上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数
学试题
一、填空题
1．已知全集R U =，集合{}|A x x a =<，{}|13B x x =-<<，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是．
2．已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数21x y a -=+的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为．
3．用简单随机抽样的方法从含n 个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其
中个体a 在第一次就被抽取的可能性为18
，那么n ＝. 4．两正数a 与b 的几何平均值为2，则2a 与2b 的算术平均值的最小值为．
5．已知二项式31n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，正整数n 的最小值为． 6．不等式2log 1x x <-+的解集是.
7．已知等差数列{}n a 的首项11,n a S =-表示{}n a 的前n 项和，若数列{}n S 是严格增数列，则{}n a 的公差d 取值范围是.
8．已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数，则()0f '=.
9．满足定义域为{}1,2,3,4且值域为{}1,2,3的函数共有个.
10．已知函数()sin (0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>>≤<的图像与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标依次是1,2,4，则ϕ=.
11．已知实数,,a b c 成公比为q 的等比数列，抛物线2x y =上每一点到直线0ax by c ++=的距离均大于98
，则q 的取值范围是． 12．在边长为1的正六边形ABDEFG 中，以A 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别
记为12345a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ､
､､､，以D 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为12345d d d d d u u r u u u u r u u r u u r r ､､､､，若m M ､分别为()()
l j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值､最大值，其中
{}{}{}{},,1,2,3,4,5,,,1,2,3,4,5i j k r s t ⊂⊂.则m M +的值为.
二、单选题
13．若1i -是关于x 的实系数方程20x ax b ++=的一根，则a b +的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．4
14．在ABC V 中，若20AB BC AB ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状一定是（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
15．正方体1111ABCD A B C D -有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线（ ）
A ．24对
B ．30对
C ．32对
D ．64对
16．定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的最小周期分别是1T 和2T ，已知()()y f x g x =+的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（ ）
A ．121,2T T ==
B ．1213,24
T T == C ．1235,44
T T == D ．123,32T T ==
三、解答题
17．如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为2．
(1)求该圆锥的侧面积：
(2)设OA OB ､为该圆锥的底面半径，且90,AOB M ∠=︒为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的余弦值．
18．已知()22,f x x x a a =+-为常数.
(1)若()y f x =为偶函数，求a 的值；
(2)设()()
0,f x a g x x >=，若函数()(],0,y g x x a =∈为减函数，求实数a 的取值范围.
19．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n 年绿洲面积为n a 万平方千米．
(1)求第n 年绿洲面积n a 与上一年绿洲面积()12n a n -≥的关系；
(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（lg 20.3010≈）
20．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过圆22(1)1y x +-=的圆心的直线交抛物线与圆分别为A C D B ､､､（从左到右）.
(1)若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程；
(2)若抛物线和圆只有一个公共点，求p 的取值范围；
(3)在（1）的条件下，,AOC BOC △△的面积满足：4AOC BOD S S =△△，求弦AB 的长. 21．已知函数()y f x =的定义域为()0,∞+，若存在常数0T >，使得对任意的()0,x ∈+∞，都有()()f Tx f x T =+，则称函数()y f x =具有性质()P T ．
(1)若函数()y f x =具有性质()3P ，求：()()31f f -的值；
(2)设()12
log f x x =，求证：存在常数0T >，使得()y f x =具有性质()P T ；
(3)若函数()y f x =具有性质()P T ，且()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数()y f x =的值域为R ．。