∈Z ） 例16.
已知函数2
2
()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？
解答过程：（I
）1cos 2()2(1cos 2)22
x f x x x -=
+++
132cos 2223
sin(2).
62
x x x π=
++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2
T π
π=
= 由题意得222,,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈
即 ,.3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
()f x ∴的单调增区间为,,.
3
6k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
（II ）方法一：
先把s i n 2y x =图象上所有点向左平移
12
π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移3
2个单位长度，就得到
3s i n (2)62
y x π
=+
+的图象.
方法二： 把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122
a π=- 平移，
就得到3sin(2)6
2
y x π=++的图象.
例17.
已知函数2())2sin ()().6
12
f x x x x R π
π
=-+-
∈
（I ）求函数()f x 的最小正周期；
（II ）求使函数()f x 取得最大值的x 集合.
解答过程：(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π
12) = 2[
32sin2(x －π12)－1
2 cos2(x －π12
)]+1 =2sin[2(x －π12)－π
6]+1 = 2sin(2x －π
3) +1 .
∴ T=2π
2 =π．
(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π
2 ， 即x=k π+ 5π12 (k ∈Z) ∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π
12 , k ∈Z}. 四．平面向量、三角函数的图象和性质 典型例题
例18.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06
a π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A ．sin()6
y x π=+ B ．sin()6
y x π=-
C ．sin(2)3
y x π=+ D ．sin(2)3
y x π=-
解答过程：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
平移，平移后的图
象所对应的解析式为sin ()6
y x πω=+，由图象知，73()12
6
2
πππω+=，所以2ω=，因此选C.
例19.已知向量(sin ,1),(1,cos ),.2
2
a b ππθθθ==-<<
（Ⅰ）若a b ⊥
，求θ；（Ⅱ）求a b +
的最大值.
解：（Ⅰ）,sin cos 0a b θθ⊥
若则＋＝，由此得 tan 1ππθθ=- (-<<),22
所以 ;4
πθ=-
（Ⅱ） 由
(sin ,1),(1,cos )(sin 1,1cos ),a b b b θθθθ== α+=++ α+= = =得
当sin()1,,, 1.4
4
a b a b ππθθ+=+=+
时取得最大值即当时
例20.已知,,A B C 是三角形ABC ∆
三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=
，且1m n ⋅=
（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若
221sin 23cos sin B
B B
+=--，求tan B .
解答过程：（Ⅰ）∵1m n ⋅=
,
∴(()cos ,sin 1A A -⋅= ,
cos 1A A -=
.
12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵50,6
6
6
A A ππππ<<-<-<, ∴6
6
A ππ-= . ∴3
A π=.
（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B
+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=
∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=. ∴tan 2B =或tan 1B =-.
而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去. ∴tan 2B =.
∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B
+=-
-=。