空间向量的基本定理
空间向量的基本定理
是不共面的三个向量，请问向量
AC' 与它们是什么关系？
A
AC' AB AD AA'
B
问题2：
D’ C’
D C
如果向量 AB AD AA' 分别和向量a、b、c共线，
能否用向量a、b、． c表示向量 AC' ?
AC'＝xa+yb+zc
一、空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一
OB
B’
故实数x、y、z是唯一的．
A
A’
P’
二、几个基本概念：
空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量 生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底， a、b、c都叫做基向量．
说明：
①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的 一个基底．
②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量． （零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零 向量共面）
OB OC
1 2
OA
OG
1
OA
1 OB
1
A
OC.
633
O
G C N
B
三、课堂练习：
1、以知向量a,b,c是空间的一个基底，从a,b,c中 选一个向量，一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空 间的另一基底？ c
2、设空间四边形OABC，点M,N分别是边OA,BC,的中点，
开封市第二实验高中：孙义章
一、复习引入
1、平面向量基本定理：
同一平面内两个不共线的非零向量a、b， 对平面内任意向量p，有且只有一对实数x，
y，使：
p= xa+yb ．（a、b称基底）
1.2空间向量基本定理
4
思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？ (2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯 一？ [提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个 非零向量共面． (2)唯一确定．
5
2．正交分解 (1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量_两_两__垂__直__，且长度都是 __1__，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．
34
基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤
(1)设出基向量．
(2)用基向量表示出直线的方向向量．
(3)用|a|＝
a·aa·b |a||b|
求夹
角．
(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．
35
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共 线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着 三个向量一定为非零向量．
1 －1 [由m与n共线，得1x＝－y1＝11， ∴x＝1，y＝－1.]
10
基底的判断
【例1】 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空
间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，
③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的
向量组有( ) A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 O→A ＝e1＋2e2－e3， O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能否 作为空间的一个基底．
12
(1)C [如图所示，令a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D，
原创1：3.1.2 空间向量的基本定理
典例分析
若{a，b，Ԧc}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋Ԧc，Ԧc＋a}能否
作为该空间的一个基底．
是否共面
【解析】假设a＋b，b＋Ԧc，Ԧc＋a共面，
则存在实数λ，μ使得
a＋b＝λ(b＋Ԧc)＋μ(Ԧc＋a)，
∴ a＋b ＝μa＋λb＋(λ＋μ)Ԧc.
答案
②③
典例分析
空间四边形OABC中，M，N是△ABC，△OBC的重心，设＝a，
＝b， ＝Ԧc，用向量a，b，Ԧc表示向量， ， .
利用线性运算，结合图形，
【解析】如图，取BC中点P，
O
对向量进行分解
则A、M、P，O、N、P分别共线，
a
cԦ
连结AP，OP.
2
AM＝OA＋AM＝a＋ AP
＝ k ＝k( + )
跟踪训练
＝k( − + − )
＝ − + −
＝ + .
所以E、F、G、H共面．
(2) ＝ − ＝k( − )＝k ，
且由第(1)问的证明中知＝k，
于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，
已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量
＝k， ＝k ， ＝k ， ＝k ＝k，
求证：(1)四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC.
证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 = + ，
= − ＝ k － k
第三章 空间向量与立体几何
§3.1.2
空间向量的基本定理
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
空间向量的基本定理
3空间向量分解定理
空间向量的分解定理：如果三个向量
么对空间任意一个向量 p 使 p xa yb zc
a, b, c
不共面，那
，存在唯一的有序实数组
x, y, z
空间向量的 分解
空间向量的分解定理：如果三个向量
p 么对空间任意一个向量 p xa yb zc 使
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
两个空间向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
1平行向量基本定理：
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
c xa yb
1平行向量基本定理：
小组合作：
这就说明c与a, b共面
1平行向量基本定理：
1共线向量定理：
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
两个空间向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
c分解成xa和yb
（4）讨论这两个定理是否 适用空间向量
高二数学空间向量基本定理
例题：
如图，在平行六面体 ABCD－A ' B'C ' D '中， AB ＝ a， AD ＝b， AA' ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且 CQ：QA'＝4 : 1，用基底｛ a， b， c ｝表示以下向量： 1)AP ； 2)AM 3)AN 4） AQ
B1
他壹口，非说他是逼迫着她上报假情况，还说啥啊欺君之罪。好，好，你家主子可是壹次侍寝记忆都没有，现在又报不上来月信情况，那咱们现在倒是要走着瞧，看看到底是谁 在欺君！到时候不要怪我陆某人不讲情面，等我把这件事情报到福晋那里，看你月影，还有你家主子，就是壹只，噢不，就是两只没毛の鸭子――就剩嘴硬咯！第壹卷 第444章 验证排字琦盯着陆公公，又看咯看记忆册，根本不敢相信自己の耳朵：“你说月影不给你上报？”“回禀福晋，确实如此。奴才找到怡然居，月影居然还说：有就是有，没有就 是没有，假设奴才非逼着她上报，这就是欺君之罪。”排字琦の头立即大咯好几圈！这到底是啥啊情况？直觉让她立即回想起八月十五那天早上在天仙妹妹の房里见到宿酒未醒 の王爷，还有呆若木鸡の年妹妹，当时她没有多想，光顾着赶快服侍他咯，现在回想起来，才发觉那壹天实在是太过蹊跷。爷甚至连靴子都没有脱，年妹妹再没有服侍爷の经验， 也不至于连靴子都不给爷脱下吧。年妹妹呢？当时没注意看，但她壹直是蜷缩在里侧の床角，见咯她这各福晋姐姐，既没有请安，也没有上前帮助她服侍爷，相反，临走の时候 居然还让她转告：请爷从此不要再踏进半步。当时只当是她被爷教训咯壹顿，被教训傻咯，直说胡话。再有就是前几天の生辰宴，壹直吐到宴席都快要散咯，最后终究是没有回 到席上，直接回咯怡然居。唉，自己怎么这么大意，还以为是胃痛症犯咯呢，不过，天仙妹妹确实是最爱犯胃痛症呢。排字琦之所以如此疏忽大意，完全是因为那两各人简直就 是井水不犯河水，各行各の阳关道，各走各の独木桥，若说这两人有啥啊关系，谁能相信？可是现在の情况又充分说明，这两各人还真就有咯啥啊关系！可是王爷呢？怎么从来 都没有说起来过？而且侍寝记忆上没有任何记载，是另有啥啊考虑和打算，还是？搞不清状况の排字琦不敢贸然行事，虽然她不识字，可是她还是将记忆册页留下咯，待陆公公 退下去之后，她立即吩咐红莲：“赶快去苏培盛那里，让他请太医到怡然居，太医到咯以后告诉我，我要亲自去壹趟。”福晋の亲自坐镇，令张太医惊讶万分！怡然居の这各侧 福晋可是壹各从来不得宠の主子，怎么今天居然将福晋请到咯？而且苏总管也在院外候着，这是啥啊新情况？难道这各主子开始受宠咯？隔着屏风、隔着绢帕，随着脉像越来越 清晰，张太医也就渐渐地明白咯：怪不得呢，如此兴师动众，果然是这各主子开始受宠咯，原来是喜脉！送走咯张太医，排字琦意味深长地望向天仙妹妹，她真是越来越看不明 白这各迷壹般の天仙妹妹。以前受咯天大の委屈、挨咯最严厉の家法，也不见她像现在这样，整各人痴痴地、木木地，没有咯壹点儿灵气与鲜活。能够被爷宠幸，那是好些诸人 梦寐以求、求之不得の事情！得咯爷の恩宠，那可是壹辈子都享不完の荣华富贵。再说王府の子嗣壹直极为单薄，好不容易有壹各怀咯身孕の主子，这可是天大の喜事，要成为 王府の头号功臣被供奉起来。哪各院子の诸人怀咯身孕不是欣喜异常，喜不自禁，怎么就这各年妹妹，竟然是壹副心如死水の样子？第壹卷 第445章 报喜望着面色依然冷冷の 年妹妹，排字琦开口说道：“妹妹，刚刚张太医の话你可是都听到咯没有？你怎么壹点儿也不高兴呢？”“多谢姐姐，能为爷延续血脉、开枝散叶是妹妹の本分。”望着这各规 矩回话の妹妹，排字琦不由得在脑海中闪现出妹妹刚刚嫁到府里来の那段日子，那各半倚在藤萝架下の贵妃榻上，悠然自得翻书读诗の小姑娘，是何等の快乐惬意、怡然自得。 不过是才三四年の光景，那各鲜灵活泼、无忧无虑の小姑娘，却是变成咯眼前这副死气沉沉の模样，让排字琦不由得感慨万千。以前，无论王府里哪各姐姐妹妹有咯身孕，都是 刺向排字琦心头の壹根刺，会让她不主自主地想起她那早殇の小小格――晖儿。眼看着壹各壹各の小小格小格格们降生，可是他们の额娘却都不是她这各嫡福晋，幽怨、悲伤、 心痛，不壹而足。可是唯有这壹次，对于年妹妹，她壹反常态地不再是心生悲痛，心生妒忌，反而却是心生怜悯。这些年走过来，王爷和天仙妹妹之间の恩恩怨怨，她早就咯如 指掌。但是在子嗣这么重大の事情上，年妹妹仍然与王爷针锋相对、寸步不让，这让排字琦对水清又心生壹丝不满。两各人之间再有多大の矛盾和不满，作为爷の诸人，安分守 己、生儿育女，是每各女眷最大の本分。年妹妹在安分守己这方面自然是格外出挑，但是在生儿育女方面，做得实在是太不对咯。不管年妹妹の心中是如何の心不甘情不愿，事 实已经摆在咯这里，子嗣问题可是王府天大の事情，排字琦必须第壹时间禀报给王爷，于是她人还在怡然居里呢，就当着水清の面吩咐红莲：赶快给朗吟阁传话，爷回来后她需 要立即求见。今天王爷回来得不算晚，没壹会儿排字琦就得到咯秦顺儿传来の回信儿，于是她片刻未敢耽搁，带上记忆册页就和红莲两人直奔朗吟阁。“给爷请安。”“起来吧， 今天有啥啊事情这么着急？”“回爷，今天，今天陆公公来找妾身。”“哪各陆公公？”“就是，负责侍寝记忆の陆公公。”“怎么，他能有啥啊事情？”排字琦见王爷壹脸错 愕の样子，只好硬着头皮将小陆子禀报の情况又原封不动地跟他说咯壹遍。说完之后，排字琦难以置信地发现，王爷居然更是壹脸错愕の表
空间向量的定义和基本定理
空间向量的定义和基本定理一、空间向量的定义和基本定理1、空间向量与平面向量一样，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
2、空间向量基本定理（1）共线向量定理定理：对空间任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$($\boldsymbolb$≠0），$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$的充要条件是存在实数$\lambda$，使$\boldsymbol a$=$λ\boldsymbol b$。
推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\boldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\boldsymbol \alpha$①。
其中向量$\boldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。
在$l$上取$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol a$，则①式可化为$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{A B}$或$\overrightarrow{O P}=(1-t)\overrightarrow{O A}+t\o verrightarrow{O B}$②。
当$t=\frac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$③。
①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。
（2）共面向量定理定理：如果两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$不共线，那么向量$\boldsymbol p$与向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（$x$，$y$），使$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$。
空间向量的基本定理空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。
在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。
二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。
2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。
3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。
当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。
4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。
5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。
三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。
2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。
（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
而且当k=-1时，ka=-a。
这些结论称为空间向量的基本定理。
四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。
空间向量基本定理
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果 向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那 么我们就说向量 平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线， 则向量 与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数 对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分 新疆 王新敞 奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量 证明：
（1） EG // AC
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
第08讲 空间向量基本定理7种常见考法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义
第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点1空间向量基本定理1．定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =x a +y b +z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．如果p =x a +y b +z c ，则称x a +y b +z c 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式.注：（1）对于基底{a ，b ，c }应明确以下三点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．②基底中的三个向量a ，b ，c 都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．（2）空间向量基本定理的推论设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间内任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→.推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i ，j ，k }表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k ，使a ＝x i ＋y j ＋z k .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．易错辨析：（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥O ABCD 中，OA ―→可表示为OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→＋z OD ―→且唯一，这种说法对吗？对．知识点2证明平行、共面问题1.对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2.如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．1、判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．2、用基底表示向量的策略(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．3、证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a ＝λb 即可．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．考点一：空间向量基本定理基底的判断例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设{},,a b c构成空间的一个基底，下列说法正确的是（）A ．a ，b ，c两两不共线，但两两共面B ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++C ．a ，a c - ，a c +能构成空间另一个基底D ．若0xa yb zc ++=，则实数x ，y ，z 全为零【答案】ABD【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.【详解】因为{},,a b c 构成空间的一个基底，所以a ，b ，c两两不共线，但两两共面，故A 正确；对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++，故B 正确；因为()()2a c a c a -++= ，所以a ，a c - ，a c + 共面，故不能构成空间的一个基底，故C 错误；根据空间向量基本定理可知，若0xa yb zc ++=，则实数x ，y ，z 全为零，故D 正确；故选：ABD变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（）A ．,2,a a b a b -+B ．,,a b a b c+- C ．22,,2a b a b c++D ．,,2a c b c a b c++++ 【答案】B【分析】利用基底的性质进行求解.【详解】因为()232a b a a b -=-+ ，所以,2,a a b a b -+是共面向量，不能构成基底，A 不正确；因为,,a b a b c +-不是共面向量，所以可以构成基底，B 正确；因为22a b +与a b + 平行，所以22,,2a b a b c ++ 不能构成基底，C 不正确；因为2a c b c a b c +++=++，所以,,2a c b c a b c ++++ 共面，不能构成基底，D 不正确.故选：B.变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若{}a b c，，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b- C ．a b +，a b - ，cD ．a b +，a b c ++ ，c【答案】ABD【分析】利用共面向量定理逐项分析判断作答.【详解】{},,a b c构成空间的一个基底，对于A ，()()2b c b c b ++-= ，因此b c + ，b ，b c -共面，A 正确；对于B ，)()(2a a b b a ++-=，因此a ，a b + ，a b - 共面，B 正确；对于C ，假定a b +，a b - ，c 共面，则存在,R λμ∈使得()()()()c a b a b a b λμλμλμ=+-++-=+ ，而,,a b c不共面，则00λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解得0λμ==，于是0c = ，,,a b c 共面，与,,a b c 不共面矛盾，因此a b +，a b - ，c 不能共面，C 错误；对于D ，()a b c a b c ++=++ ，因此a b +，a b c ++ ，c 共面，D 正确．故选：ABD变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）{},,a b c 是空间的一个基底，与a b +、a c + 构成基底的一个向量可以是（）A ．b c+B ．b c-C ．bD ．c【答案】ACD【分析】根据空间向量基本定理判断即可.【详解】由于()b c a b a c -=+-+ ，故b c - 与a b +、a c + 共面，无法构成空间的一个基底，故B 错误；因为{},,a b c 是空间的一个基底，由于不存在实数对x 、y ，使得()()b c x a b y a c +=+++，若成立则011x y x y +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，显然方程组无解，故a b +、a c + 与b c + 可以作为空间的一个基底，故A 正确，同理可得C 、D 正确；故选：ACD变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若{}123,,e e e是空间的一个基底，且向量{}123123123,22,32OA e e e OB e e e OC ke e e =++=-+=++不能构成空间的一个基底，则k =（）A ．83B ．52C ．14-D ．94【答案】D【分析】由题意可知，向量OA 、OB 、OC共面，则存在实数x 、y 使得OC xOA yOB =+ ，根据空间向量的基本定理可得出关于x 、y 、k 的方程组，即可解得k 的值.【详解】因为向量123OA e e e =++ ，12322OB e e e =-+ ，12332OC ke e e =++不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC共面，故存在实数x 、y 使得OC xOA yOB =+ ，即()()()()()123123123123322222ke e e x e e e y e e e x y e x y e x y e ++=+++-+=++-++ ，因为{}123,,e e e 是空间的一个基底，则2322k x y x y x y =+⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得521494x y k ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.故选：D.变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，1SA AB ==，BC ，则空间的一个单位正交基底可以为（）A ．1,,2AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{},,AB AC ASC ．11,,22AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D．,AS AB ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭【答案】A【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，AB 、AC 都在面ABC 内，所以SA AB ⊥，SA AC ⊥.因为AB AC ⊥，1AB =，BC =2AC =，又SA =1，所以空间的一个单位正交基底可以为1,,2AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故选：A考点二：用基底表示空间向量例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC ，BD 相交于O ，M为1OC 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c = ，则CM = （）A ．111442a b c+- B ．111442a b c-+C ．111442a b c --+ D ．311442a b c -+- 【答案】C【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】如图所示，()1111111112242442CM CO CC CB CD CC a b c =+=++=--+，故选：C变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b=，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c -++C ．1122a b c --+D ．1122a b c-+【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，111111111111()22222BM BA AA A M AB AA A B A D a c a b a b c =++=-+++=-+++=-++.故选：B变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体A PBC -中，过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为Q点，点M 满足34AM AQ = ，则PM =（）A ．131444PA PB PC-+B ．111444PA PB PC++C ．131444PA PB PC ++ D ．113444PA PB PC -+ 【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.【详解】由题知，在正四面体A PBC -中，因为AQ ⊥平面PBC ，所以Q 是PBC 的中心，连接PQ ，则()2132PQ PB PC =⨯+，所以34PM PA AM PA AQ=+=+ ()333444PA AP PQ PA PA PQ=+⨯+=-+ ()13211114432444PA PB PC PA PB PC =+⨯⨯+=++.故选：B变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体O ABC -中，2PA OP =，Q 是BC 的中点，且M 为PQ 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则OM =（）A ．111644a b c++ B ．111622a b c++C ．111322a b c++ D ．111344a b c++ 【答案】A【分析】利用基底,,a b c表示,OP OQ ，再利用向量线性运算求解即可.【详解】因为2OP PA =，所以13OP OA = ，因为Q 是BC 的中点，所以1()2OQ OB OC =+，因为M 为PQ 的中点，所以1()2OM OP OQ =+ 1122OP OQ =+ 11()64OA OB OC =++ 146114a b c =++，故选：A.变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，E 是MN 的三等分点，且13NE NM =，用向量,,OA OB OC 表示OE 为（）A ．16OE OA OB OC =++ B ．111333OE OA OB OC =++C ．111663OE OA OB OC=++ D ．111633OE OA OB OC=++ 【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为13NE NM =，所以3NM NE = ，所以3()OM ON OE ON -=-，即1233OE OM ON =+ ，又11,()22OM OA ON OB OC ==+ ，所以111633OE OA OB OC =++ .故选：D变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，设AB a=，AD b = ，1AA c = ．则（）A ．333101010QP a b c =++ B ．777101010QP a b c =+-C ．333101010QP a b c=+- D ．111101010QP a b c=++ 【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P 是1CA 的中点，所以11111()()()222AP AA AC AA AB AD a b c =+=++=++，又因为点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，所以11111111114()5555AQ AA A Q AA A C AA AC AA AC AA =+=+=+-=+114114()55555AB AD AA a b c =++=++，所以1114333()2555101010QP AP AQ a b c a b c a b c =-=++---=+- ，故选：C.变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体ABCD 中，O 为BCD △的重心，记AB a =，AC b =，AD c = ．若23AP AO = ，2CM MD = ，则PM =______．（用a ，b ，c 表示）【答案】214999a b c-++【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】依题意，O 为BCD △的重心，则()()211323BO BC BD BC BD =⨯⨯+=+，所以23PM AM AP AC CM AO=-=+- ()2233AC CD AB BO=+-+ 222333AC CD AB BO=+-- ()()13222333AC A B D D AB C AC B +⎡⎤=+---⎢⎥⎣⎦2222233399AC AD AC AB BC BD=+----()()2222233399AC AD AC AB AC AB AD AB=+------ 22222223339999AC AD AC AB AC AB AD AB=+---+-+ 214214999999AB AC AD a b c =-++=-++.故答案为：214999a b c-++变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是ABC 、OBC △的重心，D为BC 的中点，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，试用试用基底{},,a b c 表示向量OG和GH .【答案】()11,33=++=-OG a b c GH a【分析】由已知得()12AD AB AC =+ ，23AG AD = ，可得OG OA AG =+；由23= OH OD 可得=++ GH GA AO OH 可得答案.【详解】由已知得=-- OB b O a A ，=--OC c O a A ，因为G 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，所以()()22112=+=+- A b A AB c D a C ，()()2213331222=+=+-=-⨯b AG ADc a b c a ，所以()()11233=+=+-++=++ OG OA AG a a b c a b c ；又因为H 是OBC △的重心，所以()()22113323==⨯+=+OH OD OC OB b c ，()()3131123=++=-+--++=- GH GA AO OH b c a a b c a .考点三：利用空间向量基本定理求参数例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥O ABC -，点P 为平面ABC 上的一点，且12OP OA mOB nOC =++（m ，n ∈R ）则m ，n 的值可能为（）A ．11,2m n ==-B ．,112m ==C ．1,12m n =-=-D ．1,12m n ==-【答案】A【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.【详解】因为点P 为平面ABC 上的一点，12OP OA mOB nOC =++ ，则12OP m n OA m AB n AC ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ，于是112m n ++=，即12m n +=，显然选项BCD 都不满足，A 选项满足.故选：A变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体1111ABCD A B C D -中，侧面11CC D D 的中心是P ，若1AP AD mAB nAA =++，则m =_________，n =_________．【答案】12/0.512/0.5【分析】用1,AB AA 表示出DP，从而得出m ，n 的值．【详解】由于11111()222AP AD DP AD DC DD AD AB AA =+=++=++，所以12m =，12n =，故答案为：12；12．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知1,,BA BC BB 为三条不共面的线段，若1123AC xAB yBC zC C =++，那么x y z ++=（）A ．1B ．76C ．56D ．116【答案】B【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.【详解】根据向量加法法则可得：11AC AB BC CC =++，即11AC AB BC C C =+- ，因为1123AC xAB yBC zC C =++ ，所以1x =，21y =，31z =-，所以1x =，12y =，13z =-，所以1171236x y z ++=+-=.故选：B.变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点M N ，满足12PM PC = ，23PN PD = ．若MN xAB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．12-B ．12C ．56-D ．－1【答案】A【分析】利用空间向量基本定理表示出MN，即可求解.【详解】矩形ABCD 中，AC AB AD =+ ,所以PC PA AC PA AB AD AP AB AD =+=++=-++.因为12PM PC = ，所以()12PM AP AB AD =-++ .因为PD AD AP =- ,23PN PD =，所以()23PN AD AP =- .所以()()2111132266MN PN PM AD AP AP AB AD AB AP AD =-=---++=--+ .所以111,,266x y z =-=-=，所以11112662x y z ⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：A变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++，则xyz =______．【答案】1-【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，所以PD PA AD PA BC PA PC PB =+=+=+-，又PD xPA yPB zPC =++，由空间向量基本定理可得，1,1,1x y z ==-=，故1xyz =-.故答案为：1-.变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++，则2x y -等于（）A ．2B ．1-C ．12-D ．13【答案】C【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答.【详解】正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，如图，则111111111111111()2222AE AA A E AA A C AA A B A D AA AB AD =+=+=++=++ ，1,,AA AB AD 不共面，又1AE AA xAB y AD =++ ，于是得12x y ==，所以122x y -=-.故选：C例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知{},,a b c 是空间的一组基底，其中23AB a b =- ，AC a c =- ，2AD b c λ=+.若A ，B ，C ，D 四点共面，则λ=（）A ．34-B ．34C ．43D ．43-【答案】D【分析】根据题意，设存在唯一的实数对(,)x y ，使得AB x AC y AD =+，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.【详解】由题意，设存在唯一的实数对(,)x y ，使得AB x AC y AD =+，即()()232a b x a c y b c λ-=-++ ，则()232a b xa yb y x c λ-=++-，则x =2，32y =-，0y x λ-=，解得43λ=-.故选：D.变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD 中，若M 是棱CD 的中点，AP AM λ=，1166AB BP AC AD +=+，则λ=______.【答案】13【分析】根据空间向量线性运算得到1166AC AM AD λλ+=，证明出共线定理的推论，由,,M C D 三点共线，得到11166λλ+=，求出13λ=.【详解】因为AB BP AP +=，所以1166AP AC AD =+ ，即1166AC A AM D λ+= ，1166AC AM AD λλ+=，下面证明：已知OB xOA yOC =+，若,,A B C 三点共线，则1x y +=，因为,,A B C 三点共线，所以存在非零实数t ，使得AB t AC =，即()OB OA t OC OA -=- ，整理得()1OB tOC t OA =+- ，故1x t =-，y t =，所以1x y +=，因为,,M C D 三点共线，故11166λλ+=，解得：13λ=.故答案为：13考点四：用向量法证明平行、共面问题例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知,,A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点,,,M A B C 共面的是（）A ．123OM OA OB OC =+- B ．322OM OA OB OC=-- C ．111243OM OA OB OC=++ D ．221333OM OA OB OC=+- 【答案】D【分析】OM xOA yOB zOC =++，分析出当,,,M A B C 共面时，1x y z ++=，从而分析四个选项，得到正确答案.【详解】当,,,M A B C 共面时，不妨设AM AB AC λμ=+，变形得到()()OM OA OB OA OC OA λμ-=-+-，则()1OM OB OA OC λλμμ=-+-+，设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面，则11x y z λμλμ++=--+++=，只有选项D 中2211333⎛⎫++-= ⎪⎝⎭符合题意.故选：D .变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．(1)试证：EF 与BC，AD 共面；(2)AD a = ，AB b = ，AC c = ，试用基底{a ，b ，c}表示向量BF ．【答案】(1)证明见解析(2)()122BF a c b =+- ．【分析】（1）连接AC ，取AC 的中点P ，连接PE ，PF ，根据直线与平面平行的判定定理可得AD ∥平面PEF ，BC ∥平面PEF ，从而可得向量EF 与BC，AD 共面；（2）直接利用向量的加减法运算得答案．【详解】（1）证明：如图，连接AC ，取AC 的中点P ，连接PE ，PF ．∵P ，F 分别为AC ，CD 的中点，∴AD ∥PF ．又∵PF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ．∴AD ∥平面PEF ．同理可证，BC ∥平面PEF ．∴向量EF 与BC，AD 共面.（2）解：()()1122BF BC BD AC AB AD AB=+=-+-()()112222AC AD AB a c b =+-=+-.变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为1AC 上一点，且1123A O A C =，BD 与AC 交于点M .求证：1,,C O M 三点共线．【答案】证明见解析.【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求1,MC MO的关系，即可推理作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1,,AB a AD b AA c ===，1123A O A C =，BD 与AC 交于点M ，即点M 是AC 的中点，于是111111111()232363MO MC CO AC CA AC AA AC AC AA =+=+=+-=+ 111111()63663AB AD AA a b c =++=++，11111111()2222MC MC CC AC AA AB AD AA a b c =+=+=++=++ ，因此13MC MO = ，即1//MC MO，而直线1MC 与直线MO 有公共点M ，所以1,,C O M 三点共线.变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC 中，12BM BC = ，12MN NO = ，34AP AN = ，用向量,,OA OB OC 表示OP ，则OP =________．若OQ OB λ= ，且PQ //平面ABC ，则实数λ=________．【答案】111444OA OB OC ++34/0.75【分析】运用空间向量的线性运算法则，将OP用基底,,OA OB OC 表示出来，延长OP 与AM 交于D ，当//PQ BD 时，//PQ 平面ABC .【详解】由条件可知：()33134444OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON=+=+=+-=+()132111111443422444OA OM OA OB OC OA OB OC =+⨯=+⨯+=++；延长OP 与AM 交于D ，连接BD ，则当//PQ BD 时，PQ ⊄Q 平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，//PQ ∴平面ABC ；令,OD OP AD mAM μ== ，则有1111444AD OD OA OP OA OA OB OC μμμμ⎛⎫=-=-=-++ ⎪⎝⎭，()()11112222AD m AM m AB AC m OB OA OC OA mOA mOB mOC ==+=-+-=-++ ，根据向量基底表示法的唯一性，有：1141124m m μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得24,33m μ==，//,,OQ OP PQ BD OPQ OBD OB OD∴= 34=，34λ∴=.故答案为：111444OA OB OC ++，34变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图，E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、AB 、CD 的中点，H 是1AC 上的点，1//GC 平面EFH .若AB =AH =___________.【答案】1【分析】设1AH AC λ= ，其中01λ≤≤，将EF 、EH 、1GC 用基底{}1,,AB AD AA 表示，分析可知1GC 、EF、EH共面，则存在m 、n ∈R ，使得1EH mEF nGC =+ ，根据空间向量的基本定理可得出关于m 、n 、λ的方程组，解出λ的值，即可得出AH 的长度.【详解】设1AH AC λ=，其中01λ≤≤，1122EF AF AE AB AD =-=- ，()111122EH AH AE AB AD AA AD AB AD AA λλλλ⎛⎫=-=++-=+-+ ⎪⎝⎭，11112GC GC CC AB AA =+=+ ，因为1//GC 平面EFH ，则1GC 、EF 、EH 共面，显然1GC 、EF不共线，所以，存在m 、n ∈R ，使得1EH mEF nGC =+，即1111112222AB AD AA m AB AD n AB AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111222m n AB m AD n AA ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ ，因为{}1,,AB AD AA 为空间中的一组基底，所以，11221122m n m n λλλ⎧+=⎪⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得13λ=，因此，11133AH AC ===.故答案为：1.变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 为平行四边形，E 为棱AB 的中点，13AF AD = ，12AG GA = ，1AC 与平面EFG 交于点M ，则1AMAC =________.【答案】213【分析】设1AM AC λ= ，其中01λ<<，用AB、AD 、1AA 表示向量GM 、GE 、GF ，利用共面向量的基本定理可知存在m 、n ∈R 使得GM mGE nGF =+，由空间向量基本定理可得出关于m 、n 、λ的方程组，即可解得实数λ的方程组，即可解得实数λ的值.【详解】设()111AM AC AB AD AA AB AD AA λλλλλ==++=++，其中01λ<<，1112233GM AM AG AB AD AA AA AB AD AA λλλλλλ⎛⎫=-=++-=++- ⎪⎝⎭ ，11223GE AE AG AB AA =-=- ，11233GF AF AG AD AA =-=- ，因为E 、F 、G 、M 四点共线，则向量GM 、GE、GF 共面，由共面向量定理可知，存在m 、n ∈R 使得GM mGE nGF =+，即1112121232333AB AD AA m AB AA n AD AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1112233m AB n AD m n AA =+-+，所以，()12132233m n m n λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-+=-⎪⎩，解得213λ=.故答案为：213.考点五：用基底法求空间向量的数量积例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ，CD 的中点，记BC a = ，BA b = ，1BB c = ，满足11π3B BC B BA ∠=∠=，π2CBA ∠=，2AB BC ==，13BB =.(1)用a ，b ，c 表示FE ；(2)计算BC FE ⋅.【答案】(1)1122FE b c a=+-(2)1【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用1,,BA BB BC 表示出FE；（2）应用向量数量积的运算律得BC FE ⋅ 11122BC BA BC BB BC BC =⋅+⋅-⋅，结合已知即可求数量积.【详解】（1）11FE FD DD D E =++ 11122BA BB BC =+-1122b c a =+- ；（2）11122BC FE BC BA BB BC ⎛⎫⋅=⋅+- ⎪⎝⎭ 11122BC BA BC BB BC BC =⋅+⋅-⋅ 11πcos 22BC BA BC BB =+ 2π1cos 32BC -0321=+-=.变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为____________．【答案】12-/0.5【分析】BC ，BD ，BA两两成60 角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.【详解】根据题意ABCD 为正四面体，BC ，BD ，BA 两两成60角，12BA BC BA BD BC BD ⋅=⋅=⋅= ,由12AE BE BA BC BA =-=- ，1122CF BF BC BA BD BC =-=+- ，所以111222AE CF BC BA BA BD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111111114242222222=⨯+⨯---⨯+=-．故答案为：12-变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设OA a,OB b,OC c ===.(1)试用向量,,a b c 表示向量OE；(2)若4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠======，求OE AC ⋅ 的值.【答案】(1)111236OE a b c =++ ；(2)83-.【分析】（1）由点E 为AD 的中点，可得1()2OE OA OD =+ ，而11()33OD OB BC OB OC OB =+=+- ，代入前面的式子化简可得结果；（2）由（1）可知111236OE a b c =++ ，由于AC OC OA c a =-=-，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果.【详解】（1）因为点E 为AD 的中点，所以111()222OE OA OD OA OD =+=+，因为2BD DC =，所以13BD BC = ，所以1121()3333OD OB BC OB OC OB OB OC =+=+-=+ ，所以11211111112233236236OE OA OB OC OA OB OC a b c ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭；（2）由（1）得111236OE a b c =++，因为4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠======，AC OC OA c a =-=- ，所以()111236OE AC a b c c a ⎛⎫⋅=++⋅- ⎪⎝⎭22111111223366a c a b c a b c a c =⋅-+⋅-⋅+-⋅ 221111132336a c abc a b c =⋅-+⋅-⋅+221111144cos 60434cos 6034cos 60432336=⨯⨯︒-⨯+⨯⨯︒-⨯⨯︒+⨯11144816326=⨯⨯⨯-+⨯83=-.考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，且1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，则1C AB ∠的余弦值是________.【答案】3【分析】利用空间向量基本定理，得到11AC AB AD AA =++，求出1AC ，1AC AB ⋅ ，再由向量夹角公式求1C AB ∠的余弦值.【详解】由题设，可得如下示意图，∴111AC AD AB CC AD AB AA =++=++ ，设AB a = ，则1AD AA a ==，又1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，所以212AB AD a ⋅= ，2112AB AA a ⋅= ，2112AD AA a ⋅= ，所以以11AC AB AD AA =++===.()22221111222AC AB AD AB AA AB a a a a ⋅=++⋅=++= ，所以21111cos cos,AC ABC AB AC ABAC AB⋅∠===.变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D-中，2AB=，2AD=，12AA=，1160BAA DAA∠=∠=︒，90BAD∠=︒，则1BC与1CA所成角的余弦值为（）A．6-BC．4-D．4【答案】B【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.【详解】设AB a=，AD b=，1AA c=，因为,,a b c向量不共面，故{},,a b c可构成空间的一组基底，结合2a=，2b=，2c=，1160DAA∠=∠=︒，90BAD∠=︒，所以a b⋅=0，=a c⋅122=22⨯⨯，12=22=2b c⨯⨯⋅，则1BC b c=+，1CA a b c=--+，可得11BC CA⋅()()b c a b c=+⋅--+22a b a c b b c c b c=-⋅-⋅--⋅+⋅+0244=--+2=-，1BC===，1CA==2=，所以111111cos,BC CABC CABC CA⋅===又因为异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以1BC 与1CA.故选：B.变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A BCD 中，AB，AC ，AD 两两夹角均为π3，且112AB AC AD === ，若G ，M 分别为线段AD ，BC 的中点，则（）A．4MG =B．2MG =C ．异面直线AC 与DB所成角的正弦值为6D ．异面直线AC 与DB【答案】BC【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用,,AB AC AD 表示出MG，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角.【详解】不妨设,,AB a AC b AD c ===，则||||1,||2a b c === ，且1,12a b b c a c ⋅=⋅=⋅= ，111()()222MG AG AM AD AB AC c a b =-=-+=-- ，所以||2MG = ，因为1()2AC BD b c a b c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，且||BD = ，所以cos ,AC BD = 36AC BD AC BD ⋅=，则sin ,AC BD == 所以异面直线AC 与DB所成角的正弦值为故选：BC变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点M 、N 分别是正四面体ABCD 棱BC 、AD 的中点，则cos ,AM CN =______．【答案】23-【分析】以,,AB AC AD为基底，()11,22AM AB AC CN AD AC =+=- ，即可求解.【详解】解：以,,AB AC AD为基底，它们两两之间均为60︒，设正四面体ABCD 棱长为2，则()11,22AM AB AC CN AD AC =+=- ,()1111122222⋅⎛⎫⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎭⋅⎝ AM CN AB AC AD AC AD AB AD AC AC AB AC AC ()1112422=+--=-所以()()222112324⎡⎤=+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦，AM AB AC AB AB AC AC 22211324⎛⎫=-=-⋅+= ⎪⎝⎭CN AD AC AD AD AC AC ，所以2cos ,3AM CN AM CN AM CN⋅==-⋅ ,故答案为：23-变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，且4,2,60AB AD BAD ∠=== ，11190,60,47BAA DAA BD ∠∠=== .(1)用1,,AB AD AA 表示1BD，并求1AA 的长；(2)若E 为11B C 中点，求异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值.【答案】(1)11BD AA AD AB =+-，15AA =【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）用1,,AB AD AA 表示CE，计算1BD CE ⋅ ，由向量法求异面直线所成的角．【详解】（1）111BD AA A AD A D B B A =-=+- ，111122AA AD AA AA ⋅=⨯⨯=，110,4242AB AA AD AB ⋅=⋅=⨯⨯= ，222211147222BD AA AD AB AD AB AA AD AB ==+++⋅-⋅-⋅ ，即2114741628AA AA =+++-，解得15AA = ；（2）由（1）知111111,2BD AA AD AB CE CC C E AA AD=+-=+=-()2211111111112222BD CE AA AD AB AA AD AA AD AD AA AB AA AB AD⎛⎫⋅=+-⋅-=-+⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭115525254222=-+⨯+⨯=1BD CE == 设异面直线1BD 与CE 所成角为θ，则111552cos cos ,BD CE BD CE BD CEθ⋅===⋅变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，1AD =且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.(1)求1DB 的长；(2)求向量1DB 与AB夹角的余弦值.【答案】5.【分析】（1）用空间的一个基底1{,,}AB AD AA表示向量1DB ，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.【详解】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1{,,}AB AD AA为空间的一个基底，因为2AB =，13AA =，1AD =且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=，则11πππ321cos 1,23cos 3,13cos 3332AB AD AB AA AD AA ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯= ，111DB DA AB BB AB AD AA =++=-+ ，所以1||DB ==（2）由（1）知，11DB AB AD AA =-+ ，则22112136DB AB AB AB AD AB AA ⋅=-⋅+⋅=-+=，又1DB = ，所以向量1DB 与AB夹角的余弦值111cos ,5||||DB DB D B AB AB B A ⋅〈〉==.例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到10AC DB ⋅=，即可证得1AC DB ⊥；（2）根据平面向量转化基底，求出1BD 、AC 、1AC BD ⋅，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒，∴11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒= ，∴()()1111111()()AC DB AA A B B C AD AA AB AD AB AD ⋅=++⋅-=++⋅- 22110AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅-= ，∴1AC DB ⊥.（2）∵111BD AD DD AB AD AA AB ==+-+- ，AC AB BC AB AD =+=+ ，∴1BD ===||AC ==== ，()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+12211111122AD AB AA AB AA AD =+⋅-++⋅=-+= ，∴111cos ,6BD AC BD AC BD AC⋅=⋅，∴异面直线1BD 与AC所成角的余弦值为6.变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于O 点，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，4AB AD ==，15AA =.则下列结论正确的有（）A ．1AC BD ⊥B ．119BC AC ⋅=C．1BD =D ．111122OB AB AD AA =--【答案】AB【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.【详解】如图，由题意得，2216AB AD == ，2125AA = cos 44cos608AB AD AB AD BAD ⋅=⋅∠=⨯︒=，111cos 45cos6010AB AA AB AA BAA ⋅=⋅∠=⨯︒=，111cos 45cos6010AD AA AD AA DAA ⋅=⋅∠=⨯︒=，对于选项A ，()()11AC BD AB BC CC AD AB⋅=++⋅-11AB AD AB AB BC AD BC AB CC AD CC AB =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅ 2211AB AD A D AA B A B A AD A A A D AB =⋅-+-⋅+⋅-⋅ 2211161610100A AA D AA AB A D AB =-++⋅-⋅=-++-=所以1AC BD ⊥，即1AC BD ⊥.故选项A 正确.对于选项B ，()()1111BC AC BC CC AC AA ⋅=+⋅-()()()()()11111AD AA AB AD AA AD AA AB AD AA AD AA =+⋅+-=+⋅++⋅-2211AD AB AA AB AD AA =⋅+⋅+- 81016259=++-=故选项B 正确.对于选项C ，()()222111B A AD ABAD A D A B=-=+-222111222AD AB AD AA AD AB AA A A A B=+++⋅-⋅-⋅ 16251620162041=+++--=所以1BD =1BD =故选项C 错误.对于选项D ，()1111111112222OB OB BB DB AA AB AD AA AB AD AA =+=+=-+=-+故选项D 错误.故选：AB变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD ==，11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，下列说法中正确的是（）A ．1AC =B ．1AC DB⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为2【答案】AB【分析】A 选项，利用空间向量运算法则得到11AC AB AD AA =++，平方后，由向量数量积公式求出2111AC = ，求出1AC A 正确；B 选项，求出DB AB AD =- ，()()110A AB AD AA A C DB AB D ⋅⋅=++-=，得到B 正确；C 选项，作出辅助线，得到四边形11ABCD 为平行四边形，点A ∈平面11ABC D ，而点C ∉平面11ABC D ，从而得到C 错误；D 选项，先得到AC AB AD =+ ，11BD AD AB AA =-+，从而求出()()116A AB AD AD A C B B AA D ⋅⋅+=+-= ，1AC BD，利用空间向量余弦夹角公式求出答案.【详解】由空间向量运算法则得到：11AC AB AD AA =++，所以()2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅112212cos602cos 452cos 45AB AD AB AA AD AA =+++⋅︒+⋅︒+⋅︒122111222=+++++=，故1AC =A 正确；因为DB AB AD =-，所以()()11A A AB AD A AB ADC DB ++=⋅⋅- 2211AB AD AA AB AA AD-+⋅-⋅=112cos 45cos 4502AA AB AA AD -+⋅︒=-⋅︒=，故1AC DB ^，1AC DB ⊥，B 正确；连接11,A D BC，因为11//AB C D ，且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，点A ∈平面11ABC D ，而点C ∉平面11ABC D ，故直线AC 与直线1BD 是异面直线，C 错误；AC AB AD =+ ，11BD AD AB AA =-+，()()11D A AB AD A AB A C BD A +⋅=-⋅+2211AB AD AB AB AA AD AD AB AD AA =⋅-+⋅+-⋅+⋅ 112cos 452cos 45112AB AA AD AA =-+⋅︒++⋅︒=+=，又()22222AC AB ADAB AB AD AD=+=+⋅+ 222cos60426AB AD =++⋅︒=+=，()2222211111222BD AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB AA =-+=++-⋅+⋅-⋅ 112212cos602cos 452cos 45AD AB AD AA AB AA =++-⋅︒+⋅︒-⋅︒523=-=，故1AC BD == ，设1BD 与AC 所成角为θ，所以111cos cos 3AC BD AC BD AC BD θ⋅=⋅==⋅故1BD 与AC所成角的余弦值为3，D 错误.故选：AB考点七：用向量法解决立体几何的距离问题例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒，则1AC 的长为（）AB ．2CD【答案】D【分析】记AB a =，AD b =，1AA c =，由1AC a b c =++ ，利用向量法即可求出1AC 的长.【详解】解：记AB a =，AD b =，1AA c = ，由题意可知1a b c === ，,,,60a b b c c a ︒〈〉=〉=〈〉=，所以11cos601122a b b c c a a b ⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⨯⨯=，222221111()2()11126222AC a b c a b c a b b c c a ⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++= ⎪⎝⎭，所以1AC =1AC故选：D.变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA =，AB AD ==，且1145A AD A AB ∠=∠=，60DAB ∠= ，则1BD =（）A ．1BCD ．2【答案】C【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到11AB AD AA BD =-++，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.【详解】以{}1,,AB AD AA 为基底向量，可得111BA AD DD AB AD AA BD =++=-++，则2222211111()222BD AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=++-⋅-⋅+-⋅uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r 1222cos6021cos4521cos45=++-⨯-⨯⨯+⨯⨯15432=-⨯-，∴1BD =故选：C.变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且60PAB PAD ∠=∠= .若M 是PC 的中点，设,,AB a AD b AP c === .(1)将空间向量PC 与BM 用,,a b c表示出来；(2)求线段BM 的长.【答案】(1)111,222PC a b c BM a b c=+-=-++62【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可；（2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果.【详解】（1）。
空间向量基本定理
答案：A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →
知识要点一：空间向量基本定理的理解 1．空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从 而分解结果也多了一“项”，解决问题的思路，步骤也基本相同． 2．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空 间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 对于基底{a，b，c}除了应知道 a，b，c 不共面，还应明确： (1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所 有向量均可由基底唯一表示． (2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量 不共面，就隐含着它们都不是 0.
解析：由基底定义知应选 D.
4． 如图， 在长方体 ABCDA′B′C′D′中向量 A′C― →可用向量 AB― DD′― →， →， B′C′― →表示为__________________．
解析：∵A′C― →＝A′D′― →＋D′D― →＋DC― →， 又∵A′D′― →＝B′C′― →，DC― →＝AB― →，D′D― →＝－DD′― → ∴A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →.
1 1 解析：MN― →＝MC1― →＋C1N― →＝ BC1― →－ AC1―→ 2 3 1 1 ＝ (AC1― →－AB― →)－ AC1― → 2 3 1 1 ＝ AC1―→－ AB― → 6 2 1 1 ＝ (AC―→＋AA1― →)－ AB―→ 6 2 1 1 1 ＝ a－ b＋ c 6 2 6 1 1 1 答案： a－ b＋ c 6 2 6
用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法 的平行四边形法则、加法、减法的三角形法则．
高二数学空间向量基本定理
例题：
如图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA'＝c，p是CA'的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA' 上，且
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4）AQ
A D
B
C
例题：
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。A1B B1Fra bibliotek ACA
C B
M
D1
C1
N
P
A1
B1
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
；舟山出海捕鱼 舟山出海捕鱼
；
文人独嗜，百姓亦胸有丘壑，尤其在一个特殊日子里，更是趋之若鹜、乐此不疲，此即九九重阳的“登高节”。 我始终认为，这是中国先民一个最浪漫、最诗意的节日。 秋高气爽，丹桂飘香，心旷神怡
空间向量基本定理
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
bC
p
P
请证明
A aB
思考2：有平面ABC， 若P点在此面内，须
2. 已知 e1, e2 是平面内两个不共线的向量,
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
求证:A,B,C,D 四点共面.
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O， OM
A. 1
xOA ＋
B.
1 3 OB
0
＋
1 3
OC
C.
,则x的值为：
3
D. 1
C
b
p
P
满足什么条件？
Aa B
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
1.存在唯一有序实数对x,y使 AP x AB y AC
2.对空间任一点O,有 OP OA x AB y AC
3.能转化为都以O为起点的向量吗？ OP （1 x y)OA xOB yOC
OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
(1)注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即 空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；
(2)介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面 的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量， 是用向量法解立体几何问题的一项基本功。
练 习3 1.已知向量{a , b , c} 是空间的一个基底，从
11.2空间向量的基本定理
uuu uuu r r OP = OA + ta
其中向量a叫做直线 的方向向量 其中向量 叫做直线l的方向向量 叫做直线 的方向向量.
3、向量与平面平行： 、向量与平面平行： 已知平面β和向量 ， 已知平面 和向量a，作 和向量 或在内， 平行于平面β 记作： 于β或在内，那么我们说向量 平行于平面 ，记作： 或在内 那么我们说向量a平行于平面 a // β 。 通常我们把平行于同一平面的向量， 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明： 说明：空间任意的两向量都是共面的
（必要性） 必要性） 设存在实数x,y使 uuuu 设存在实数 使p=xa+yb 取空间任意一 r uuur uuur uuur ’ 点M，作 M A = a， B = b， A = xa， ’ = yb ， ， M M AP uuur 在平面MAB内， 则 MP =xa+yb=p，于是点 在平面 ，于是点P在平面 内 向量p//平面 平面MAB. 即p与向量 共面 与向量a,b共面 向量 平面 与向量 共面.
C N B
A
1 2 OG = OM + MG = 2 OA + 3 MN 1 2 = OA + ( ON − OM ) 2 3
1 1 1 = OA + OB + OC 6 3 3
例2 :已知平行六面体OABC − O' A' B' C '， r r r r r r 且OA＝a , OC = b , OO' = c , 用a , b , c 表示 如下向量：)OB', BA', CA'; (2)OG (G是侧 (1 面BB' C ' C的中心）
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理1. 引言空间向量是线性代数中的重要概念，它在物理、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
空间向量的基本定理是线性代数中一个重要的定理，它描述了空间向量之间的关系和运算规律。
本文将介绍空间向量的定义、性质以及基本定理的证明过程。
2. 空间向量的定义在三维空间中，我们可以用一个由三个实数构成的有序三元组表示一个向量。
设有两个向量a和b，它们分别表示为：a = (a1, a2, a3) b = (b1, b2, b3) 这里a1, a2, a3, b1, b2, b3是实数。
3. 向量的加法和数乘对于两个向量a和b，可以定义它们之间的加法和数乘运算： - 加法：两个向量相加得到一个新的向量，其每个分量等于对应分量相加。
- 数乘：将一个实数与一个向量相乘得到一个新的向量，其每个分量等于原来向量对应分量与实数相乘。
4. 空间向量的性质空间向量具有以下性质： - 交换律：a + b = b + a - 结合律：(a + b) + c =a + (b + c) - 零向量：存在一个特殊的向量，称为零向量，记作0，满足任何向量与零向量相加等于自身。
- 加法逆元：对于任意向量a，存在一个特殊的向量，称为其加法逆元，记作-a，满足a + (-a) = 0 - 数乘结合律：(k1k2)a = k1(k2a) - 数乘分配律1：(k1+k2)a = k1a + k2a - 数乘分配律2：k(a+b) = k a + k b5. 空间向量的基本定理空间向量的基本定理描述了两个关于空间向量的重要结果： ### 定理一对于任意两个空间向量, a, b, 满足下列条件： - 向量, a, 和, b, 不共线； - 向量, a, 和, b, 不平行；那么这两个非零空间向量之和不为零。
证明如下：假设, a, 和, b, 不共线且不平行，即它们不在同一直线上，也不平行于同一直线。
那么可以找到一个平面，这个平面同时包含向量, a, 和向量, b。
3.1.3 空间向量基本定理
pab， p a b
构成空间的另一个基底？
分析：看三个向量是否构成空间的一个基底， 就是看这三个向量是否共面
范式演练 例1.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，从
a , b , c 中选哪一个向量，一定可以与向量
pab， p a b
A A1
B P1
B1
p=OP OA1 OB1 PP 1 xe 1 ye2 ze3
二、空间向量的基本定理：
数学建构
如果e1 , e2 , e3是三个不共面的向量，那么对于 使 p =xe1 ye2 ze3
C
' ' ' ' ' '
空间内的任意一向量 p, 存在唯一的有序实数对（x, y, z） ,
y z a y z b xc 0
即 xc y a b z a b 0 设xc y p zq 0 ，
a, b, c是空间中的一个基底
c, p, q
范式演练 1. 如果向量 a , b与任何向量都不能构成 空间的一个基底，那么 a , b 之间应有什 么关系？ 2.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，则下列各 组的向量中，不能构成空间的一个基底的是：
如果e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使a＝λ 1 e1＋λ 2 e2。 （e1、 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底)
平面内任一向量可以用该平面内的两个不 共线向量来线性表示.
猜想:
空间向量基本定理1
“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测(三)” (单击进入电子文档)
―→ AD
＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，
b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴―E→F ·―B→A ＝12c－12a·(－a)＝14.
(2)∵
―→ EG
＝―E→B
＋―B→C
＋―C→G ＝－12a＋12
b＋
1 2
c，∴―E→G 2＝14a2＋
14b2＋
1 4
c2－12
a·b－12a·c＋12b·c＝12，
[对点练清] 1．[变条件]若把本例中的―AA→′ ＝a改为―AC→′ ＝a，其他条件不变，则结果又是
什么？ 解：―AM→＝―A→B ＋―BM→＝―A→B ＋12―BC→′ ＝―A→B ＋12(―AC→′ －―A→B )＝b＋12(a－b) ＝12a＋12b. ―A→N ＝―AC→′ ＋―C′→N ＝―AC→′ ＋12C―′→B′＝―AC→′ －12B―′→C′＝―AC→′ －12(A―′→C′－A―′→B′)＝ a－12(c－b)＝a＋12b－12c.
＋λ2a2＋λ3a3.
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
()
2．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量的一个基底的是 ( )
A．―A→B ，―A→C ，―A→D
B．―A→B ，―AA→1 ，―AB→1
C．D―1→A1，D―1→C1，―D1→D
D．―AC→1 ，―A1→C ，―CC→1
间的一个基底，设
―→ OP
＝x
―→ OA
＋y
―→ OB
＋z
―→ OC
，则2e1－e2＋3e3＝x(e1＋
2e2－e3)＋y(3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(x＋3y＋z)e1＋(2x＋y＋z)e2＋
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CD上的点，
则 EF ＝ EA＋ AD＋ DF ，
EF ＝ EB＋ BC ＋CF
①
又E、F分别是AB、CD的中点，故有 EA＝－ EB，
DF ＝－CF ②
将②代入①中，两式相加得2EF ＝ AD＋BC .
所以
EF
＝1 2
AD
＋1 2
BC
，即
EF
与
BC
、
AD 共面．
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[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练 地进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本 题实质上是证明存在实数x，y使向量 EF ＝x AD ＋y BC 成 立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形， 用 AD、 BC 表示 EF .
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5．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的 一个基底，给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}， ③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}， 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
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解析：如图所设 a＝ AB，b＝ AA1 ，c＝ AD，则 x＝ AB1 ，y＝ AD1 ，z＝ AC ，a ＋b＋c＝ AC1 ，由 A、B1、D、C 四点不 共面可知向量 x，y，z 也不共面．同理 可知 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面，可以作为空间 的基底，因 x＝a＋b，故 a，b，x 共面，故不能作基底．
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3．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 ( A．OM ＝3OA－2OB－OC B．OM ＋OA＋OB＋OC ＝0 C． MA＋ MB＋ MC ＝0 D．OM ＝14OB－OA＋12OC 解析：对C由 MA＋ MB＋ MC ＝0， 得 MA＝－ MB－ MC ， M与A、B、C必共面． 答案：C
四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，
∴ MN ＝ MC ＋CB＋ BN
＝12 AC ＋CB＋12 BF
＝12( BC － BA)＋CB＋12( BA＋ BE )
＝1 2
BC
＋ CB ＋12
BE
＝12(CB＋ BE )
＝12CE
∴CE ∥ MN ，即CE 与 MN 共线．
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[一点通] 判定向量共线就是充分利用已知条件找到 实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量运算法 则．结合具体的图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b， 即a与b共线．
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[例3] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b， b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[思路点拨] 判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不 共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
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[精解详析] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实 数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋ (λ＋μ)c.
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∴－ x＋3xy＝＋2y＝ ，1，此方程组无解， 2x－y＝－1，
即不存在实数x、y使OA＝xOB＋yOC . ∴OA，OB，OC 不共面． 故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
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[例4] 空间四边形OABC中，G、H分别是△ ABC、 △ OBC的重心，设 OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，试用向量 a、b、c表示向量OG和GH .
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1．共线向量定理 两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在 唯一的实数x，使 a＝xb ．
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2．共面向量定理
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在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命 令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火 灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终 于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南 500米”、“东400”“5楼”三个量确定，设e1是向南的单位向 量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．
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[例1] 如图所示，已知四边形 ABCD、ABEF都是平行四边形且不共 面，M、N分别是AC、BF的中点，判 断CE 与 MN 是否共线．
[思路点拨] 分析题意 → CE ＝ CB ＋ BE → 根据M、N的位置表示出MN―→ → 根据CE 与 MN 的关系作出判断
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[精解详析] ∵M、N分别是AC、BF的中点，
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1．共面向量是指这些向量的基线平行于同一平面，即 共面向量的基线可能相交、平行或异面．
2．共面向量定理其实质就是平面向量基本定理，它既 是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另 一种形式．
3．利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等． 4．由空间向量分解定理可知，任意三个不共面向量都 可以组成空间的一个基底，因此，空间基底有无数个．但 基底确定后，空间向量的分解式是唯一的．
∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面． 1＝μ，
∴1＝λ， 此方程组无解， 0＝λ＋μ.
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
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[一点通] 判断给出的某一向量组能否作为基底， 关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，可 用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
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BE ＝ BC ＋CE ＝－a＋12CP ＝－a＋12(CO ＋OP )＝－a－12b ＋12c. AE ＝ AP＋ PE ＝ AO＋OP ＋12(PO+OC )＝－a＋c＋ 12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. EF ＝12CB＝12OA＝12a.
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1．三个向量不共面是三个向量构成空间一个基 底的充要条件．
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7．本例中条件不变，若E为OA的中点，试用a，b，c表 示 DE和 EG . 解：如图 DE＝OE －OD ＝12OA－12(OB＋OC ) ＝12a－12b－12c； EG ＝ OG －OE
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＝13(OA＋OB＋OC )－12OA ＝－16OA＋13OB＋13OC ＝－16a＋13b＋13c.
答案：3
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6．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 OA ＝e1＋2e2－ e3， OB ＝－3e1＋e2＋2e3， OC ＝e1＋e2－e3，试判断 {OA，OB，OC }能否作为空间的一个基底？ 解：假设 OA 、 OB 、 OC 共面，由向量共面的充要条件 知存在实数x、y使OA＝xOB＋yOC 成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面，
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1．已知空间向量a，b，且 AB＝a＋2b，BC ＝－5a＋6b，
CD＝7a－2b，则一定共线的三点是
()
A．A、B、D
B．A、B、C
C．B、C、D
D．A、C、D
解析： BD＝ BC ＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)
＝2a＋4b＝2 AB，∴A、B、D三点共线． 答案：A
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2.已知四边形ABCD是空间四边形，E、 H分别是边AB、AD的中点，F、G分
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＝13(OA＋OB＋OC )＝13(a＋b＋c)． 而GH ＝OH －OG， 又∵OH ＝23OD＝23·12(OB＋OC )＝13(b＋c)， ∴GH ＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. ∴OG＝13(a＋b＋c)；GH ＝－13a.
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[一点通] 用基底表示向量时， (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三 角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律 进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要 尽量使所选的基向量共始点，这样能方便地表示其他 向量．
第
三
知识点一
章
3.1
理解教 材新知
知识点二
空 间
3.1.2
向
空间
把握热
量
向量
点考向
与 的基
考点一 考点二 考点三
立 本定
体
理
考点四
几
应用创新演练
何
返回
3．1.2 空间向量的基本定理
返回
返回
空间中有向量a，b，c(均为非零向量)． 问题1：向量a与b共线的条件是什么？ 提示：存在唯一实数λ，使a＝λb. 问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？ 提示：一定；不一定． 问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)? 提示：不能推出a＝λb.
返回
问题1：这三个向量能做为该空间的一组基底吗？ 提示：能． 问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向 量p表示出来？ 提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.
返回
空间向量分解定理 如果三个向量a，b，c 不共面 ，那么对空间任一向量p， 存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc ．其 中，表达式 xa＋yb＋zc 叫做向量a，b，c的线性表示式或线 性组合， a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c} ，a， b，c都叫做基向量．
) 返回
4．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足 OM ＝13OA＋13OB＋13OC . (1)判断 MA， MB， MC 三个向量是否共面； (2)判断M是否在平面ABC内．
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解：(1)∵OA＋OB＋OC ＝3OM ， ∴OA－OM ＝(OM －OB)＋(OM －OC )＝BM ＋CM . ∴ MA＝ BM ＋CM ＝－ MB－ MC . ∴向量 MA， MB， MC 共面． (2)由(1)向量 MA，MB，MC 共面，而它们有共同的起点 M，且 A，B，C 三点不共线， ∴M，A，B，C 共面，即 M 在平面 ABC 内.
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8．四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC， 设 OA ＝a， OC ＝b， OP ＝c，E、F分别是PC和PB的 中点，试用a，b，c表示：BF 、BE 、 AE 、 EF . 解：连接BO，则 BF ＝12 BP ＝12( BO ＋OP )＝12( BA ＋ AO＋OP )＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.