湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(解析版)

湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷
考试时长：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则
（ ）A. －1
B. 1
C. 2
D. 4
【答案】B 【解析】
【分析】由导数的定义可得答案.【详解】，
故选：B ．
2. 已知数列满足，则的值为（ ）A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】
【分析】根据前几项式子结构特征观察求解即可.【详解】由题意，则.故选：D
3. 已知圆和点，若过点的5条弦的长度构成一个等差数列，则该数列公差的最大值是（ ）A.
B.
C. 1
D. 2
【答案】C 【解析】
【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可.【详解】由已知圆的圆心为，半径为，因为，
()()
33lim
2
x f x f x x
∆→+∆--∆=∆()3f '=
()()()
Δ0
3Δ3Δ3lim 12Δx f x f x f x
→+--'=={}n a ()11
1
2,22n n a a n a -==-
≥2024a 20232024
2024202320242025
20252024
123423452,,,,1234a a a a =====⋯202420252024
a =22:25O x y +
=(2,P P 12
4
5
(0,0)O
5(2
221625+=<
所以点
在圆内，且，
所以过点的最短弦长为，最长弦长为直径长10，从而公差.
故选：C
4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况．A. 54 B. 72 C. 78 D. 84
【答案】C 【解析】
【分析】利用间接法计算可得答案.
【详解】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次有种情况，甲是第一名有种情况，乙是最后一名有种情况，
总共的情况有.
故选：C ．
5. 如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ）
A. 66
B. 120
C. 165
D. 220
【答案】D 【解析】
【分析】由题意可知：前10项分别为，结合组合数的性质运算求解.【详解】由题意可知：前10项分别为，则(2,P 4OP =P 6=max 106
14
d -==5
5A 44A 4
4A 5443
5443A A A A 78--+=1,3,6,10,15,⋯2222
23411C ,C ,C ,,C ⋅⋅⋅2
2
2
2
23411C ,C ,C ,,C ⋅⋅⋅2
2
2
2
3
2
2
2
2341133411
C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+
，
所以前10项的和为220.故选：D ．6. 若不等式
对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】
【分析】可转化为求动点与动点的距离的最小值，结合与的图象，可得答
案.
可以看作动点与动点的之间距离，再求最小值，
画出与的图象，如下图，
函数的导函数为，在的切线斜率为，且在切线方程为，即，函数的导函数为，在的切线斜率为，且在切线方程为，因为与平行，所以与
可得
故选:C ．
7. 已知函数，数列满足，则“为递增数列”是
32223
44111111123C C C C C 220C =++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅+===m ≥(),0,a b ∞∈∈+R m 1,2⎛
⎤-∞ ⎥
⎝
⎦∞⎛- ⎝(
-∞(]
,2-∞(
),e a
a (),ln
b b e
x
y =ln y x =(
),e
a
a (),ln
b b e x y =ln y x =e x y =e x y =()0,1A 0e 1=()0,1A 1y x -=1y x =+()ln 0y x x =>1
y x
=
()1,0B 1()1,0B 1y x =-1y x =+1y x =-1y x =+1y x =-m ≤()()4,5511,5
x a x f x a x x -⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩{}n a ()*
,N n a f n n =∈{}n a
“
”的（ ）条件．A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分又不必要
【答案】B 【解析】
【分析】由为递增数列，注意n 是正整数的条件，可得不等式组，解不等式组
即可判断.
【详解】由“为递增数列”可以得到，解得，
所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件，
故选：B ．
8. 已知
，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】
分析】构造函数，利用函数单调性可得且；再构造函数，求导利用单调性可得.
【详解】，构造函数，所以
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，，结合函数单调性可得且；【7
53
a ≤<{}n a ()641505511a a a a -⎧>⎪
->⎨⎪>-⋅-⎩
{}n a ()641505511a a a a -⎧>⎪
->⎨⎪>-⋅-⎩
25a <<{}n a 7
53
a ≤<26ln27ln16,8
x y z e -===z x y <<x z y <<z y x
<<y z x
<<()ln x
f x x
=
z x <z y <()()2e ,0e F x f x f x x ⎛⎫
=-<< ⎪⎝⎭
x y <222ln
6ln27ln3ln16ln4ln23,,38423
e x y z e e -=
======()ln x f x x =()2
1ln x
f x x -'=0e x <<()0f x '>()ln x
f x x =e x >()0f x '<()ln x
f x x =2
e 2e 3
<<e<3<4()ln x f x x =
z x <z y <
再构造函数，
求导可得，所以在上单调递增，因为，所以，
即，所以，也即，
综上：.故选：A ．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列，其前项和记为，则下列说法不正确的是（ ）A. 若是等差数列，且，则B. 若是等差数列，且，则C. 若是等比数列，且为常数，则D. 若是等比数列，则也是等比数列【答案】ACD 【解析】
【分析】利用举反例来说明选项是错误，如A 选项中，当等差数列是常数列时， 就不能推出；又如D 选项中，当时，，这就不是等比数列；而选项中，由公比不为1的等比数列前和公式得，所以可判断应该等于－2，最后B 选项是可以用等差数列求和公式证明成立的.
【详解】A 选项中，当等差数列是常数列时，由，就不能得到，所以A 是错误的；
的()()2e ,0e F x f x f x x ⎛⎫
=-<< ⎪⎝⎭
()()()()
2
22222222222222e 1ln 1ln e e e 1ln e 1ln 110e e e x x x x nx x F x f x f x x x x x x x ---⎛⎫---=+=+⋅=+=> ⎪⎛⎫⎝⎭
⎪⎝⎭
'''()F x ()0,x e ∈2
e 0e 3<<()2e e 03F F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭()2e 303
f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
2
2e ln ln33e 33
<
x y <z x y <<{}n a n n S {}n a p q s t a a a a +=+p q s t +=+{}n a ()2
,,n S An Bn C A B C R =++∈0
C ={}n a 1
2
(n n S C C +=+)1
C =-{}n a 232,,,k k k k k S S S S S -- {}n a 1234a a a a +=+p q s t +=+1q =-20S =24264,,,S S S S S -- C n 1111n n a a
S q q q
=---C {}n a 1234a a a a +=+p q s t +=+
B 选项中，当等差数列是常数列时，，此时且，当差数列公差不为0时，，此时，所以B 是正确的；选项中，由公比不为1的等比数列前和公式得，所以常数应该等于－2，所以是错误的；
D 选项中，当时，，则就不是等比数列，所以D 是错误的；故选：ACD ．
10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 各项系数之和为1
B. 存在无理项
C. 常数项为400
D. 的系数为－80
【答案】AD 【解析】
【分析】由二项展开式的通项公式，令即可判断A ；因为，故所有项中没有无理数，即可判断B ；令或或，即可判断C ；令或即可判断D ．【详解】由题意可知，
多项式展开式的通项为
，即，对于A ，令，则，即为各项系数之和，故A 正确；
对于B ，因为展开式的通项公式中，所以不存在无理项，故B 错误；对于C ，常数项中的次数为0，则或或，则
，故C 错误；
对于D ，的系数即的系数之和，表示为，故D 正确.
故选：AD ．
{}n a 1n S na =0C =0A ={}n a 2111(1)()222
n d d
S na n n d n a n =+
-=+-0C =C n (
)1111111n
n n a q a a
S q q
q q
-=
=
----C C 1q =-20S =24264,,,S S S S S -- 5
121x x ⎡⎤
⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦3x 1x =,k r ∈N 0k r ==1k r ==2k r ==30k r ==，41k r ==，5
121x x ⎡⎤
⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()5,552C 2C 1
,,5r
k
k r
k r k r
k a x k r k r x ---⎛⎫=⋅-⋅∈+≤ ⎪⎝⎭
N ,55(1)2
C C r k r
k r k r k k r a x
+--⋅⋅=-⋅⋅1x =5
1211x x ⎡⎤
⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦,k r ∈N x 0k r ==1k r ==2k r ==()0,01,12,2180480401a a a ++=+-+=3x 3,04,1a a +()3344
55C 2C 228016080⋅+⋅⋅-=-=-
11. 已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的极值点为
B. 曲线与有且仅有两条公切线，并且斜率之积等于1
C. 若时，则
D. 若时，恒成立，则【答案】BCD 【解析】
【分析】利用极值点的定义判断A ；设出切点坐标，求出切线方程结合已知构造函数，借助函数零点个数判断B ；令，构造函数并求出最小值判断C ；利用不等式构造函数转化为恒成立求解判断D.
【详解】对于A ，函数的极值点是使函数取得极大值、极小值的x 值， A 错误；
对于B ，令公切线与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，而，则曲线在处的切线：，
曲线在处的切线：，则，
消去得，令函数，求导得，显然函数在上单调递增，而，则存在，使得，即有当时，，递减；当时，，递增，
，而，，因此函数有2个零点，即方程有且只有2个不等的正根，于是曲线与有且仅有两条公切线，与曲线相切的切点为
，而曲线与关于直线对称，
()e ,()ln x f x g x x ==e ()e ()y f x g x =-()
1,e ()y f x =()y g x =12R,0x x ∈>12()()f x g x =212x x ->0x >()())2(kx x f g x x k -≥-2
e
k ≥12()()0f x g x t ==>2ln kx x ≥()y f x =00(,e )x x ()y g x =(,ln )s s 1
()e ,()x
f x
g x x
''==
()y f x =0
0(,e )x x 0
00e e ()x x y x x -=-()y g x =(,ln )s s 1ln ()y s x s s -=-00
01
e (1)e ln 1
x x s x s ⎧=
⎪⎨⎪-=-⎩0x ln ln 10s s s s ---=()ln ln 1s s s s s ϕ=---1
()ln s s s
ϕ'=-()s ϕ'(0,)+∞1
(1)10,(2)ln 202
ϕϕ''=-<=->0(1,2)s ∈0()0s ϕ'=00
1ln s s =
00s s <<()0s ϕ'<()s ϕ0s s >()0s ϕ'>()s ϕmin 0000000
1
()()ln ln 10s s s s s s s s ϕϕ==---=--
<22(e )13e 0ϕ--=->22(e )e 30ϕ=->()s ϕln ln 10s s s s ---=1212,()s s s s <()y f x =()y g x =()y g x =1122(,ln ),(,ln )s s s s ()y f x =()y g x =y x =
则两条公切线关于直线对称，与曲线相切的切点为，
两条切线斜率的积为
，B 正确；
对于C ，令，则，令，
显然在上单调递增，而，
则使得，即
，且在上递减，在上递增，从而，C 正确；对于D ，恒成立，即恒成立，
而函数在R 上单调递增，于是对恒成立，即恒成立，令，求导得，当时，，递增；当时，，递减，，因此，D 正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 今天是星期四，那么天后是星期______．【答案】三【解析】
【分析】将拆成，再结合二项展开式的通项公式即可求得答案.【详解】，所以除以7余6，
y x =()y f x =1122(ln ,),(ln ,)s s s s 1221
1221
ln ln 1ln ln s s s s s s s s --⋅=--12()()0f x g x t ==>12ln ,e t x t x ==21()e ln t
h t x x t =-=-1()e t
h t t =-'()0,∞+1()20,(1)e 102
h h ''=
<=->01(,1)2
t ∃∈0()0h t '=0
1
t
e t =
()h t ()00,t ()0,t ∞+0
0000
1
()(e ln 2)t h t h t t t t ≥=-=
+>20,e 2ln kx x x x kx >-≥-2
222ln e ln ln e kx x kx x x x +≥+=+e x
y x =+2ln kx x ≥0x >2ln x
k x
≥
2ln ()x u x x =22(1ln )
()x u x x
-'=0e x <<()0u x '>()u x e x >()0u x '<()u x max 2
()(e)e u x u ==2e
k ≥4948494849
(491)-()
()()()()
49
1
48
49
4904914848
494949494948491C 491C 491C 491C 171k =-=-+-++-+-=- ()k ∈Z 4948
故答案为：三．
13. 一个乒乓球从高的桌面上落下，每次反弹的高度都是原来高度的，则乒乓球至少在第______次着地时，它所经过的总路程会超过．【答案】7【解析】
【分析】计算乒乓球第次着地时经过的总路程，根据等比数列的前项和公式即可求解.【详解】由题意得，第次着地时经过总路程为
，因为，所以在第7次着地时它所经过的总路程会超过．故答案为：7.
14. 曲线在点处的切线方程为______；若当时，恒成立，则的取值范围为______．【答案】 ①. ②. 【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，利用导数证明恒成立，将不等式同构为
，令，依题意只需在上单调递增，则在上恒成立，参变分离，即可求出参数的取值范围.【详解】因为，所以，则，即切线的斜率为，所以切线方程为：．令，则，所以当时，则在上单调递增，
当时，则上单调递减，
所以，即恒成立，当且仅当时取等号，
的在1m 1
2189
m 64
n n (1)n n >122111111211131242212
n n n n S ----
=++++=+=-- 67188190
,6464
S S ==189
m 64
()ln f x x x =+()1,11x ≥()()1
1e 21x a f x a x
-⎡⎤+≤+-⎣⎦a 21y x =-1
a ≥-()ln 11x x x ≤-≥()ln 1ln e e 1x x a x a x -+≤+-()e x g x ax =+()g x ()0,∞+()0
g x '≥()0,∞+()ln f x x x =+()1
1f x x
'=+()12f '=221y x =-()ln 1m x x x =-+()111x m x x x
-=-='01x <<()0m x '>()m x ()0,11x >()0m x '<()m x ()1,∞+()()max 10m x m ==ln 10x x -+≤1x =
所以恒成立，原不等式可化简为，即，
令，，又恒成立，所以在上单调递增．
在上恒成立，即在上恒成立，
所以．
故答案为：；．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 编号为的三个除编号外完全相同的盒子里，分别装有3个红球，2个白球；3个黄球，3个白球；4个黑球，5个白球.（所有球除颜色外完全相同）
（1）现随机从某个盒子里摸2个球，则在选到2号盒子条件下，摸出的两个球都是白球的概率是多少？
（2）现随机从某个盒子里摸1个球，若摸出的球是白色，则这个球来自2号盒子的概率是多少？【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）利用条件概率公式直接求解即可；
（2）先利用全概率公式求解事件“摸出白球”的概率，然后再利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】
设“选到2号盒子”，“摸到的两个球都是白球”，
则.【小问2详解】
设“先选到第号盒子”“摸出白球”，则．，，.，的()ln 11x x x ≤-≥()1
ln e
1x a x x a x -+≤+-()ln 1ln e e 1x x a x a x -+≤+-()e x
g x ax =+()()ln 1g x g x ∴≤-()ln 11x x x ≤-≥()g x ()0,∞+()e 0x g x a ∴='+≥()0,∞+e x a ≥-()0,∞+1a ≥-21y x =-1a ≥-1,2,31
5
45131
A =
B =()2
326C 31
C 155
P B
A ===∣i C =i ()1,2,3,i D ==()()()12313P C P C P C ===
()125P D
C =∣()23162P
D C ==∣()35
9
P D C =∣()()()()()()()()()()
123112233P D P C D P C D P C D P C P D C P C P D C P C P D C ∴=++=++∣∣∣1215364550131
3529270270
++⎛⎫=⋅++== ⎪⎝⎭
，即这个球来自2号盒子的概率为.16. 已知等差数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．【答案】（1）
（2）【解析】
【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n 项和公式构成方程组即可求得的通项公式；
（2）将原式变形为，再利用裂项相消法即可求得答案.
【小问1详解】
设等差数列的首项为，公差为．
因为，所以，
化简得，所以所以数列的通项公式为；【小问2详解】
，
整理得，
所以，()()()22
11
4532131131270
P C D P C D P D ⋅∴===∣45
131{}n a n n S (
)
*
4224,21n n S S a a n ==+∈N {}n a ()1
1
1n
n n n n a b a a ++=-⋅
{}n b n n T 21n a n =-1(1)242
n n T n -=-+
+{}n a ()()111(1)22121n
n b n n ⎡⎤
=-⋅+⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦
{}n a 1a d ()*
4224,21n n S S a a n ==+∈N ()()()111
1464221211a d a d a n d a n d ⎧+=+⎪
⎨⎡⎤+-=+-+⎪⎣⎦⎩1
121
d a d a =⎧⎨
=+⎩1a 1,d 2
=={}n a 21n a n =-()()112(1)(1)2121n n n n n n a n
b a a n n ++=-⋅
=-⋅-+()()111(1)22121n
n b n n ⎡⎤
=-⋅+⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦
12n n
T b b b =++¼+11111111111(1)1(1)2335572121221n n
n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=
-+++-++⋯+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
整理得17. 已知函数（1）讨论函数的单调性；
（2）若过原点可以作两条直线与函数的图象相切，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析
（2）或【解析】
【分析】（1）求导，分类讨论可求函数的单调区间；
（2）设切点为，求得切线方程，
利用切线过原点，可得，进而可得有解，数形结合可求的取值范围．【小问1详解】
当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．当时，或．所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，恒成立，所以在上单调递增．当时，或．
所以在和上单调递增，在上单调递减综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增
1(1)242
n
n T n -=-+
+()()2e
21e x
x f x a ax
=-++()f x ()f x a 102a -<<3
21
2e 2
a >-
()()()()
22e
21e 2e 1e x
x x x f x a a a '=-++=--()f x ()00,x y ()()()0
000
2200e
21e 2e 21e x x x x y a ax a a x x ⎡⎤-++-=-++-⎣⎦()()()0
0021e 2110x x a x --+-=0
002121e 1
x x a x -+=-a ()()()()
22e 21e 2e 1e x x x x f x a a a
'=-++=--0a ≤()()e 0.0ln2;0ln2x
a f x x f x x ''-≥>⇒>-<⇒<-()f x (),ln2∞--()ln2,∞-+1
02
a <<
()0ln2f x x >-'>⇒()ln ;0ln ln2x a f x a x <<⇒<<-'()f x (),ln a ∞-()ln2,∞-+()ln ,ln2a -1
2a =
()0f x '≥()f x R 1
2
a >()0ln f x x a >⇒>'()ln2;0ln2ln x f x x a <-<⇒-<<'()f x (),ln2∞--()ln ,a ∞+()ln2,ln a -0a ≤()f x (),ln2∞--()ln2,∞-+
当
时，在和上单调递增，在上单调递减当时，在上单调递增．当时，在和上单调递增，在上单调递减．
【小问2详解】设切点为，则切线方程为代入原点可得，
整理可得， 由题意可知方程有两个根，并且不是方程的根，当时，方程化简为：，令，或且．
所以在和上单调递增，在和上单调递减．
由图象可知或，解得：或．
18. 已知数列的前项和为，且满足.数列的前项和为，且满足，
.1
02
a <<()f x (),ln a ∞-()ln2,∞-+()ln ,ln2a -1
2a =
()f x R 1
2
a >()f x (),ln2∞--()ln ,a ∞+()ln2,ln a -()00,x y ()()()
000
2200e 21e 2e 21e x x x x y a ax a a x x ⎡⎤-++-=-++-⎣⎦()()0
000220000e
21e 2e 21e x x x x a ax x a x ax -++-=-++-()()()00021e 2110x
x a x --+-=01x =01x ≠0
002121e 1
x x a x -+=
-()()()()()
2
2321e 1,e 11x
x x x x g x x g x x x --=
≠=--'()00g x x >'⇒<()33
;0022
x g x x ><⇒<<'1x ≠()g x (),0∞-3,2∞⎛⎫+
⎪⎝⎭()0,131,2⎛⎫
⎪⎝⎭
0211a <+<3
2
214e a +>102a -<<3
21
2e 2
a >-{}n a n n S 22n n S a =-{}n
b n n T 11b =()
*122311
11111n n n n b b b b b b b +++++=-∈N
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）， （2）【解析】
【分析】（1）根据与的关系，作差结合等比数列定义即可求得，当时，
，作差变形得，利用等差数列定义求通项公式即可；
（2）先利用错位相减法求得，然后把恒成立问题转化为恒成立，
按照奇偶性分类讨论，分离参数利用数列单调性求解参数范围.【小问1详解】
对于数列，当时，，解得；
当时，，与原式作差可得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以；对于数列，当时，
，解得，时，
，与原式作差可得，因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以.【小问2详解】
由（1）可知，
所以，
{}{},n n a b n n n c a b ={}n c n n H ()*1,10n n
n n H n m a +⎡⎤∈---<⎣⎦
N m 2n n a =n b n =13
24
m -
<<n S n a 2n n a =2n ≥1223111111n n n
b b b b b b b -+++=- ()111n n b b n +-=≥()1
12
2n n H n +=-⋅+(2)21n n m ⋅-<-{}n a 1n =1122S a =-12a =2n ≥1122n n S a --=-()12,2n n a a n -=≥{}n a 12a =2n n a ={}n b 1n =122
11
1b b b =-22b =2n ≥122311111
1n n n
b b b b b b b -+++=- ()112n n b b n +-=≥211b b -=()111n n b b n +-=≥{}n b 11b =n b n =2n
n c n =⋅()2
3
1
2223212
2n n n H n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅
所以，
两式作差可得，
所以，
所以恒成立，化简得.
当时，恒成立，所以，
当时，恒成立，所以.综上可得：.19. 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor ）发现的泰勒公式（又称夌克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，
．
其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数．
（1）根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
（2）由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；
（3）已知，证明：．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）证明见解析【解析】
()2
3
4
1
222232122
n
n n H n n +=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()231
122222122n n n n H n n ++-=++++-⋅=-⋅- ()1
122n n H n +=-⋅+()1
112
2(1)20n n n n n m ++⎡⎤-⋅+---⋅<⎣⎦(2)21n n
m ⋅-<-2,n k k +=∈N 112n m <-
3
4
m <21,n k k +=-∈N 1
12n
m -<-12
m >-13
24
m -
<<()f x 0x =(
)*
N
n n ∈()()()()()()()()323000002!
3!
!
n n f f f f x f f x x x x n =+⋅+
⋅+
⋅+⋯+
⋅'''+⋯()f x ''()f x ()f x '()
()()3n f x n ≥()f x n 1
cos 2
()()357211
sin 13!5!7!21!
n n x x x x x x n --=-
+-+⋯+-+⋯-0x >sin x 3
6
x x -*N n ∈()()11sin 1ln 1ln 129k n n k n n k n k n =⎡⎤⎛⎫
⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥∑>-++-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
0.883
sin 6
x x x >-
【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为
，再裂项求和即可证明.【小问1详解】
记，则，
显然，当时，关于的函数单调递减，
，．
【小问2详解】
令，则，恒成立，在递增，在递增，
在递增，，
即.【小问3详解】
由题，，则，则，令，易得在上递增，在上递减，从而，
2468
cos 12!4!6!8!
x x x x x =-+-+- ()3sin (0)6x g x x x x ⎛⎫
=--> ⎪⎝
⎭()()1sin 1111ln 1ln 3221221n k n k n k n k n k ⎛⎫
⎪+⎛⎫⎝⎭>-- ⎪++-++-++⎝⎭
()cos f x x =()()()()()
()34sin ,cos ,sin ,cos f x x f x x f x x f x x
'=-=-=''=2468
cos 12!4!6!8!
x x x x x ∴=-+-+- 12
x =n ()()212
2!
n
h n n ⎛⎫
⎪⎝⎭=111110.875cos 10.8788281624∴-=<<-+<⨯1cos 0.882
∴≈()3sin (0)6x g x x x x ⎛⎫=--> ⎪
⎝⎭()()()2
1cos 1,sin ,1cos 2g x x x g x x x g x x =-+='-+=-'''''()0g x '''≥ ()g x ''∴()0,∞+()()()00,g x g g x ∴''>=∴'''()0,∞+()()()00,g x g g x ='>∴'∴()0,∞+()()3sin 006x g x x x g ⎛⎫
=-->= ⎪⎝
⎭3
sin 6
x x x >-N ,1n k n +∈≤≤101n k <<+3
1111sin 06n k n k n k ⎛⎫⎛⎫
>-> ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
()()()1ln 1,111
x x x x x x x ϕϕ=+-=
-=-'++()x ϕ()1,0-()0,∞+()()00x ϕϕ≤=
即当且仅当时取等号），
，即
，，
，得证．【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为
，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.
()ln 1x x +≤（0x =()()110ln 1ln ln 1n k n k n k n k
⎛
⎫∴<++-+=+< ⎪
++⎝⎭()()
1
0ln 1ln n k n k n k >+>++-+()()()32
1sin 111111ln 1ln 66()n k n k n k n k n k n k n k ⎛⎫ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴>+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪++-++++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()
22412121
1116(22)3(22)13221221n k n k n k n k =-
>-=-
++-+-⋅++11113221221n k n k ⎛⎫=-- ⎪+-++⎝⎭
()()11sin 1111111()ln 1ln 3212323254141n k n k n n k n k n n n n n n =⎡⎤⎛⎫
⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥>--+-+⋅⋅⋅+-+∴+-+++++-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑11132141n n n ⎛⎫=-- ⎪
++⎝⎭()()1232141n
n n n ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⋅+⎝⎭
2123861n n n n ⎛⎫=- ⎪
++⎝⎭
2121386129
n n n n n n ⎛⎫>-=- ⎪
++⎝⎭()()1sin 1111ln 1ln 3221221n k n k n k n k n k ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭>-- ⎪++-++-++⎝⎭。