北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》检测(含答案解析)(2)

一、选择题
1．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所
作的切线长的最小值是（ ） A ．2
B ．4
C ．3
D ．6
2．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且
3
3
OA OB AB +≥
，则k 的取值范围是( )
A ．
)
+∞
B ．
C ．)+∞
D ．
3．已知点(3,2)P ，点M 是圆2
2
1:(1)1C x y -+=上的动点，点N 是
222:(2)1C x y +-=上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）
A ．5-
B ．5+
C ．2
D ．3-4．已知圆1C :22(1)(6)25x y ++-=，圆2C :222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 存在一点
P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于A 、B 两点，且满足||2||PA AB =，则半
径r 的取值范围是（ ） A ．[5，55]
B ．[5，50]
C ．[10，50]
D ．[10，55]
5．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）
A ．210x y --=
B ．210x y +-=
C ．210x y -+=
D ．210x y ++=
6．在直角坐标平面内，过定点P 的直线:10l ax y +-=与过定点Q 的直线
:30m x ay -+=相交于点M ，则22||||MP MQ +的值为( )
A ．
2
B
C ．5
D ．10
7．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 是1CC 的中点，则点1C 到平面EBD 的距离为（ ）
A B C D
8．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面AP α⊥于E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为（ ）
A ．3
B ．23
C ．43
D ．12
9．已知长方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，
1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表
面积为（ ） A ．169π
B ．161π
C ．164π
D ．265π
10．在四棱锥P -ABCD 中，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 中点，平面ABE 交PC 于F ，则
PF
FC
=（ ） A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3
11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ） A ．2
278
S d =
B ．2
272
S d =
C ．292
S d =
D ．2
1114
S d =
12．已知在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，14,42
AB BD ==，若60BAD ︒∠=，则异面直线1BC 与1AD 所成的角为（ ）
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
二、填空题
13．关于x 的方程29(3)4x k x -=-+有两个不同的实数解时，实数k 的取值范围是_______
14．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(1,0),(0,3),B C AB AC -=，则△ABC 的欧拉线方程为____________________
15．已知直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，过点
()1,P a -的直线m 与圆C 交于,A B 两点，且AB 4=，则直线m 的斜率为____.
16．已知圆()2
221x y +-=上一动点A ，定点()6,1B ，x 轴上一点W ，则AW BW
+的最小值等于______.
17．小明在解题中发现函数()3
2
x f x x -=
-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()3
2
x g x x -=-，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____
18．若圆1C ：2
20x y ax by c 与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则
c =______.
19．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，
3BF FA =，且CE EF ⊥.若23PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为
_________.
20．如图①，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E 是BC 的中点，将三角形ABE 沿
AE 翻折，使得平面ABE 和平面AECD 垂直，如图②，连接BD ，则异面直线BD 和AE 所成角的余弦值为______.
21．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是正方形，1AA ⊥平面ABCD ，
且2AB BC ==，13AA =，经过顶点A 作一个平面
α，使得//α平面11CB D ，若α平
面1ABCD l =，α平面112ABB A l =，则异面直线1l 与2l 所成的角的余弦值为
___________.
22．如图①，一个圆锥形容器的高为2a ，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时水面的高恰为a （如图②），则图①中的水面高度为_________．
23．将底面直径为8，高为23的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.
24．已知点O 为圆锥PO 底面的圆心，圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形
PAB ，圆锥PO 的外接球的表面积为______.
三、解答题
25．如图，长方体ABCD A B C D ''''-由，12AB =，10BC =，6AA '=，过A D ''作长方体的截面A D EF ''使它成为正方形.
（1）求三棱柱AA F DD E ''-的外接球的表面积； （2）求 B A D EF V ''-.
26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AB 与1A B 交于点O ，E ，F 是棱1CC 上的两点，且满足11
2
EF CC =
.
（1）证明：//OF 平面ABE ；
（2）当1CE C F =，且12AA AB =，求直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值. 27．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 为平行四边形，
13
3,5,cos ,,5
AD AB BAD BD DD E ==∠==是1CC 的中点．
（Ⅰ）求证：平面DBE ⊥平面1ADD ； （Ⅱ）求点1C 到平面BDE 的距离．
28．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，
226AB PD ==，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.
（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，
由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，
由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线
30x y --=2123
(
)242
----=，
故选B .
考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.
2．B
解析：B 【详解】
设AB 中点为D ，则⊥OD AB ，∵33OA OB AB +≥，∴323
OD AB ≥，∴23AB OD ≤，∵2
21
||44
OD AB +
＝，∴2||1OD ≥，∵直线0x y k +-=（0k >）与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，∴2
2
4,4||1OD OD <∴≥>，
∴2
41>≥，∵0k >，∴k ≤< B.
3．A
解析：A 【分析】
由圆外的点和圆上的点的连线长度的最值关系，转化为求max min
PN PM -.
【详解】
由条件可知||||PN PM -的最大值是max min
PN PM
-，
2max 114PN PC =+==，
1min
111PM
PC =-=
=,
所以||||PN PM -的最大值是()
415-=- 故选：A 【点睛】
结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下： （1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为
AO r -，最大值为AO r +；
（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -.
4．A
解析：A 【分析】
求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径r 的取值范围即可. 【详解】
解：圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=的圆心为()1,6-，半径为5. 圆2C :222(17)(30)x y r -+-=的圆心为()17,30，半径为r .
30=.
如图：因为||2||PA AB =，可得||AB 的最大值为直径，此时220C A =，0r >. 当半径扩大到55时，此时圆2C 上只有一点到1C 的距离为25，而且是最小值，半径再扩大，就不会满足||2||PA AB =. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查两个圆的位置关系，直线与圆的综合应用，属于中档题.
5．D
解析：D 【分析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAM
PM AB S
PA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以
MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．
【详解】
圆的方程可化为()()2
2
114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为
2
2
21125221
d ⨯++=
=>+，所以直线 l 与圆相离．
依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以
1
4442
PAM
PM AB S
PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而 2
4PA MP =
-
当直线MP l ⊥时，min 5MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．
∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220
y x x y ⎧
=+
⎪⎨⎪++=⎩解得， 10x y =-⎧⎨
=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D. 【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
6．D
解析：D 【分析】
由已知得(0,1)P ，(3,0)Q -，过定点P 的直线10ax y +-=与过定点Q 的直线
30x ay -+=垂直，M 位于以PQ 为直径的圆上，由此能求出22||||MP MQ +的值即可．
【详解】
在平面内，过定点P 的直线10ax y +-=与过定点Q 的直线30x ay -+=相交于点
M ，
(0,1)P ∴，(3,0)Q -，
过定点P 的直线10ax y +-=与过定点Q 的直线30x ay -+=垂直，
M ∴位于以PQ 为直径的圆上，
||9110PQ =+=， 22||||10MP MQ ∴+=，
故选：D ． 【点睛】
本题考查圆的轨迹方程求解，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
7．B
解析：B 【分析】
利用等体积法11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d . 【详解】
如图，利用等体积法，11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，
正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，故22,5BD BE ED ===
2
2
15232h ED BD ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
11
223622
EBD
S
BD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离，即D 到平面11C CBB 的距离，为CD =2，
11
1212
EB
C S
=
⨯⨯=， 由11C EBD D C EB V V --=得，116123
3d =⨯⨯，故636
d ==. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：
空间中求点到平面的距离的常见方法： （1）定义法：直接作垂线，求垂线段长；
（2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离； （3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量a ，平面法向量n ，则a n d n
⋅=
.
8．C
解析：C 【分析】
因为P BCE P ABC E ABC V V V ---=-则当E ABC V -取最大值时，三棱锥P BCE -体积有最小值，建立坐标系求得当点E 的高为3时，问题得解. 【详解】
以点O 为原点，,,OA OD OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设点(),0,E x z ，依题意得()6,0,0A ，则()6,0,AE x z =- ，(),0,OE x z = 因为过BC 作截面AP α⊥于E ，所以AE OE ⊥则0AE OE ⋅=， 故()2
600x x z -++= 所以()6z x x =
-3x =时max 3z =
又()143
P BCE P ABC E ABC ABC
V V V S z ---=-=
-
因为max 3z =所以三棱锥P BCE -体积的最小值
()1
11
43436433
32
P BCE ABC V S
-=-=
⋅⋅=故选：C 【点睛】
关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求E ABC V -的最大值，通过建系求得三棱锥
E ABC -的高的最大值即可.
9．C
解析：C 【分析】
把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】 如下图所示：
把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，
根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长， 所以球O 的半径R 满足2222688164R =++= 所以球O 的表面积24164S R ππ==.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.
10．C
解析：C 【分析】
首先通过延长直线,DC AB ，交于点G ，平面BAE 变为GAE ，连结PG ，EG 交于点
F ，再根据三角形中线的性质，求
PF
FC
的值. 【详解】
延长,DC AB ，交于点G ，连结PG ，EG 交PC 于点F ，
//AD BC ，且2AD BC =，可得点,B C 分别是,AG DG 的中点，
又
点E 是PD 的中点，PC ∴和GE 是△PGD 的中线，
∴点F 是重心，得
2PF
FC
=
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是找到PC 与平面BAE 的交点，即将平面BAE 转化为平面
GAE 是关键.
11．A
解析：A 【分析】
根据已知条件结合球的体积公式
3
43
2d π
⎛⎫ ⎪⎝⎭
求解出π的值，然后根据球的表面积公式2
42d π⎛⎫
⎪⎝⎭求解出S 的表示，即可得到结果. 【详解】
因为3169
V d =，所以3
3
941632d d V π⎛⎫==
⎪⎝⎭
，所以278π=， 所以2
222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭
，
故选：A. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.
12．A
解析：A 【分析】
把1AD 平移到1BC ，把异面直线所成的角转化为相交直线的夹角． 【详解】 连接1,BD BC ，
∵四边形ABCD 为菱形， 60,4BAD AB ︒∠==，4BD ∴=.又1BDD 为直角三角形，
22211BD BD DD ∴=+，得14DD =，
∴四边形11BCC B 为正方形.连接1BC 交1BC 于点O 11//BC AD ，BOC ∴∠（或其补角)
为异面直线1BC 与1AD 所成的角，
由于11BCC B 为正方形， 90BOC ︒∴∠=，故异面直线1BC 与1AD 所成的角为90°
.
故选：A. 【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
二、填空题
13．【分析】方程左边是圆心为原点半径为3的上半圆右边为恒过的直线当直线与半圆相切时求出的值直线过点时求得的值利用图象即可确定出实数的范围【详解】设图象如图所示当直线与半圆相切时圆心到直线的距离即解得：当
解析：72,243⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
方程左边是圆心为原点，半径为3的上半圆，右边为恒过(3,4)的直线，当直线AB 与半圆相切时，求出k 的值，直线过点(3,0)-时，求得k 的值，利用图象即可确定出实数k 的范围． 【详解】
设1y =，2(3)4y k x =-+，图象如图所示， 当直线与半圆相切时，圆心O 到直线AB 的距离d r =
3=，
解得：724
k =
， 当直线过点(3,0)-时，可求得402
3(3)3
k -==--，
则利用图象得：实数k 的范围为72(
,]243
，
故答案为：72(,]243
. 【点睛】
此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．
14．【分析】因为所以外心重心垂心都位于线段的垂直平分线上由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段的垂直平分线的斜率由中点坐标公式得出的中点坐标最后由点斜式写出方程【详解】因为所以外心重心垂心都位 解析：340x y +-=
【分析】
因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段BC 的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式得出BC 的中点坐标，最后由点斜式写出方程. 【详解】
因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上 设线段BC 的垂直平分线的斜率为k ，则1BC k k ⨯=-
3030(1)BC k -=
=--，1
3
k ∴=-
又因为BC 的中点坐标为13,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
所以△ABC 的欧拉线方程为311
()232
y x -=-+，即340x y +-= 故答案为：340x y +-= 【点睛】
本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题.
15．1【分析】由直线是圆的一条对称轴得到直线过圆心求得得到再根据得到点
的直线必过圆心利用斜率公式即可求解【详解】由题意圆的圆心坐标半径为因为直线是圆的一条对称轴则直线过圆心即解得此时点又由直线与圆交于两
解析：1 【分析】
由直线l 是圆C 的一条对称轴，得到直线l 过圆心，求得2a =-，得到(1,2)P --，再根据
4AB =，得到点P 的直线必过圆心(2,1)C ，利用斜率公式，即可求解.
【详解】
由题意，圆22:4210C x y x y +--+=的圆心坐标(2,1)C ，半径为2r
，
因为直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴， 则直线l 过圆心(2,1)C ，即210a +⨯=，解得2a =-，此时点(1,2)P --， 又由直线m 与圆C 交于,A B 两点，且4AB =，可得过点P 的直线必过圆心(2,1)C ， 所以直线m 的斜率为1(2)
12(1)
k --==--.
故答案为：1. 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
16．【分析】根据题意画出示意图进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆以及点B （61）的图象如图作B 关于x 轴的对称点连接圆心与则与圆的交点A 即为的最小值为点（02）到点（6-1）的距离减圆的半径即故答案 解析：351-
【分析】
根据题意画出示意图，进而数形结合求解； 【详解】
根据题意画出圆()2
2
21x y +-=，以及点B （6，1）的图象如图，
作B 关于x 轴的对称点B '，连接圆心与B '，则与圆的交点A ，AB 即为AW BW +的最小值，AB 为点（0，2）到点B '（6，-1）的距离减圆的半径，
即11AB =
=，
故答案为：1． 【点睛】
考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B 点的对称点是解决本题的突破点；
17．【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得即解得或
解析：2] 【分析】
根据斜率的几何意义，(
)3
2
g x x =-
表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】
(
)g x =
为点(x 与点(2,3)连线的斜率，
点([0,1]x x ∈
在函数[0,1]y x ∈图像上，
(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31
221
AB k -=
=-， 最小值为过A
点与[0,1]y x =∈图象相切的切线斜率，
设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+
，代入[0,1]y x =
∈得，
320,0,14(32)0kx k k k k -=≠∆=--=，
即281210k k -+=
，解得k =
k =
当k =
3[0,1]
=
=，
当34
k =
3[0,1]
=
=+ 不合题意，舍去，
()g x
值域为3[2]4
+.
故答案为
:2].
【点睛】
本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
18．【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为：【点睛 解析：165
-
【分析】
两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上，圆1C 的半径也为2，即可求出参数,,a b c 的值. 【详解】 解：因为圆1C ：2
2
0x
y
ax by c ，即2
2
22422
4
a
b a b c
x
y ， 圆心111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径224a b c r +-=
由题意，得111,2
2C a b ⎛⎫--
⎪⎝⎭与()20,0C 关于直线21y x =-对称， 则1
1
2,1
2211
2221,
2
2b a b
a ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪--⎪⎪=⨯-⎩解得85=-a ，45
b =，圆1C 的半径2242a b
c r +-==，
解得165
c =-
. 故答案为：165
- 【点睛】
本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.
19．【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合
正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体积【详解】∵∴∴又∴取中点连接如图由于是正三棱锥∴而平面∴平面又平 解析：36π
【分析】
证明PB 与,CE AC 垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积． 【详解】
∵3PE EA =，3BF FA =，∴AE AF
AP AB
=，∴//EF PB ，又CE EF ⊥，∴PB CE ⊥，
取AC 中点D ，连接,PD BD ，如图，由于P ABC -是正三棱锥，∴,PD AC BD AC ⊥⊥，
而PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ， ∴AC PB ⊥，∵AC
CE C =，,AC CE ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，
而,PA PC ⊂平面PAC ，∴,PB PA PB PC ⊥⊥，同理正三棱锥中，PA PC ⊥． 设三棱锥P ABC -外接球半径为R ，则22222(2)3(23)R PA PB PC =++=⨯，
3R =，
球的体积为34
3363
V ππ=
⨯=． 故答案为：36π．
【点睛】
结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径．
20．【分析】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角可结合原矩形求出然后由直角三角形得出再用余弦定理求得结论【详解】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角连接∵所以又平面平面平面平面平
解析：
66
【分析】
取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，可结合原矩形求出,OD OF ，然后由直角三角形得出,BD BF ，再用余弦定理求得结论． 【详解】
取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，连接,OB OF ，OD ， ∵AB BE =，所以BO AE ⊥， 又平面ABE ⊥平面ECDA ，平面ABE 平面ECDA AE =，BO ⊂平面ABE ，
∴BO ⊥平面ECDA ，
而,OD OF ⊂平面ECDA ，所以BO OF ⊥，BO OD ⊥， 又∵90ABE ∠=︒，2AB BE ==，所以2BO =，2AO EO ==
，22AE =，
//DF AE ,//AD EF ，则ADFE 是平行四边形，4,22EF AD DF AE ====，
在原矩形中45BAE BEA ∠=∠=︒，则45,135DAE CEA ∠=︒∠=︒，
2222
2cos 4542242102
OD AD AO AD AO =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯
=， 2222
2cos135********
OF EF EO EF EO =+-⋅︒=++⨯⨯⨯
=， 22212BD BO OD =+=，22228BF BO OF =+=，
在BDF 中，222
cos 2BD DF BF BDF BD DF +-∠=⋅128286621222
+-==-
⨯⨯， 所以异面直线BD 和AE 所成角的余弦为
6
6
． 故答案为：
66
.
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
21．【分析】先利用线面平行的性质定理和平面扩展得到异面直线所成角即BD 与所成的角再结合长方体棱长的条件在中求其余弦值即可【详解】如图设平面平面平面平面因为平面所以故异面直线与所成的角即与所成的角延长AD 解析：
26
13
【分析】
先利用线面平行的性质定理和平面扩展，得到异面直线所成角即BD 与1A B 所成的角
1A BD ∠，再结合长方体棱长的条件在1A BD 中求其余弦值即可.
【详解】
如图，设平面11CB D ⋂平面1ABCD l '=，平面11CB D ⋂平面112ABB A l '=，
因为//α平面11CB D ，所以1122//,//l l l l ''，故异面直线1l 与2l 所成的角，即1l '
与2l '所成的角.
延长AD 至E ，使AD DE =，连接CE ，则易见BD 与CE 平行且相等，又BD 与11B D 平行
且相等，故BD 与11B D 平行且相等，即四边形11D B CE 是平行四边形，CE 就是交线1l '
.
同理可知1B F 就是交线2l '.
又知BD //CE ，11//B F A B ，故1l '
与2l '所成的角，即BD 与1A B 所成的角1A BD ∠，
依题意可知，2AB BC ==，13AA =，故1A BD
中，11A B A D BD ===
故1
11
2cos BD
A BD A
B ∠===
. 【点睛】 方法点睛：
求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
22．【分析】由第二个图可知水的体积占整个圆锥体积的在第一个图中水的体积占圆锥的上面小圆锥体积占大圆锥体积的根据小圆锥体积与大圆锥体积比是其高的三次方的比即可解得a 的值【详解】在图②中水形成的小圆锥和大圆
解析：(2a
【分析】
由第二个图可知，水的体积占整个圆锥体积的18，在第一个图中，水的体积占圆锥的18
，上面小圆锥体积占大圆锥体积的7
8
，根据小圆锥体积与大圆锥体积比是其高的三次方的比，即可解得a 的值. 【详解】
在图②中，水形成的小“圆锥”和大圆锥形容器高的比为12，底面半径比为1
2
，故其底面积的比为1
4，所以体积比为18，则在图①中，无水部分形成的小“圆锥”和大圆锥形容器的体积比为
78，设水面高度为h ，则小“圆锥”和大圆锥形容器的高的比为22a h a
-，体积比为327
(
=28
a h a -），解的h
=(2a .
故答案为: 3(27)a - 【点睛】
本题考查了圆锥的体积的计算，属于中档题目，解题中的关键是要准确利用圆锥体积公式得到大小圆锥体积比与大小圆锥的高比的关系.
23．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取 解析：43π
【分析】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值. 【详解】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 23423
h r -=，解得3
232h =； 所以()23222334S rh r r r πππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭
圆柱侧； 当2r
时，S 圆柱侧取得最大值为43π
故答案为：43π. 【点睛】
本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.
24．【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故
解析：
163
π
【分析】
由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面，即过球心的截面且球心在PO 上，由等边三角形性质有Rt AO O '△，即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ，进而求外接球的表面积. 【详解】
设外接球球心为O '，连接AO '，设外接球的半径为R ，依题意可得1AO =，3PO =，
在Rt AO O '△中，有222O A AO O O ''=+，即)
2
2213R R =+，解得3
R =
， 故外接球的表面积为2
4164433
S R πππ==⋅=. 故答案为：163
π
. 【点睛】
本题考查了求圆锥体的外接球面积，由截面是等边三角形，结合等边三角形的性质求球半径，进而求外接球面积，属于基础题.
三、解答题
25．（1）200π（2）80 【分析】
（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；
（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥A BEF V '-即可. 【详解】
（1）因为截面A D EF ''为正方形， 所以10A F BC A D '===''，
在Rt A AF '△中，222AA AF A F ''+=， 即222610AF +=，解得8AF =，
在直三棱柱AA F DD E ''-中，底面Rt A AF '△的外接圆半径为11
10522
A F '=⨯=， 直三棱柱AA F DD E ''-的外接球球心到面A AF '的距离为1
1052
⨯=， 设三棱柱的外接球半径为R ， 则225552R =+=，
24200S R ππ∴==
（2）因为22B A EF A B B A D EF EF V V V ''-'--'==， 在长方体中AA '⊥平面BEF ， 所以三棱锥A BEF '-的高为6AA '=，
所以B A D EF V ''-1112263
32BEF S A A EF BF ⎛⎫'=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
△
11
210468032=⨯⨯⨯⨯⨯=.
【点睛】
关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.
26．（1）证明见解析；（2）32
. 【分析】
（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，可证明四边形OGEF 为平行四边形，则 OF EG ∥，由线面平行的判定定理即可求证；
（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面
ABC 所成角，EC ⊥平面ABC ，则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角，在EGC 中即可求EGC ∠的余弦值.
【详解】
（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，
在直三棱柱111ABC A B C -中，1OG BB ∥，则OG EF ∥，
又11
2
EF CC =
，则OG EF =， 所以四边形OGEF 为平行四边形，则 OF EG ∥， 又EG ⊂平面ABE ，OF ⊄平面ABE ， 故//OF 平面ABE .
（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面
ABC 所成角，
连接CG ，由直三棱柱111ABC A B C -可得EC ⊥平面ABC ， 则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角， 设2AB =，则114AA CC ==，
又1CE C F =，则1CE =，CG ，得2EG =，
所以，直线EG 与平面ABC 所成角的余弦值为2
，
故直线OF 与平面ABC 【点睛】
方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法
（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明；
（2）判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明； （3）利用面面平行的性质定理：
直线在一平面内，由两平面平行，推得线面平行；
直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，这这条直线与另一个平行.
27．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）13
． 【分析】
（Ⅰ）由余弦定理求出BD ，可得AD BD ⊥，再由1DD BD ⊥可得BD ⊥平面1ADD ，即得证；
（Ⅱ）在平面1BCC 内作1C F BE ⊥，可得1C F ⊥平面BDE ，则1C F 的长就是点1C 到平面BDE 的距离，求出即可. 【详解】
（Ⅰ）由题意可得2222cos 16BD AD AB AB AD BAD =+-⨯∠=， 所以222AD BD AB +=，因此AD BD ⊥，
在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD BD ⊥， 又因为1AD
DD D =，所以BD ⊥平面1ADD ，
因为BD ⊂平面DBE ，所以平面DBE ⊥平面1ADD ． （Ⅱ）如图，在平面1BCC 内作1C F BE ⊥，垂足为F ．。