凯里一中2015届高三模拟考试理科数学试卷及其答案

合集下载

2015届高三第二次模拟考试理科数学试题(Word版含答案)1

2015年高考模拟试题(一)理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，若21mii-+为纯虚数，则实数m 的值为 A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则A ．[]1,2B ．[)1,2C ．[]0,3D ．(]0,33．若0a b <<，则下列结论中正确的是 A ．22a b <B ．2ab b <C ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2b aa b+> 4．已知()()F x f x x =-是偶函数，且()()212f f =-=，则 A ．4B ．2C ．3-D ．4-5．执行右面的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为 A ．（11，12）B ．（12，13）C ．（13，14）D ．（13，12）6．已知()xf x e x =-，命题()(),0p x R f x ∀∈>：，则 A ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< B ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤ C ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< D ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤7．若()()sin 2f x x θ=+，则“()f x 的图象关于3x π=对称”是“6πθ=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知函数()()()()()()22,log ,ln xf x xg x x xh x x x f a g b h c =+=+=+==，若0=，则 A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<9．设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形区域（含边界），若点(),x y D ∈，则211y x x -++的取值范围是A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“~λ特征函数”.下列结论中正确的个数为 ①()0f x =是常数函数中唯一的“~λ特征函数”；②()21f x x =+不是“~λ特征函数”； ③“13~λ特征函数”至少有一个零点；④()x f x e =是一个“~λ特征函数”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上. 11．已知向量与满足()2,a b a b b ==-⊥，则a 与b 的夹角为_________.12．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有______种.13．直线1ax =与圆221x y +=相交于B A ,两点（其中a ，b 是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点（1，0）之间距离的最小值为_______. 14．已知()()0sin n f n nx dx π=⎰，若对于()()(),1231R f f f n x x ∀∈++⋅⋅⋅+<++-恒成立，则正整数n的最大值为___________.15．已知点D C B A ,,,均在球O的球面上，1,AB BC AC ==，若三棱锥D ABC -体积的最大值是14，则球O 的表面积为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为(),,1,sin 2sin a b c f C B A ==，若，且ABC ∆的面积为求c 的值.17．（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[]0,100，样本数据分组为[)[)0,20,20,40，[)[)[]40,60,60,80,80,100.（1）求直方图中x 的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率） 18．（本小题满分12分）一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD 为一个矩形，其中4,6==AD AB ，顶部线段EF //平面ABCD ，棱FC FB ED EA ====二面角F BC A --.设N M ,分别是BC AD ,的中点.（1）证明：平面EFNM ⊥平面ABCD ；（2）求直线BF 与平面EFCD 所成角的正弦值. 19．（本小题满分12分）已知{}n a 满足()()121n n na n a n N *+=+∈，且13,1,4a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足()sin n n n b a S π=，为数列{}n b 的前n 项和，求证：对任意,2n n N S π*∈<+. 20．（本小题满分13分）已知函数()()2ln 1f x ax x =++.（1）当14a =-时，求函数()f x 的极值；（2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x2x =的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线2x =与椭圆交于Q P ,两点，P 点位于第一象限，B A ,是椭圆上位于直线2x =两侧的动点. （i ）若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值；（ii ）当点B A ,运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.。

2015届高三考前模拟(理科)数学试卷附答案

2015届高三考前模拟（理科）数学试卷考试时间：150分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知全集,U R =集合{}{}3|log (1),|2x A x y x B y y ==-==,则()U A B =ð ( )A ．0+∞（，）B ．(0,1]C ．(1,)+∞D ．(1,2) 2．复数1312iz i-=+，则（） A. z ＝2 B. z 的实部为1 C. z 的虚部为i - D. z 的共轭复数为1i -+3．已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)＝（）A.0.22B.0.28C.0.36D.0.644．执行右面的程序框图，若输出的k ＝2，则输入x 的取值范围是（） A.(21，41) B.[21，41] C.(21，41] D.[21，41)5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝ 52，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S na n＝（） A.14n -B. 41n -C. 12n -D. 21n-6．在直角三角形ABC 中，2C π∠=，2,1,AB AC ==若32AD AB =uuu r uu u r ，则CD CB ⋅=uu u r uu r( )A.92B.5C.6D.97．△ABC 的顶点A 在24y x =上，B ，C 两点在直线250x y -+=上，若AB AC -uu u r uuu r＝2 5 ，则△ABC 面积的最小值为( ) A.55B.1C.2D.5 8.一个几何体的侧视图是边长为2的正三角形，正视图与俯视图的尺寸如图所示，则此几何体的表面积为（） A.12233π++B. 123π+开始是x ≤81？否输入x x ＝2x －1结束k ＝0输出k k ＝k ＋1C. 3233π+D. 233π+ 9．函数1)1(cos 2)(f 2---=x xx x ，其图像的对称中心是（）A ．（－1，1） B.（1，－1） C.（1，1） D.（0，－1）10．设三位数n abc =（即10010n a b c =++，其中,,a b c N *∈）,若以,,a b c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（）A ．45个 B.81个 C.165个 D.216个 11.已知函数()(,xxaf x e a R e e =+∈是自然对数的底数)在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是（）A. [0,1]B. [1,0]-C. [1,1]-D. 22(,][,)e e -∞-⋃+∞12．关于曲线C ：11221x y +=，给出下列四个命题：①曲线C 有且仅有一条对称轴； ②曲线C 的长度l 满足l ＞2；③曲线C 上的点到原点距离的最小值为24 ；④曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是 16上述命题中，真命题的个数是（） A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．二项式2101)x x-（的展开式中的常数项是． 14．四棱锥P -ABCD 的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球的表面积为_ __．15．点P 在△ABC 内部（包含边界），3,4,5AC AB BC ===，点P 到三边的距离分别是123,,d d d ，则123d d d ++的取值范围是____ ____． 16．在数列{}n a 中，已知11a =，211n n a a +=+，10096a a =，则1112a a +=三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ≥b ，sin A ＋3cos A ＝2sin B ．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求a ＋bc的最大值．18.（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：甲乙 9 7 0 7 8 6 3 3 1 1 0 5 7 9 8 3 2 1 3（Ⅰ）求这两名队员在比赛中得分的均值和方差；（Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过．．15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过．．．15分次数X 的分布列和期望．19.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面AB 1B 1A 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60︒， AB ⊥B 1C ．（Ⅰ）求证：平面AB 1B 1A ⊥BB 1C 1C ；（Ⅱ）求二面角B -AC -A 1的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值；（Ⅲ）∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．21.（本小题满分12分）设定义在(0,)+∞上的函数ln (),(),x n n x e f x g x x x==其中n N *∈(Ⅰ)求函数()f x 的最大值及函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若存在直线:()l y c c R =∈,使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l的两侧，求n 的最大值.（参考数据：ln 4 1.386,ln5 1.609≈≈）请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2．（Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋ π4)＝2距离的最大值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）设函数1()=||||(0)f x x x a a a-++>.证明：()2f x ≥；（Ⅱ）若实数z y x ,,满足22243x y z ++=,求证:23x y z ++≤理科数学参考答案一、选择题：BDBCD ABBBC CA 二、填空题：（13）45 （14）100π （15）[ 12 5 ，4] （16）35262±三、解答题：（17）解：（Ⅰ）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π3)＝sin B ． …3分因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π3． (6)分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a ＋bc ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ π3)] ＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π6)． ………………………10分当A ＝ π3时，a ＋b c取最大值2． ……………………………12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x-乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．…………4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝3 8，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316，依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k )＝C k 2(316)k (1316)2－k，k ＝0，1，2，…………7分 X 的分布列为X 0 1 2P 169256 78256 9256…………10分X 的均值E (X )＝2×316＝ 38． …………12分（19）解：（Ⅰ）由侧面AB 1B 1A 为正方形，知AB ⊥BB 1．又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面AB 1B 1A ，所以平面AB 1B 1A ⊥BB 1C 1C ．…………………………4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系O -xyz ．其中O 是BB 1的中点，Ox ∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴．设AB ＝2，则A (2，－1，0)，B (0，－1，0)，C (0，0，3)，A 1(2，1，0)． AB →＝(－2，0，0)，AC →＝(－2，1，3)，AA 1→＝(0，2，0)． …6分设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面ABC 的法向量，则n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＝0，－2x 1＋y 1＋3z 1＝0．取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1)．…8分设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0，即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0．取x 2＝3，得n 2＝(3，0，2)． …………………10分所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77．因此二面角B -AC -A 1的余弦值为－77． ……………………………12分（20）解：（Ⅰ）由题设，得4a 2＋1b2＝1， ①且a 2－b 2a ＝22， ②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1． …………………………………………………3分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2．………………………………………………………6分因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………………9分B CB 1B AC 1A 1Axz y O（Ⅲ）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………12分21.（22）解：（Ⅰ）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4． ……………………………3分消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． ……………………………5分（Ⅱ）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2． ……………………………7分C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322． ……………………………10分（23）证明:(Ⅰ)由0a >，有111()=|||||)()|2f x x x a x x a a a a a-++≥--+=+≥( 所以()2f x ≥ ………………………5分 (Ⅱ)22243x y z ++=,由柯西不等式得:2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z +++≥++(当且仅当2111x y z ==即6355x z y ===，时取“=”号)整理得:9)2(2≤++z y x ,即32≤++z y x ……………………10分。

2015届高考模拟试卷数学试题(理科)附答案

2015届高考模拟试卷数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z = A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 22．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋ 3 C.32π＋ 3 D.52π＋ 33.在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρθ=B.ρθ=C.sin ρθ=D.cos ρθ=4．图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…， A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知“命题p ：∃x ∈R ，使得ax 2＋2x ＋1<0成立”为真命题，则实数a 满足( ) A ．[0,1) B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]6．若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a ＞0且a ≠1) 在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )7.等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和记为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，则1{}na 的前n 项之和'S 是（）A.1SB.1n q SC.n q SD. 1n S q -8. 若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值是（）A ．9. 若二项式*(2)()n x n N -∈的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a ，所有项的二项式系数之和是b ，则b aa b+的最小值是（） A.2 B.136 C.73 D.15610.有7张卡片分别写有数字1，1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个A.78B. 102C.114D.120第Ⅱ卷(非选择题共100分)请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

2015年高三数学理科模拟试卷及参考答案

2015年高三数学理科模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.22B. 2C. 3D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是( ) A. (1)(2)(2)f f f -<<- B. (2)(1)(2)f f f -<-<C. (2)(2)(1)f f f <-<-D. (1)(2)(2)f f f -<-<4．设等差数列{n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<5．已知实数x ∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为( ) A.14B.23C.28D.386．某几何体的立体图如图所示，该几何体的三视图不可能是（）A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A. 14B.14或23C.23D.23或348．设双曲线22143x y-=的左,右焦点分别为12,F F,过1F的直线l交双曲线左支于,A B两点,则22BF AF+的最小值为( )A.192B. 11C. 12D. 169．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r=-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r=+≤，若BA⊂，则实数r可以取的一个值是( )A. 21+ B. 3 C. 2 D.212+10．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x xf xf x x⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x=-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 711．设等差数列{}na满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin1sin()a a a a a aa a-+-=+，公差(1,0)d∈-.若当且仅当9n=时，数列{}n a的前n项和n S取得最大值，则首项1a的取值范围是( )A.74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设，则λ1+λ2等于（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是(用数字回答)．14．若整数．．,x y满足不等式组70y xx yx-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y+的最大值为15．已知正三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．设P（x，y）为函数y=x2﹣1图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为．三．解答题。

2015高考数学模拟试卷及答案解析-理科

2015高考数学模拟试卷及答案解析（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．设全集U=R ，A={x|2x （x-2）<1}，B={x|y=1n （l －x ）}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{x |x≥1} B ．{x |x≤1} C ．{x|0<x≤1} D ．{x |1≤x<2}3．等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则log 3 a 1+log 3a 2+…+log 3 a l0= A ．12 B ．10C ．8D ．2+log 3 54．若x=6π是f （x ）=3sin x ω+cos x ω的图象的一条对称轴，则ω可以是 A ．4 B ．8 C ．2 D ．15．己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．233π+ B ．2323π+ C ．232π+ D ．23π+6．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有’5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）种 A ．12 B ．18 C ．24 D ．487．已知M=3(,)|3,{(,)|20}2y x y N x y ax y a x -⎧⎫==++=⎨⎬-⎩⎭且M N =∅I ，则a= A ．-6或-2 B ．-6 C ．2或-6 D ．-28．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P= P 0e －kt ，（k ，P 0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（）时间过滤才可以排放．A ．12小时 B ．59小时 c ．5小时 D ．10小时9．己知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为 A ．2+1B ．2C ．2D ．2－110．实数a i （i =1,2,3,4,5,6）满足（a 2－a 1）2+（a 3－a 2）2+（a 4－a 3）2+（a 5－a 4）2+（a 6－a 5）2=1则（a 5+a 6）－（a 1+a 4）的最大值为A ．3B ．22C ．6D ．1二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题．每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）（一）必考题．（11－14题） 11．己知0(sin cos )xa t t dt =+⎰，则（1x ax-）6的展开式中的常数项为。

2015年高考数学模拟试题及答案

2 2
（1）求数列 a n 的通项公式；（2）设 bn
1 ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn 2 . 2 an
20．（本小题共 13 分）若双曲线 E :
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的离心率等于 2 ，焦点到渐近线的距离为 1，直线 y kx 1 与双 a 2 b2
D C
A．
3 10 10
B．
10 10
C．
5 10
D．
5 15
E
B A 7．已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AB 2, CC1 2 2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 与平面 BED
的距离为 A．2 B．
3
C． 2
D．1
8．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级 2 人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为
(2)由（1）可知 bn 20．（本小题共 13 分）
c a 2 1 2 解：（1）由 a 得 b2 1 b 1
设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，由
故双曲线 E 的方程为 x y 1
2 2
y kx 1 得 1 k 2 x 2 2kx 2 0 2 2 x y 1

x 1 0 ，则 A B x 3
2 3
D． (, 1)
A． (3, )
B． (1, )
2 3
C． ( ,3)
2
2. 设 x R ， i 是虚数单位，则“ x 3 ”是“复数 z ( x 2 x 3) ( x 1)i 为纯虚数” 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是

贵州省凯里一中2015届高三2月阶段性检测数学(理)试卷及答案

凯里一中2015届高三年级2月阶段性检测数学试卷（理）注意事项1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试时间120分钟．2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3、答题前认真阅读答题卡上的“注意事项”．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s 其中x 为样本平均数柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{}2|230M x N x x =∈--<，{}3,2,1,0,1-=P ，则M P =A ． {}1,2B ． {}0,1,2C ． {}0,1,2,3D ． {}1,0,1,2,3-2、在各项都为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和为21，则345a a a ++= A ．45 B ． 72C ． 84D ． 1893、若复数z 满足3412zi i=-+，则z 的共轭复数z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、已知1sin 23α=-，则2cos ()4πα-=A ．13B ． 13-C ．23D ． 23-5、执行如图所示的程序框图．若输出15S =，则框图中①处可以填入A ． 4n >B ． 8n >C ． 16n >D ． 16n <6、某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中最大的是 A ． B ． C ．D ． 7、已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为A ．22(1)(1)2x y ++-= B ． 22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)2x y -+-=D ． 22(1)(1)2x y +++=8、已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线π3x =是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的函数解析式是 A ．π4sin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ． π2sin 223y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ C ． π2sin 423y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D ． π2sin 426y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭9、某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()21000,50N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为正（主）视图22A ．18B ．14C ．38D ．1210、设5log 2a =，12b e -=，3logc π=, 则A ． b c a <<B ． a c b <<C ． c b a <<D ． c a b <<11、过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为 A ．5B ．52C ．32D ．178]12、若函数()sin f x x x =-对任意的()0,,(cos2)(2sin 5)0f f m θπθθ∈+-≤恒成立，则m 的取值范围是 A．(-∞ B ．(,3]-∞C．)+∞D ．[3,)+∞第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若124a a +=，91036a a +=，则10S = ．14、已知实数,x y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则()222x y -+的最小值为．15、如图，已知点1(0,)4A ，点000(,)(0)P x y x >在曲线2y x =上，若阴影部分面积与△OAP 面积相等，则0x = ．16、若正三棱锥P ABC -（底面是正三角形，顶点P 在底面的射影是ABC ∆的中心）满足PA PB AB +==O 到平面ABC 的距离为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）在△ABC 中，三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且()sin sin()2b B C B π+=-．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =△ABC 周长的最大值．18、（本小题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学和生物辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）：根据上表：（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五恰有一天满座的概率；（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19、（本小题满分12分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD=2AB ==AB BC ⊥，如图，把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．（Ⅰ）求证：CD AB ⊥；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ？若存在，求出BNBC的值；若不存在，请说明理由．BB20、（本小题满分12分）椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左、右顶点恰好与双曲线C '：222x y -=的左、右焦点重合，且椭圆C 与双曲线C '的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)0,1(Q 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点(4,3)P ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程．21、（本小题满分12分）已知函数2()(2)ln .f x x a x a x =-++ （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）设定义在D 上的函数()y g x =在点00(,)P x y 处的切线方程为():l y h x =，当0x x ≠时，若()()0g x h x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y g x =的“转点”．当8a =时，试问函数()y f x =是否存在“转点”．若存在,请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22、（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线，已知AB AC =．（Ⅰ）证明：2AC AE AD =⋅；（Ⅱ）证明：AC FG //．23、（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，试求11PA PB+的值．24、（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】设不等式21x ->的解集与关于x 的不等式20x ax b -+>的解集相同．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x =的最大值，以及取得最大值时x 的值．凯里一中2015届高三年级2月阶段性检测数学参考答案（理）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13、100 14、12 1516三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、解：（Ⅰ）由()sin sin()2b B C B π+=-得：sin cos b A B =, ·············· 2'结合正弦定理有：sin sin cos B A A B =, ··········································· 4' 因为在△ABC 中，sin 0A ≠,所以tan B = ·················································································· 5' 又0B <<π, 所以3B π=． ························································································· 6' （Ⅱ）由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-,因为3B π=,b = 所以2212a c ac =+-，即()2123a c ac +-=． ① ········································ 9'因为2()2a c ac +≤, ②由①②得()22123()2a c a c ++-≤⋅，解得a c +≤． ····························· 11'所以，当且仅当a c ==△ABC 周长的最大值为 ················· 12' 18、解：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五恰有一天满座为事件A ，则()1221225(1)(1)2(1)(1)23323318P A =⨯-⨯-+⨯-⨯⨯-= ····························· 4' （Ⅱ）ξ的可能值得为0,1,2,3,4 ································································· 5'()31110()2324P ξ==⋅=()12331121251(1)(1)(1)2232324P C ξ==⋅⋅-⋅-+-⋅=()221233112112932()(1)(1)()(1)223223248P C C ξ==⋅-⋅-+⋅-⋅== ()3322331211273()(1)()(1)2322324P C C ξ==⋅-+⋅-⋅=()312214()232412P ξ==⋅== ···································································· 10'所以随机变量ξ的分布列如下：故150123424242424246E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ·································· 12'19、解：（Ⅰ）证明：因为//AD BC ，2BC AD =2AB ==AB BC ⊥所以AD AB ==2BD ==,45DBC ADB ∠=∠=,2CD ==所以 222BD AC BC +=，所以 C D B D ⊥． ················································································· 3' 又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =所以CD ⊥平面ABD ·············································································· 5'又AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥ ······················································································· 6' （Ⅱ）因为CD ⊥平面ABD ，所以CD BD ⊥．以点D 为原点，DB 所在的直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴,过点D 作垂直平面BCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图．由已知，得(1,0,1)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ．所以(0,2,0)CD =- ，(1,0,1)AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0CD n AD n ⋅=⋅=所以20,0.y x z -=⎧⎨--=⎩令1x =，得平面ACD 的一个法向量为 ()1,0,1n =- ·············· 8'假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60设,01BN BC λλ=<<，则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ············ 9' 所以sin 60AN n AN n⋅=⋅=， ············ 10' 可得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去） ··································· 11' 综上所述，在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60，此时BN BC 14= ························································································· 12' 20、解：（Ⅰ）双曲线222x y -=的左、右焦点为()2,0±2'所以2a =，c c a =⇒=进而2222b a c =-=所以椭圆C 的方程为22142x y += ·································································· 5' （Ⅱ）①当直线l 的斜率为0时，容易求得12k k ⋅34=········································· 6' ②当直线l 的斜率不为0时，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为1x my =+将1x my =+代入22142x y +=，整理得 ()222230my my ++-=．则12122223,22m y y y y m m --+==++ ································································ 8' 又11221,1x my x my =+=+，所以12k k ⋅=()()121212212121293334493y y y y y y x x m y y m y y -++--⋅=---++ 222325341464812m m m m m +++==+++ ····························································· 10' 令41t m =+，则12k k ⋅=2324225tt t +-+ 当0t ≤时，()22220225124t tt t t =≤-+-+当0t >时，22212522542t t t t t=≤-++-（仅当5t =，即1m =时，取等号）此时12k k ⋅=1由①②得，当12k k ⋅最大时，直线l 的方程为10x y --=． ··························· 12'21、解：（Ⅰ）当1=a 时，()xx x x x x x x x f )12)(1(1321322'--=+-=+-=，当210<<x 时，()0f x '>；当121<<x 时，()0f x '<；当1>x 时，()0f x '>．所以当1=x 时，()x f 取到极小值2-． ····················································· 5' （Ⅱ）当8a =时，函数()y f x =在其图像上一点00(,)P x y 处的切线方程为 ()()20000008(210)108ln h x x x x x x x x =+--+-+，设()()()F x f x g x =-，则()00F x =，()()()()00008824(210)(210)()F x f x g x x x x x x x x x x '='-'=+--+-=-- ···· 6' ①若002x <<，()F x 在004(,)x x 上单调递减，所以当004(,)x x x ∈时，()()00F x F x <=，此时()00F x x x <-，所以函数()y f x =在()0,2不存在“转点”． ················································ 8' ②若02x >,()F x 在004(,)x x 上单调递减，所以当004(,)x x x ∈时，()()00F x F x >=，此时()00F x x x <-，所以函数()y f x =在()2,+∞不存在“转点”． ··········································· 10' ③若02x =，()()2220F x x x'=-≥，当0x x >时，()()00F x F x >=，此时()00F x x x >-，当00x x <<时，()()00F x F x <=，此时()00F x x x >-，故函数)(x f y =存在“转点”，且2是“转点”的横坐标． ····························· 12'22、证明：（Ⅰ）∵AB 是⊙O 的一条切线，AE 为割线，∴2AB AD AE =⋅， ·············································································· 3'又∵AB AC =，∴2AC AD AE =⋅； ··············································································· 5' （Ⅱ）由（Ⅰ）有AD AC AC AE=， ∵∠EAC =∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE ，∴∠ADC =∠ACE ， ············································································ 7' ∵∠ADC =∠EGF ，∴∠EGF =∠ACE ，∴GF ∥AC ． ·························································································· 10'23、解：（Ⅰ）由4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得，4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-， ································································ 3' ∴2244x y x y +=-，即圆C 的直角坐标系方程为：()()22228x y -++= ① ························ 5'（Ⅱ）设,A B 两点对应的参数为12,t t，22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与①式联立得240t +-=所以121240t t t t +=-=-< ································································ 7' 根据参数t 的意义可知：121111PA PB t t +=+12121212t t t t t t t t +-====············································ 10' 24、解：（Ⅰ）不等式21x ->的解集为{|1x x <或3}x > 2'所以，不等式20x ax b -+>的解集为{|1x x <或3}x >于是13,13a b +=⨯=故4,3a b == ······················································································· 5'（Ⅱ）根据柯西不等式 ()(22f x = ()22224350⎡⎤≤++=⎢⎥⎣⎦ ············· 8'（当43=，即25107=x 时取“=”）又明显()0f x ≥，所以()max f x = ·············································· 10'。

贵州省凯里一中2015届高三模拟考试理科数学试卷-含答案

凯里一中2015届高三模拟考试理科数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合}2|{2-==x y y A ，集合}1|{2-==x y x B ，则有A. B A =B. φ=B A IC. A B A =YD. A B A =I2.已知R a ∈，i 是虚数单位，iia -+1是纯虚数，则a 等于A.1B.1-C. 2D. 2-3.下列命题正确的是A.命题“4,2-∈∃x R x 使得＜0”的否定是“04,2>-∈∀x R x 均有” B.命题“若1,12≠≠x x 则”的否命题是“1,12==x x 则” C.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 D.命题“若y x cos cos =,则y x =”的逆否命题是真命题 4.如图1所示的程序框图，若两次输入的x 值分别是π3和3π-，则两次运行程序输出的b 值分别是A.1，23 B ．0， 23 C. π－，23－ D. π3，23－5.设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题： αβα//,)1(m ⊥若，β⊥m 则；βαβαm //,,)2(则若⊥⊥m ； ααn//,,)3(则若n m m ⊥⊥ ； αββα//,n ,)4(则若⊥⊥n其中，真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D.4 6.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n 2S 2n +=，则=n a A. 122+n B. 22+n C. 12+n D. 32+n 7. dx x x a ⎰-=212)23(设，则=aA.12B.4C.-12D.-48.已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤+002422y y x y x ，则目标函数z =2x +y 的最大值是A. 5B. 52C. 3D. 329.若双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线与圆1)2(22=-+y x 至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是图2俯视图侧视图主视图A.(]2,1B. [)∞+，2 C. ](3,1 D. [)∞+，310.a 、b 、c 均为正实数，且a a 21log 2=，b b21log )21(=，c c2log )21(=，则a 、b 、c 的大小顺序为A. b c a <<B. a c b <<C.a b c <<D.c b a <<11.从6人中选4人分别到省内黄果树、小七孔、西江苗寨、梵净山游览，要求每个地点有一人游览，每人只游览一个地点，且在这6人中甲、乙不去西江苗寨游览，则不同的选择方案共有 A.300种 B.240种 C.144种 D.96种12.已知偶函数f (x )满足f (x +1)=f (x -1),且当[]时，1,0∈x 2)(x x f =，则关于x 的方程xx f -=2)(在[]5,5-上根的个数是A.4个B. 6个C.8个D.10个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(]为则若向量x b a x b x a ,),2,0(),1,2(),1,(sin ⊥∈-==π . 14.已知函数131)(23+++=x ax x x f 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 15.一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体的体积为 . 16.对于*∈N n 的命题，下列四个判断中正确命题的个数为 .1)1(,2...221)(12=++++=f n f n 则）若（；21)1(,2...221)()2(12+=++++=-f n f n 则若；31211)1(,121...31211)()3(++=+++++=f n n f 则若；131...2111)()4(++++++=n n n n f 若，则 11431331231)()1(+-++++++=+k k k k k f k f三．解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 的一系列对应值如下表：(I)求)(x f 的解析式；(II)在ABC ∆中，若2=AC ，3=BC , ，2)(-=A f 求ABC ∆的面积。

2015届高三预测卷(理科数学)及答案

2015届高三预测卷数学理第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 合{}i m m M )3(3,2,1-+-=（其中i 为虚数单位），{9,3}N =-，且M N ≠∅，则实数m 的值为（）A.3B. 1C. 2D.9-2.正弦曲线x y sin =在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,3π的切线方程是（）A.0332=+-+πy x B.0332=-+-πy xC.033323=-+-πy x D.033323=+-+πy x 3.若向量)6,2(),1,2(+=+=x b x a ,又b a,的夹角为锐角,则实数x 的取值范围为( )A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠->245x x x 且 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧->45x x C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠-<545x x x 且 D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<45x x4.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，离心率为5，则其渐进线方程为（） A.x y 21=B.x y 21±=C. x y 21-= D.x y 2±= 5.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（） A.4 B.2C.32D.36. 已知βα, 表示平面，n m ,表示直线，给出下列四个命题：第5题图正视图俯视图AB DC DCA B①若α∥β，,,βα⊂⊂n m 则m ∥n ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥ ③若,,βα⊥⊥n m m ∥n ，则α∥β ④m ∥α，n ∥β，n m ⊥，则βα⊥ 其中错误的命题个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知直线0=-+a y x 与圆222=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足-=+，则实数a 的值为（） A.2 B.2-C.2±D.1±8.现有下列命题:①命题“01,2=++∈∃x x R x ”的否定是“01,2≠++∈∃x x R x ”；②若{}0>=x x A ，{}1-≤=x x B ，则A B C A R =)( ；③直线013)2(=+++my x m 与03)2()2(=-++-y m x m 互相垂直的条件为2-=m ；④如果抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则41-=a .其中正确的命题的序号为（） A.②④ B.①② C.③④ D.②③ 9.已知递增数列{}n a 各项均是正整数，且满足n a n a 3=，则5a 的值为（） A.2 B.6 C. 8 D.9 10.设函数)sin()(ϕ+ω=x x f ()22,0π<ϕ<π->ω,给出以下四个论断： ①它的图象关于直线12π=x 对称；②它的图象关于点（)0,3π对称；③它的周期是π；④在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（） A.①③⇒②④或②③⇒①④ B.①③⇒②④ C. ②③⇒①④ D.①④⇒②③11.江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设x 是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为xy 2lg =，则当这三种门票的张数分别为（）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大. A.1、0.、0.8 B.0.6、0.8、1 C. 0.6、1、0.8 D.0.6、0.6、0.812. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为（） A.)1,1(- B. )1,31()21,1( -- C.)1,31()21,( --∞D.),31()21,(+∞--∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、（本大题共4小题，每小题5分） 13. 阅读如图的程序框图，如果输出的函数值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41内，则输入的实数x 的取值范围是 .（第16题）13题14. 已知Ω是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>><+0,0,6y x y x 表示的平面区域，A 是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-><02,0,4y x y x 表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为_________. 15.抛物线x y =2与直线032=--y x 围成的平面图形的面积为 .16.下述数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现次. 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟.根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： API 0～50 51～200 101～150 151～200 201～250 251～300 >300 级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ1 Ⅲ2 Ⅳ1 Ⅳ2 Ⅴ 状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API 数据按照区间[](]100,50,50,0，(]150,100，(]200,150，(]250,200，(]300,250进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，1==AD PA ，3=AB ，点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动.（1）求三棱锥PAB E -的体积；（2）当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说明理由；（3）求证：AF PE ⊥.19.（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．（1）求椭圆的离心率；（2）直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且212ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；（3）设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N的最远距离不大于C 的短轴长的取值范围．20.已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项，（1）若7=k ，12a =（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为n S ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值P F DE C B A 18题图（2）若存在,k m >*m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证：k 为奇数. 21.（本小题满分12分）设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．（1）若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值；（2）关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题给分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦AP CD //，BC AD ,相交于E 点，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2.（1）求证：EDC P ∠=∠；（2）求证：EP EF EB CE ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=，曲线2C 的极坐标方程为π4θ=，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点.（1）把曲线1C ，2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）求弦AB 的长度.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x =（１）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（２）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围．理科数学答案一、选择题1.A2.B3.A4.B5.C6.C7. C8.A9.C 10.A 11.C 12.B 解析：1.M N ≠∅，则M 中的复数必须为实数，所以3=m . 2x x y cos )(sin ''==,则213cos==πk ,即切线方程为)3(2123π-=-x y ,整理得0332=-+-πy x .故选B.3.0108)1(6)2(2>+=+++=⋅x x x b a ,则45->x ,又b a,不共线,所以0)2)(1(62≠++-⨯x x ,则5-≠x 且2≠x ,所以实数x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠->245x x x 且.故选A.4.因为5=e ，所以21512=-=-=e ab，而焦点在y 轴上的双曲线的渐进线方程为x b a y ±=，所以该双曲线的渐进线方程为x y 21±=.故选B.5.由三角形的边长全为2，即底面三角形的高为3，所以左视图的面积为3223=⨯=s .故选C.6.只有③是正确的.①若α∥β，,,βα⊂⊂n m 则m ∥n 或异面； ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥或相交或异面；④m ∥α，n ∥β，n m ⊥，则βα⊥或α∥β.所以只有一个正确的，故选C.故选C.7.-=+两边平方，得0=⋅，所以90=∠AOB ，则AOB ∆为等腰直角三角形，而圆222=+y x 的半径2=AO ，则原点O 到直线的0=-+a y x 的距离为1，所以11100=+-+a ，即a 的值为2或2-.8.①命题的否定为：“01,2≠++∈∀x x R x ”；②{}A x xBC A R =>=0)( ；③由0)2(3)2)(2(=+--+m m m m ，得2-=m 或21；④抛物线的标准方程为y a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2122，由准线方程为1=y ，可得141=-a ，即41-=a .故选A. 9. 若11=a ，则111==a a a ，与3131=⨯=a a 矛盾，若31≥a ，则31a a a ≥，而31=a a ，所以31a a ≥与数列{}n a 递增矛盾，于是21=a ，得31321=⨯==a a a ，62332=⨯==a a a ，93363=⨯==a a a ，而6543a a a a <<<，所以85=a .故选C.10.由函数)0)(sin()(>ωϕ+ω=x x f 的周期是π，可知.2=ω这)22)(2sin()(π<ϕ<π-ϕ+=x x f （1）若)(x f 的图像关于直线12π=x 对称，则1)6sin()12(±=ϕ+π=πf . 当1)6sin(=ϕ+π，且22π<ϕ<π-时，3π=ϕ；当1)6sin(-=ϕ+π时，322π-π=ϕk （z k ∈），与 )22π<ϕ<π-矛盾.因此3π=ϕ.这时⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin )(x x f . 由0sin 3=π=⎪⎭⎫⎝⎛πf 可知)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛π0,3对称；由06<≤π-x ，得3320π<π+≤x ，可知)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.综上可知：①③⇒②④是正确的命题. （2）若)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛π0,3对称，则032sin 3=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ+π=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，又由22π<ϕ<π-知3π=ϕ，这时⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=32sin )(x x f . 由12sin 12=π=⎪⎭⎫⎝⎛πf 可知，直线12π=x 是)(x f 的对称轴；由（1）可知，)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.综上可知：②③⇒①④.故选A.11. 设3元、5元、8元门票的张数分别为c b a ,,，则有⎪⎩⎪⎨⎧++===++,853,6.0,4.2c b a x ab c b a 整理得2.131522.19)35(2.19=-≤+-=ab b a x （万元）.当且仅当⎩⎨⎧==,6.0,35ab b a 时等号成立，解得1,6.0==b a ，所以8.0=c .由于x y 2lg =为增函数，即此时y 也恰有最大值.故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.故选C. 12. 由0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，得0<+-+-++-cx b x a x b 的解集为)1,31()21,1( --，即0>----c x b x a x b 的解集为)1,31()21,1( --.故选B.二、填空题 13. []1,2-- 14. 9215.332 16.6解析：13.若[]2,2-∉x ，则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∉=21,412xx f ，不合题意；当[]2,2-∈x 时，得[]1,2--∈x .14.区域Ω（不含边界）的面积为18，区域A （不含边界）的面积为4，故点P 落入区域A 的概率为92. 15.由⎩⎨⎧=--=,032,2y x x y 得抛物线与直线的交点为)3,9(),01,1(Q P .所以[]dx x x dx x x S )23((9110--+--=⎰⎰dx x x dx x )232(29110+-+=⎰⎰192343201342232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x 33232834=+=. 16. 第i 行第j 列的数记为ij A ，那么每一组i 与j 的解就是表中的一个数.因为第一行数组成的数列{}),2,1(⋅⋅⋅⋅=j A ij 是以2为首项，公差为1的等差数列，所以11)1(2+=⨯-+=j j A ij .所以第j 列数组成的数列{}),2,1(⋅⋅⋅⋅=i A ij 是以1+j 为首项，公差为j 饿等差数列，所以1)1(1+=⨯-++=ij j i j A ij .令20101=+=ij A ij ，即1200972784149494128772009⨯=⨯=⨯=⨯=⨯==ij ，故表中2010出现6次. 三、解答题17. 解：（1）由图可知，509125123150)912581825318257365218253(150⨯-=⨯++++-=x ，解得18250119=x .（2）219)5036525018250119(365=⨯+⨯⨯；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为533652195036525018250119==⨯+⨯.则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为52531=-. 18.解：（1）ABCD PA 平面⊥ ，所以PA S V V ABE ABE P PAB E ⋅==∆--31631312131=⨯⨯⨯⨯=. （2）当点E 为BC 的中点时，EF ∥平面PAC ，理由如下：因为点F E ,分别为CD 、PD 的中点，所以EF ∥PC . 又因为PAC PC 平面⊂，PAC EF 平面⊄，所以EF ∥平面PAC . （3）因为ABCD PA 平面⊥，ABCD CD 平面⊂，所以PA CD ⊥. 又是矩形ABCD ，所以AD D ⊥C . 因为A AD PA = ，所以PAD CD 平面⊥. 又PAD AF 平面⊂，所以DC AF ⊥.因AD PA =，点F 是PD 的中点，所以PD AF ⊥. 又D PD CD = ，所以PDC AF 平面⊥，又PDC PE 平面⊂，所以AF PE ⊥.19.解：⑴由条件可知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c Q a b c P 22,,,，因为23=PQ k ，所以得：21=e . （2）由⑴可知，c b c a 3,2==，所以，)0,3(),0,(),3,0(1c B c F c A -，从而)0,(c M .半径为a ，因为221a MF ME -=⋅，所以 120=∠EMF ，可得：M 到直线距离为2a ，从而求出2=c ，所以椭圆方程为：1121622=+y x . （3）因为点N 在椭圆内部，所以3>b ，设椭圆上任意一点为),(y x k ，则2222)26()3(≤-+=y x KN .由条件可以整理得：018941822≥+-+b y y ，对任意[])3(,>-∈b b b y 恒成立，所以有：⎩⎨⎧≥+--+--≤-,01894)(18)(,922b b b b 或者⎩⎨⎧≥+--⨯+-->-,01894)9(18)9(,922b b 解之得： (]6212,62-∈b .20. （1）因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列，所以()()211126a d a a d +=+，整理得12a d =，又12a =，所以1d =， 112b a ==，32111122a b a dq b a a +====，所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=，①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=⨯；② 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前n 项的和，所以121(21)(22)2(21)(21)(21)221n n n n n n n S ----+-=-=---. 所以211212321n n n n S -----+⋅=-．⑵ 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412-=k d a d ，因为0≠d ，所以4)5(1-=k a d ，所以3111232a a d k q a a +-===.因为存在m ＞k,m ∈N *使得13,,,k m a a a a 成等比数列，所以313123⎪⎭⎫⎝⎛-==k a q a a m ，又在正项等差数列{a n }中，4)5)(1()1(111--+=-+=k m a a d m a a m ，所以3111234)5)(1(⎪⎭⎫⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，所以有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-，因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数，即3-k 为偶数，所以k 为奇数.21. （1）解法一：设函数22y a x =图象上任意一点为2200(,)P x a x ，则点P 到直线30x y --=的距离为d ==，当02102x a -=，即0212x a =时，min d ==2120a =，或214a =，又因为抛物线22()f x a x =与直线30x y --=相离，由22,3,y a x y x ⎧=⎨=-⎩得2230a x x -+=，故21120a ∆=-<，即2112a >，所以214a =，即12a =．解法二：因为22()f x a x =，所以2'()2f x a x =，令2'()21f x a x ==，得212x a =，此时214y a =，则点2211(,)24a a 到直线30x y --==，解之得2120a =，或214a =．（以下同解法一）（2）解法一：不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2(1)0(0)h a a =-<>，所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)，则另一个零点一定在区间[3,2)--内，所以(2)0,(3)0,≤h h ->⎧⎨-⎩解之得4332≤a <，故所求a 的取值范围为43[,]32．解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，因为[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，所以1111x a a <<-+，又因为1011a<<+，所以1321a -<<--，解之得4332a <<．（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2'()e x e F x x x x -=-==．所以当0x <<'()0F x <；当x >'()0F x >．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x 的图象在x =)2e ．设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2e y k x -=，即2ey kx =+-由()2≥e f x kx +-x ∈R 恒成立，则2220x kx e --+在x ∈R 恒成立．所以22244(2)4844(0≤k e k e k ∆=-=-=恒成立，因此k =下面证明()(0)2eg x x ->恒成立．设()ln 2e G x e x =-，则()e G x x '==．所以当0x <<'()0G x >；当x >'()0G x <．因此x =()G x 取得最大值0，则()(0)2eg x x ->成立．故所求“分界线”方程为：2ey =-．选做题：22.证明：（1）因为EC EF DE ⋅=2，所以DE EF EC DE ::=，又因为DEF ∠是公共角，所以DEF ∆∽CED ∆，所以C EDF ∠=∠.因为AP CD //，所以P C ∠=∠，所以EDF P ∠=∠.（2）由（1）知，E D F P ∠=∠，又FED AEP ∠=∠，所以D E F ∆∽PEA ∆，所以AE EF EP DE ::=，即EP EF DE AE ⋅=⋅.因为BC AD ,为相交弦，所以EB CE DE AE ⋅=⋅，故EP EF EB CE ⋅=⋅. 23. 解：（1）曲线2C ：π4θ=（R ∈ρ）表示直线x y =．曲线1C ：θρcos 6=，θρρcos 62=，所以x y x 622=+，即9)3(22=+-y x ．（2）圆心（3，0）到直线的距离 d =，3=r ，所以弦长AB =23． 24. （1）由题设知：1250x x ++--≥，如图，在同一坐标系中作出函数12y x x =++-和5y =的图象（如图所示）,知定义域为(][),23,-∞-+∞.（2）由题设知，当x R ∈时，恒有120x x a ++-+≥，即12x x a ++-≥-，又由（1）123x x ++-≥，∴ 3,3a a -≤≥-即．。

2015年高考理科数学模拟试题

2015年普通高等学校招生考试数学模拟试题（理工类）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}-2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。

在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）A 、总体B 、个体C 、样本的容量D 、从总体中抽取的一个样本3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（） A 、向左平行移动1个单位长度 B 、向右平行移动1个单位长度 C 、向左平行移动π个单位长度 D 、向右平行移动π个单位长度4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）A 、3B 、2C 、3D 、15、若0a b >>，0c d <<，则一定有（）A 、a b d c > B 、a b d c < C 、a b c d > D 、a b c d<6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（）A 、0B 、1C 、2D 、37、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（）侧视图俯视图11222211A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 8、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（） A、1)m B、1)mC、1)m D、1)m9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（）A、 B、 C、 D、10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（） A 、2 B 、3 C、8D第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015年普通高考仿真模拟理科数学试卷(一)

准考证号姓名（在此卷上答题无效）保密★启用前2015年普通高考仿真模拟校际协作试卷（一）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2A x x =∈≥R ，{}220B x x x =∈--<R ，且R 为实数集，则下列结论正确的A ．AB =R B ．A B ≠∅C ．()A B ⊆R ðD ．()A B ⊇R ð2．如果随机变量2~(0,)N ξσ，且()200.4P -<ξ≤= ，则(2)P ξ≤等于A ．0.1B ．0.4C ．0.8D ．0.93．某程序框图如图所示. 若执行相应的程序，输出的y 值为1，则输入的整数x 的值应等于A ．－1或0B ．0或2C ．－1或2D ．－1或0或24．校庆期间，某同学手上有校庆画册2本，校庆纪念章3个，从中取出4件送给4位校友，每位校友1样礼品，则不同的赠送方法共有A ．7种B ．10种C ．50种D ．120种5．若实数α满足下列两个条件p ：1cos()23πα+=，q ：7cos 29α=，则p 是q 的 A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，有以下四个命题：①αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ； ②m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭； ③m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ； ④m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭ . 其中正确的命题的序号是A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④7．设D 是∆ABC 中AC 边上满足||3||=AC AD 的点，E 是线段BD 上满足||2||=BD BE 的点，P 是满足(,)R =+∈AP xAB yAD x y 的点. 若CP 与AE 共线，则A ．=y xB ．2=y xC ．3=-+y xD ．3=+y x8．设点P 在函数()x f x e =的图象上运动，点Q 在函数()f x 的反函数的图象上运动，则PQ的最小值为ABCD．9．设不等式组0,3,≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩x x y kx 所表示的平面区域为Ω.若平面区域Ω内的所有点都在圆223x y +=的内部（包括边界），则实数k 取值范围是 A．(-∞ B ．[3， C．[,)3+∞ D．)+∞ 10．在平面直角坐标系xOy 中，点F 为双曲线2222:1(0,0)x y a b a b Γ-=>>的左焦点，分别过点,O F 作斜率为1的直线12,l l ，直线1l 与双曲线Γ的左、右支交于点,M N ，2l 与双曲线Γ的左支交于点K ，若KM KN =，则该双曲线的离心率e 等于A2 B．3 C．12 D12第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置.11．若2i i(,)1ia b a b +=+∈-R ，其中i 是虚数单位，则a b +=________. 12．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为244::，为开展某项调查，采用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则样本中高二年级的学生有 _______名．13．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .14．已知数列{}n a 的首项123a =-，其前n 项和n S 与通项n a 满足12(2)n n nS a n S ++=≥，则2015S =_______. 15．已知函数()ln f x x x =. 对于满足12≤<a x x 的任意实数12,x x ，给出下列判断：①恒有1212()[()()]0-->x x f x f x ； ②恒有1212()()1f x f x x x -<-； ③恒有1221()()f x x f x x +<+； ④恒有2112()()x f x x f x ⋅<⋅；⑤恒有112221()()2()x f x x f x x f x +>. 上述判断中，对1[,)+∞e内的任意实数a 恒正确的是__________.（写出所有恒正确的判断的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）为提高居民节约用水的意识，某县物价局出台了自来水阶梯定价方案：以户为单位，按月收缴；每月用水量不超过10吨部分每吨2元，超过10吨不超过20吨部分每吨4元，超过20吨部分每吨6元. 随机抽取该地100户家庭去年的月平均用水量，经数据处理后得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）请写出每月水费y (元)与用水量x (吨)之间的函数关系式；（Ⅱ）若视题中样本的频率为该县居民每户月平均用水量在相应用水量区间内的概率，试解答：（ⅰ）从该县居民中任选一户，求该户月平均水费恰在[20,40)内的概率；（ⅱ）从该县居民中任选4户，求月平均水费在[20,40)内的用户数ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，()cos ,sin OA x x = ，3(,22OB =- ．（Ⅰ）若56AOB ∠=π，求向量AB 的模；（Ⅱ）将函数()f x OA OB =⋅ 的图象向左平移3π个单位得到函数()g x 的图象，试求函数()()()F x f x g x =+在[]0,π上的值域．18．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，122AA AC AB ===，11BC AC ⊥．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面1AC ；（Ⅱ）试探究线段1AA 上的点D 的位置，使得平面1ABC与平面11B C D所成的二面角的余弦值为2.19．（本小题满分13分）已知：抛物线2:2C y px =的焦点为F ，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)D x y 在抛物线C 上，且1232+==x x x ，3=DF ．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）若线段AB 的中垂线交x 轴于点M ，求AMB ∆的面积的最大值及此时直线AB 的方程．20．（本小题满分14分）已知函数()cos sin f x ax x x =+，其中a ∈R .(Ⅰ)当1a =-时，试判断函数()f x 的奇偶性和函数()f x 在区间[,]-ππ上的单调性； (Ⅱ)若对任意非零实数x ，都有()20+≤f x a x ，试探求实数a 的取值范围.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2:矩阵与变换已知矩阵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭A 对应的变换把曲线sin y x =变为曲线sin 2y x =. (Ⅰ)求矩阵A ；(Ⅱ)若矩阵2211-⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，求AB 的逆矩阵.（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．点,A B的极坐标分别为51,)3π，1,)6π，曲线C 的参数方程为2sin ,11cos 2=⎧⎪⎨=+⎪⎩x y αα（α为参数）. (Ⅰ)求AB ；(Ⅱ)若P 为曲线C 上的点，求APB ∆面积的取值范围.（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知函数2()log (15)f x x x a =-+--.(Ⅰ)当5a =时，求函数()f x 的定义域；(Ⅱ)当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围.（以下空白部分可作为草稿纸使用）草稿纸。

2015年高考模拟考试数学(理科)试卷附答案

2015年高考模拟考试数学(理科)试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （） A.{}0,3 B.{}2,0,3 C.{}1,0,3 D.{}2,1,0,3 2．若复数(21a -)＋(1a -)i (i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝ ( ) A ．±1 B ．－1 C ．0 D ．1 3．有下列关于三角函数的命题：1:,()2P x x k k ∀∈≠+∈R Z ππ，若tan 0x >，则sin 20x >；23:sin()2P y x π=-函数与函数cos y x =的图象相同；300:,2cos 3P x x ∃∈=R ；4:|cos |P y x =函数()x ∈R 的最小正周期为2π．其中的真命题是（）A ．1P ，4PB ．2P ，4PC ．2P ，3PD ．1P ，2P4．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 65．已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A.56π B.π C. 76π D. 2π(第4题图)6．某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：附：22112212211212()n n n n n K n n n n ++++-=，则下列结论正确的是（）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别无关”B ．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别无关”7.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k 的值为（） A. 1 B.－1 C. 2 D. --2 8. 已知菱形ABCD 的边长为3，060B?，沿对角线AD 折成一个四面体，使得平面ACD ^平面ABD ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A. 15pB. 154pC. D. 6p9．定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()()f x x f x >，则下列不等式成立的是（）A ．3(2)2(3)f f <B ．3(4)4(3)f f <C ．2(3)3(4)f f <D ．(2)2(1)f f <10. 已知12F F 、分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A.B.)+∞C. D. (2,)+∞11. 如图，长方形ABCD 的长2AD x =，宽(1)AB x x =≥，线段MN 的长度为1，端点N M ,在长方形ABCD 的四边上滑动，当N M ,沿长方形的四边滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 的周长与G 围成的面积数值的差为y ，则函数()y f x =的图象大致为（）12.已知函数1ln 1)(-+=x xx f ,*)()(N k x k x g ∈=，若对任意的1c >,存在实数b a ,满足0a b <<c <，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2015级高三摸底考试数学理科答案及评分意见

成都市２０１５级高中毕业班摸底测试
数学(理科)参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷 (选择题 ,共６０分 )
一、选择题 :(每小题５分 ,共６０分 )
１．B;
２．A;
３．C;
７．B;
８．C;
９．D;
４．C; １０．; １２．B．
第 Ⅱ 卷 (非选择题 ,共９０分 )
�� １１分 �� １２分
２１．解 :(Ⅰ )f′(x)＝１－ax－２１nx(x＞０)．
由f′(x)＝０,得x＝e１－a ．
�� １分
当０＜x＜e１－a 时,f′(x)＞０．此时函数f(x)单调递增;
{ { a＝３
a＝－２
∴
,或
．
b＝－９ b＝１
经检验符合题意．
(Ⅱ )∵a＞０,由 (Ⅰ ),得 f(x)＝x３＋３x２－９x＋９． ∴f′(x)＝３x２＋６x－９． ∴f(－２)＝３１,f′(－２)＝－９． ∴ 所求切线方程为９x＋y－１３＝０．
１８．解 :(Ⅰ )由题意 ,可得 x��＝７,y��＝３．
５
５
��xiyi
i＝１
＝１１０,i��＝５��１xi２＝２５５,b∧ ＝i��＝��１５x��xiyi２i－－５５x��x��２��y��＝
１２
．
i＝１
∵a∧ ＝y��－b∧x,∴a∧ ＝
－
１２
．
∴
所

2015-2016学年贵州省黔东南州凯里一中高三(下)开学数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年贵州省黔东南州凯里一中高三（下）开学数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|﹣1≤x＜1} 2．（5分）（）2＝（）A．﹣2i B．﹣4i C．2i D．4i3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）命题“∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1B．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣1C．∀x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1D．∀x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣15．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知实数x，y满足，则z＝4x+y的最大值为（）A．10B．8C．2D．07．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．8．（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4B．C．D．69．（5分）以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝1B．（x+3）2+（y﹣1）2＝1C．（x+3）2+（y﹣1）2＝2D．（x﹣3）2+（y+1）2＝210．（5分）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0）．且点C与点D 在函数f（x）＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自空白部分的概率等于（）A．B．C．D．11．（5分）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B 两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．712．（5分）已知函数f（x）＝，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．（用数字作答）14．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8＝10，则3a5+a7＝．15．（5分）已知函数f（x）＝axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）＝3，则a的值为．16．（5分）已知抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）等差数列{a n}中，a2＝4，a4+a7＝15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．19．（12分）在三棱锥P﹣ABC中．侧梭长均为4．底边AC＝4．AB＝2，BC＝2，D．E 分别为PC．BC的中点．〔I）求证：平面P AC⊥平面ABC．（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的体积；（Ⅲ）求二面角C﹣AD﹣E的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝ax3+x2（a∈R）在x＝﹣处取得极值．（1）确定a的值；（2）讨论函数g（x）＝f（x）•e x的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG＝1，GA＝3，求线段CE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2015-2016学年贵州省黔东南州凯里一中高三（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}＝{x|﹣1≤x≤2，且x＜1}＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：D．2．【解答】解：（）2＝＝＝﹣2i．故选：A．3．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．4．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”的否定是∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1；故选：A．5．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2＝ac，由c＝2a，则b＝a，＝，故选：B．6．【解答】解：已知实数x、y满足，在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是A（0，0），B（0，2），C（2，0），由图可知，当x＝2，y＝0时，4x+y的最大值是8．故选：B．7．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k＝1k＝2不满足条件k＞4，k＝3不满足条件k＞4，k＝4不满足条件k＞4，k＝5满足条件k＞4，S＝sin＝，输出S的值为．故选：D．8．【解答】解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为V＝＝．故选：B．9．【解答】解：设圆的方程是（x﹣3）2+（y+1）2＝r2∵直线3x+4y＝0相与圆相切∴圆的半径r＝＝1因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝1故选：A．10．【解答】解：由题意可得B（1，0），把x＝1代入y＝x+1可得y＝2，即C（1，2），把x＝0代入y＝x+1可得y＝1，即图中阴影三角形的第3个定点为（0，1），令﹣x+1＝2可解得x＝﹣2，即D（﹣2，2），∴矩形的面积S＝3×2＝6，阴影三角形的面积S′＝×3×1＝，∴所求概率P＝1﹣＝．故选：A．11．【解答】解：由y2＝3x得其焦点F（，0），准线方程为x＝﹣．则过抛物线y2＝3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝tan30°（x﹣）＝（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2＝，所以|AB|＝x1++x2+＝++＝12故选：C．12．【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（x）|的图象，和函数y＝ax的图象，由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（x）|在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．【解答】解：展开式的二项式系数和为2n∴2n＝64解得n＝6∴展开式的通项为T r+1＝C6r x6﹣2r令6﹣2r＝0得r＝3故展开式的常数项为C63＝20故答案为2014．【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7＝2a5+（a5+a7）＝2a5+（2a6）＝2（a5+a6）＝2（a3+a8）＝20，故答案为：20．15．【解答】解：因为f（x）＝axlnx，所以f′（x）＝alnx+ax＝alnx+a，又f′（1）＝3，所以a＝3；故答案为：3．16．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点（1，0）和双曲线的焦点相同，∴c＝1，∵A是它们的一个公共点，且AF垂直于x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|＝2，∴A（1，2），∵点A在双曲线上，∴，∵c＝1，b2＝c2﹣a2，∴a＝﹣1，∴e＝＝1+，故答案为：1+．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n＝3+（n﹣1）＝n+2；（Ⅱ）b n＝+n＝2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10＝（2+1）+（22+2）+…+（210+10）＝（2+22+...+210）+（1+2+ (10)＝+＝2101．18．【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）＝＝．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，EX＝0×+1×+2×＝．19．【解答】证明：（Ⅰ）∵P A＝PB＝PC＝AC＝4，取AC的中点O，连接OP，OB，可得：OP⊥AC，，∵，∴AC2＝AB2+BC2，∴△ABC为Rt△．∴OB＝OC＝2，PB2＝OB2+OP2，∴OP⊥OB．又∵AC∩BO＝O且AC、OB⊂面ABC，∴OP⊥平面ABC，又∵OP⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面ABC．）（Ⅱ）由（I）可知：OP⊥平面ABC，∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP＝．直角三角形ABC的面积S＝．∴V P﹣ABC＝＝．（Ⅲ）方法一：过点E作EH⊥AC于H，过点H作HM⊥AD于M，连接ME，∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，EH⊥AC，EH⊂平面ABC，∴EH⊥平面P AC，∴ME⊥AD（三垂线定理），∴∠EMH即为所求的二面角的平面角．∵E，D分别为中点，EH⊥AC，∴在RT△HEC中：，，∴在RT△HMA中，．在RT△HME中，．∴．20．【解答】解：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c＝1，点P（0，1）代入椭圆，得，即b＝1，所以a2＝b2+c2＝2所以椭圆C1的方程为．（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx+m，由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，因为直线l与椭圆C1相切，所以△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝0整理得2k2﹣m2+1＝0①由，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0因为直线l与抛物线C2相切，所以△＝（2km﹣4）2﹣4k2m2＝0整理得km＝1②综合①②，解得或所以直线l的方程为或．21．【解答】解：（1）对f（x）求导得f′（x）＝3ax2+2x．∵f（x）＝ax3+x2（a∈R）在x＝﹣处取得极值，∴f′（﹣）＝0，∴3a•+2•（﹣）＝0，∴a＝；（2）由（1）得g（x）＝（x3+x2）e x，∴g′（x）＝（x2+2x）e x+（x3+x2）e x＝x（x+1）（x+4）e x，令g′（x）＝0，解得x＝0，x＝﹣1或x＝﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）为增函数．[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD＝∠ABD，∵∠ABD+∠DAB＝90°，∠C+∠CAB＝90°∴∠C＝∠AGD，∴∠C+∠DGE＝180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（5分）（Ⅱ）解：∵EG•EA＝EB2，EG＝1，GA＝3，∴EB＝2，又∵F为EB的三等分点且靠近E，∴，，又∵FG•FD＝FE•FC＝FB2，∴，CE＝2．…．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，∴x2+y2＝2y．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|＝＝4，当时，|AB|取得最大值4．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。

2015年高考数学模拟试题及答案(理科)

高中数学高考模拟试卷（理科）2015.10（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数111-++-=iiz ，在复平面内z 所对应的点在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 2.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（A（B ）（C（D ） 833.下列命题错误的是（A ）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” （B ）若命题2:,10p x R x x ∃∈++=，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≠ （C ）若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题（D ） “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4.如图，该程序运行后输出的结果为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）165.设γβα,,为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γβγα⊥⊥,，则βα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ；④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m //. 其中真命题的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4俯视图6.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若12852=++a a a ，则9S 等于（A ）18 （B ）36 （C ）72 （D ）无法确定 7. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ，则P 点一定在（A ）ABC ∆内部（B ）AC 边所在直线上（C ）AB 边所在直线上（D ）BC 边所在直线上8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（A ）（B ）（C ）2 （D 9. 定义行列式运算12212121b a b a b b a a -=，将函数xx x f cos 1sin 3)(=的图象向左平移)0(>t t 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为（A ）6π （B ）3π （C ）65π （D ）32π10. 设方程|)lg(|3x x-=的两个根为21,x x ，则（A ） 021<x x （B ）021=x x （C ） 121>x x （D ） 1021<<x x 11. 王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.（A ）300秒（B ）400秒（C ）500秒（D ）600秒12. 两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是（A ）40 （B ）48 （C ）60 （D ）68第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于a 的概率为 .14.若等比数列}{n a 的首项为32，且⎰+=4 1 4)21(dx x a ，则公比q 等于 .15. 已知)(x f 为奇函数，且当x >0时, 0)('>x f ，0)3(=f ，则不等式0)(<x xf 的解集为____________.16. 数列，，，，，，，，，，1423324113223112211，则98是该数列的第项. 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17. （本小题满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A ,且89=⋅.（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值；（Ⅱ）求222sin cb a Cab -+的最大值.18. （本小题满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.19. （本小题满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．21. （本小题满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=. （Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.22. （本小题满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线. （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）高中数学高考模拟试卷（理科）参考答案一．选择题： BCCCB BBACD BB1.解析：B. 21(1)1111(1)(1)i i z i i i i -+--=-=-=-++-，故选B.2. 解析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为22=1223V =⨯⨯=. 3. 解析：C .由“且”命题的真假性知，p 、q 中至少有一个为假命题，则p q ∧为假，故选项C 错误. 4. 解析：D.每次循环对应的b a ,的值依次为11,1,2,112a b b a ====+=；22,24,213a b a ====+=；43,4,216,314a b b a =====+=. 5. 解析：B.根据面面平行的判定可知①是假命题；②是假命题； ③是真命题；④是真命题.6. 解析：B. 2585312a a a a ++==，∴54a =,19592993622a a aS +=⨯=⨯=. 7. 解析：B. CB PA PB CB BP PA λλ=+⇒+= CP PA λ⇒=,∴C 、P 、A 三点共线.8. 解析：A. 抛物线212y x =-的准线方程为3x =，双曲线22193x y -=的渐近线为y x =，如图，它们相交得OAB ∆，则(3,A B ,∴132OAB S ∆=⨯=.9. 解析：C. 1sin ()sin sin )2cos xf x x x x x x==-=-2cos()6x π=+.函数()f x 向左平移65π后为55()2cos()2cos()2cos 666f x x x x ππππ+=++=+=-，所以5()2c o s6f x x π+=-为偶函数. 10. 解析：D. 如图，易知231x x =，3120x x x <<<，∴1201x x <<.11. 解析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足50.3650.60120.060.076060x x x x ⋅⋅++≤+，解得400x ≥. 12. 解析：B. 只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩，则有2344C C +=10种；若有一个小孩，则有11232444()C C C C ++=28种；若有两个小孩，则有1244C C +=10种.故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种. 二．填空题13.6π；14.3；15. {|033x 0}x x <<-<<或；16.128. 13. 解析：6π.易知，在正方体内到点A 的距离小于a 的点分布在以A 为球心，以a 为半径的球的18部分内.故所求概率即为体积之比3341386a P a ππ⋅==.14. 解析：3. 42224 14(12)()44(11)181a x dx x x =+=+=+-+=⎰；123a =，341a a q =⋅得公比3q =.15. 解析：{|033x 0}x x <<-<<或.根据题意，函数()f x 的图象如图，可得0)(<x xf 的解集为{|033x 0}x x <<-<<或.16. 解析：128.分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，…，为16的有15项.而98是分子、分母之和为17的第8项.故共有1511581282+⨯+=项. 三．解答题17. （本题小满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A n ,且89=⋅.（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值；（Ⅱ）求222sin c b a Cab -+的最大值. 解：（Ⅰ）由(1cos(),cos )2A B m A B -=-+ ,5(,cos )82A Bn -= ，且98m n ⋅= ，即259[1cos()]cos 828A B A B --++=.---------------------------------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,-------------------------------------------------------------------------------------4分即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1tan tan 9A B =.--------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由余弦定理得222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-------------------------------------------------8分而∵tan tan 9tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++==+-9384≥⨯=, 即tan()A B +有最小值34.-----------------------------------------------------------------------------------------10分又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值34-（当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号），所以222sin ab C a b c +-的最大值为38-.-------------------------------------------------------------------------------12分18. （本题小满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.解法一：（Ⅰ）如图（2）：在ABC ∆中，由EF 分别是AC 、BC 的中点，得EF//AB ，又⊄AB 平面DEF ，⊂EF 平面DEF . ∴//AB 平面DEF.-----------------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）CD BD CD AD ⊥⊥,，∴ADB ∠是二面角A -CD -B 的平面角.-------------------------------------------------------------------------------------4分∴BD AD ⊥，∴⊥AD 平面BCD .取CD 的中点M ，则EM //AD ，∴EM ⊥平面BCD .过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ，MNE ∠是二面角E -DF -C 的平面角.----------------------------------------------------6分在EMN Rt ∆中，EM =1，MN =23，∴721cos =∠MNE .----------------------------------8分（Ⅲ）在线段BC 上取点P ，使BP =BC 31，过P 作PQ ⊥CD 于点Q ，∴⊥PQ 平面ACD .-----------------11分∵，33231==DC DQ ∴ADQ Rt ∆中，33tan =∠DAQ .在等边ADE ∆中， ,30 =∠DAQ ∴DE AP DE AQ ⊥⊥,.------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,3,1(),1,3,0(),0,32,0(002(),2,0,0(F E C B A ），，，------------------------------------------4分平面CDF 的法向量)2,0,0(=.设平面EDF 的法向量为n=（x ,y ,z ）.则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DE n DF ，即⎩⎨⎧=+=+0303z y y x ，取)3,3,3(-=------------------------------------------6分721||||cos =⋅>=⋅<n DA .二面角E -DF -C 的平面角的余弦值为721.------------------------------------8分（Ⅲ）在平面坐标系x D y 中，直线BC 的方程为323+-=x y ，设)0,332,(x x P -，则)2,332,(--=x x .--------------------------------------------------------------------------------------------------------10分∵x DE AP 31340=⇒=⇒=⋅⇒⊥. ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .---------------------------------------------------------------12分.19. （本题小满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.解法一：（Ⅰ）张明答4道题进入下一轮的概率为161)21(4=；----------------------------------------------------1分答5道题进入下一轮的概率为812121)21(334=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------------2分答6道题进入下一轮的概率为32521)21()21(2335=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------3分答7道题进入下一轮的概率为32521)21()21(3336=⋅⋅C ；-------------------------------------------------------------5分张明进入下一轮的概率为1155116832322P =+++=.---------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，5，6，7.当ξ=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰.81)21()21()4(44=+==ξP ；类似有4121)21()21(21)21()21()5(334334=⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ；)6(=ξP =+⋅⋅21)21()21(2335C 16521)21()21(2335=⋅⋅C ； )7(=ξP =+⋅⋅21)21()21(3336C 16521)21()21(3336=⋅⋅C .----------------------------------------------10分于是ξ的分布列为161671664584=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ---------------------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）设张明进入下一轮的概率为1P ，被淘汰的概率为2P ，则121=+P P ，又因为张明答对每一道题的概率都为21，答错的概率也都为21.所以张明答对4题进入下一轮与答错4题被淘汰的概率是相等的.即21P P =. 所以张明进入下一轮的概率为21.--------------------------------------------------------------------------------------6分20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，得33222127a a =++=29a ⇒=.2212219a a =++=12a ⇒=.--------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）*11221(,2)(1)2(1)2nnn n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥1111122n n nn a a --++⇒=+*(,2)n N n ∈≥---------------------------------------------------------5分 1111122n n n n a a --++⇒-=*(,2)n N n ∈≥，令*1(1)()2n n nb a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =. ---------------------------------------------------------------------------------------------7分（Ⅲ））}{n b 成等差数列，1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=+-=.121(1)22n n n n b a +=+=；得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.--------------------------------------------------------------8分n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+++⋅- -----------①2n S =23325272(21)22n n n ⋅+⋅+⋅+++⋅- --------------------② ① - ② 得213222222(21)2n n n S n n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅+233222(21)2nnn n =++++-+⋅+ 14(12)3(21)212n n n n --=+-+⋅+- =(21)21nn n -+⋅+-.所以(21)21n n S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------------------------------12分.解法二：（Ⅱ）))((21*N n t a b n n n ∈+=且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数. 11111()()22n n n n n n b b a t a t +++-=+-+*()n N ∈1111(221)()22n n n n n a t a t ++=+++-+*()n N ∈111112222n n n n n n t ta a ++=++--*()n N ∈ 1112n t+-=+*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.---------------------------------7分21. （本题小满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=.（Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F AF 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b 22||=，13||||21：：=，∴ab 213||=∴a a b 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .-----------------------------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=，代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=，--------------------------------------------------------------5分F AF 222λ=，bx b y y 020223-=-=λ.--------------------------------------------------7分同理bx b 0123+=λ，∴621=+λλ------------------------------------------------------9分 ②当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ；当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.综上可知21λλ+是定值 6.---------------------------------------------------------------12分22. （本题小满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线. （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）解：（Ⅰ）1)0(),1ln(12)(2=+++-=f x x ax x f ,11)22(21122)(2'+--+=++-=x x a ax x ax x f , 1)0('=f ，切点)1,0(P ，l 斜率为1-.∴切线l 的方程：1+-=x y ------------------------------------------------------３分（Ⅱ）切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点等价于方程1)1ln(122+-=+++-x x x ax 有且只有一个实数解.令)1ln()(2++-=x x ax x h ，则0)(=x h 有且只有一个实数解.---------------------------4分 ∵0)0(=h ，∴0)(=x h 有一解0=x .------------------------------------------------------5分1)]121([21)12(21112)(2'+--=+-+=++-=x a x ax x x a ax x ax x h --------------------------------６分 ①)(),1(01)(,212'x h x x x x h a ->≥+==在),1(+∞-上单调递增， ∴0=x 是方程0)(=x h 的唯一解；------------------------------------------------------7分 ②0)(,210'=<<x h a ，0121,021>-==ax x∴0)11ln(11)1(,0)0()121(2>++-⨯==<-a a aa a h h a h ， ∴方程0)(=x h 在),121(+∞-a上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一；--------------------8分③当0)(,21'=>x h a ，)0,1(121,021-∈-==ax x∴0)0()121(=>-h ah ，而当1->x 且x 趋向-1时，)1ln(,12++<-x a x ax 趋向∞-，)(x h 趋向∞-. ∴方程0)(=x h 在)1211(--a，上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一.综上，当l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点时，21=a .-------------------------10分（Ⅲ）11)22(2)(2'+--+=x x a ax x f ；∵,1->x ∴0)('<x f 等价于01)22(2)(2<--+=x a ax x k .∵0)1(48)22(22>+=+-=∆a a a ，对称轴12121422->+-=--=aa a x ，011202(2)1(>=---=-a a k ，∴0)(=x k 有解21,x x ，其中211x x <<-.∴当),(21x x x ∈时，0)('<x f .所以)(x f y =的减区间为],[21x x22122121211214)222(4)(aa a a x x x x x x +=⨯+--=-+=---------------------------12分当)(*N n n a ∈=时，区间长度21211n x x +=-21112=+≤ ∴减区间长度12x x -的取值范围为)2,1(--------------------------------------------------14分。

2015年高考模拟试卷(理)及参考答案

2015年高考模拟试卷（理）一、选择题（每小题5分，共60分,每小题且只有一个选项符合题目要求）1. 集合{{}11)},2(2>-∈=-=∈=x R x N x x g y R x M 则下列结论正确的是（）. A.N M ⊆ B.)(N C M R ⊆ C.N M C R ⊆)( D.)()(N C M C R R ⊆ 2. 若复数211ii a -+-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a 的值为（）. A.-1 B.0 C.1 D.23. 设非零向量,,===+，则,,的夹角为（）. A.150° B.120° C.60° D.30°4. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（）. A.31 B.41 C.51 D.61 5. 已知等差数列b a ,1,，等比数列5,2,3++b a ，则该等差数列的公差为（））. A.3或-3 B.3或-1 C.3 D.-3 6. 将函数)4(cos 22π+=x y 的图象沿x 轴向右平移a 个单位)0(>a ，所得到图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（）. A.π B.43π C.2π D.4π 7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（） A.29 B.3 C.4 D.21038. 已知F 是抛物线x y =2的焦点，B A 、为抛物线上的两点，且3=+BF AF ，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为（）.A.45B.47C.23D.439. 运行右边的程序框图，输出S 的值为（）.A.0B.3C.23 D.23- 10.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 作圆222a y x =+的两条切线，切点分别为B A 、，双曲线左顶点为M ，若150=∠AMB ，则该双曲线的离心率为（）.A.3B.2C.36 D.332 11.已知三棱锥ABC O -中，C B A 、、三点在以O 为球心的球面上，若ABC BC AB ∠==,1120=，三棱锥ABC O -的体积为45，则球O 的表面积为（）. A.332πB.π16C.π64D.544π 12.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对R x ∈∀，有)1()()2(f x f x f -=+且当]3,2[∈x 时，)(x f =221218x x -+-，若函数()log (1)a y f x x =-+在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（）.A.B.C.D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知函数)1(1255)(>-+-=x x x x f 的最小值为n ，则二项式n xx )1(-展开式中2x 项的系数为 .（用数字作答）14.已知不等式组,,,y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域S 的面积为4，点S y x P ∈),(，则2z x y =+的最大值为 .15.已知数列}{n a 满足211112311,+(),(*),+4+4++44n n n n n n a a a n N S a a a a -+==∈=，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得=∙-n nn a S 45 .16.已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间1,2（）内任取两个实数q p ,且q p ≠，不等式1)()(>--qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边长分别是c b a 、、，又B b cos 是C a cos 和A c cos 的等差中项.（1）求角B 的值；（2）当ABC ∆的外接圆面积为π时，求ABC ∆面积的最大值.18.（12分）如图，菱形ABCD 的边长为6，O BD AC BAD ==∠ ,60.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥,ACD B -点M 是棱BC 的中点，.23=DM （1）求证：⊥OD 平面ABM ；（2）求二面角D BC A --的余弦值。

2015届高三模拟考试数学试题(理科)1

2015届高三模拟考试数学试题（理科）本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足i z i +=-7)21(，则复数=z A ．1+3iB ． l -3iC ．3+ iD ．3-i2．下列命题中的假命题是（A ）0,>∈∀xe x R （B ）0,2>∈∀x x N （C ）1ln ,<∈∃x x R（D ）12sin,*=π∈∃x x N 3．“a = -1”是“直线a 2x - y +l = 0与直线x -ay -2 = 0互相垂直”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4．函数xx y )21(|log |2-=的零点个数是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）45．在6)2(xx -的二项展开式中常数项是（A ） -120（B ） -60（C ） 120（D ） 606．函数sin cos y x x x =+的图象大致是7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）534（B ）38（C ）54 （D ）34 8．定义行列式运算()12343sin 2142 3.1cos2a a xa a x a a a a f x =-=将函数的图象向右平移()0m m >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值为A.12π B.6π C.3π D.23π 9．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的顶点恰好是椭圆15922=+y x 的两个顶点，且焦距是36，则此双曲线的渐近线方程是（A ）x y 21±= （B ）x y 22±= （C ）x y 2±= （D ）x y 2±=10．.若()1,2,3,,i A i n AOB =⋅⋅⋅∆是所在的平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r.给出下列说法： ①12n OA OA OA OA ==⋅⋅⋅==u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u r ； ②1OA u u u u r 的最小值一定是OB u u u u r ；③点A 、i A 在一条直线上；④向量i OA OA OB u u u r u u u r u u u r及在向量的方向上的投影必相等.其中正确的个数是 A.1个 B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．11．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入．12．八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有________种(填数字) ．13．过抛物线x y 42=的焦点且倾斜角为60°的直线被圆034422=+-+y x y x 截得的弦长是．14．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球直径为6，底面边长AB =1，则侧棱BB 1与平面AB 1C 所成角的正切值为． 15.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=,0,4,0,)(2x x x x x x f 若1|)(|-≥ax x f 恒成立，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知向量.)()(),23,(sin ),1,(cos m n m n m ⋅-=-=-=x f x x （I ）求函数f (x )的单调增区间；（Ⅱ）已知锐角△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．其面积3=S ，42)8(-=π-A f ，a =3，求b +c 的值．17．（本小题满分12分）如图，在几何体ABC -A 1B 1C 1中，点A 1,B 1,C 1在平面ABC 内的正投影分别为A ,B ,C ，且AB ⊥BC ,AA l =BB 1 =4,AB =BC =CC l =2，E 为AB 1中点．（I ）求证：CE ∥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求二面角B 1—AC l —C 的大小．18．（本小题满分12分）已知各项均不为零的数列}{n a ，其前n 项和S n 满足n n a S -=2；等差数列}{n b 中b l =4，且b 2 -1是b 1 -1与b 4-1的等比中项．（I ）求a n 和b n ；（Ⅱ）记nnn a b c =，求}{n c 的前n 项和T n ． 19．（本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T ，其范围为]10,[0，分别有五个级别：)2,0[∈T 畅通；)4,2[∈T 基本畅通；)6,4[∈T 轻度拥堵；)8,6[∈T 中度拥堵；]10,8[∈T 严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示：（I ）这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（Ⅱ）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望．20．（本小题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为22,P 是椭圆上一点，且△P F 1F 2面积的最大值等于2．（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线y =2上是否存在点Q ，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21、已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()xg x e '=，且(0)(1)g g e '=，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x x<成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．2015届高三模拟考试数学试题（理科答案）一、选择题（每小题5分，共50分） BBACD ABCCB二、填空题（每小题5分，共25分） 11．K ＜10?12.2413．3714．4215. ]0,6[- 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）解：（I ）),21,sin (cos x x -=-n m Θm n m ⋅-=∴)()(x f21cos )sin (cos --=x x x …………………………………………2分 x x x x x 2sin 212cos 2121cos sin cos 2-=-⋅-= ．)42cos(22π+=x ………………………………………………4分 ,,2422Z ∈π≤π+≤π-πk k x k 令……………………………………5分 ,,885Z ∈π-π≤≤π-πk k x k 则 ).](8,85)(Z ∈π-ππ-π∴k k k x f 的增区间为［………………………………6分（Ⅱ）,212cos ,42)442cos(22)8(-=∴-=+-=-A A A f πππ.3.322,20,20ππππ=∴=∴<<∴<<A A A A Θ………………………………8分 .4,343sin 21ABC =∴=⋅=⋅=∆bc bc A bc S Θ由余弦定理得A bc c b a cos 2222⋅-+=.922bc c b -+=∴…………………………………………………………………10分 ,21392)(222=+=++=+bc bc c b c b 又.21=+∴c b …………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（I ）由题知AA 1⊥面A BC ，BB 1⊥面ABC ，.////.⊥1111CC BB AA ABC CC ∴面………………………………………………1分取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1，ΘE 为AB 1中点， ∴EF21A 1A ．111,2,4CC CC AA ∴==Θ,211A AEF∴.1CC ∴四边形EF C 1C 为平行四边形，.//1F C CE ∴…………………………………………………………………………4分，面，面11111111.C B A F C C B A CE ⊂⊄Θ.//111C B A CE 面∴……………………………………………………………………5分（Ⅱ）由题知，，面，又AC BB AB BB ABC BB BC AB ⊥⊥∴⊥⊥111,,Θ 分别以BA ,BC ,BB 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴．建立如图所示空间直角坐标系．则),2,2,0(),4,0,0(),0,2,0(),0,0,2(11C B C A),2,0,0(),0,2,2(1=-=∴CC AC).2,2,0(),4,0,2(111-=-=C B AB ………………………………………………………7分设平面ACC 1法向量).,,(111z y x =m则,0,01=⋅=⋅CC AC m m令1x =1，得).0,1,1(=m设平面A 1B 1C 法向量为),,,(222z y x =n 则.0,0.111=⋅=⋅C B AB n n⎩⎨⎧===⎩⎨⎧=-=+-∴,121,0220422222222y x z z y z x ，则令 ).1,1,2(=∴n …………………………………………………………………………10分23||||,cos =⋅=∴n m n m n m 由图知，二面角B 1-A 1C －C 是钝角，∴二面角B 1-A 1C －C 大小为150°.………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（I ）对于数列 {a n }由题知⋅-=πa S n 2① 当n ≥2时，,211---=n n a S ② ① ②两边相减得),2(11≥+-=---n a a S S n n n n ……………………………………………………1分即),2(2,11≥=∴+-=--n a a a a a n n n n n).2(21,01≥=∴=/-n a a a n n n Θ…………………………………………………………2分又}{,1,21111n a a a S a ∴=∴-==是以1为首项，以21为公比的等比数列， 1)21(-=∴n n a ,…………………………………………………………………………3分设等差数列}{n b 的公差为d ．由题知).1)(1()1(4122--=-b b b ……………………………………4分又∵b 1=4,b 2=4+d ,b 4=4+3d ,⎩⎨⎧==+-∴,2022111z y x),33(3)3(2d d +=+∴解得d =0或d =3．当d =0时，b n =4；当d =3时，b n =3n+1．……………………………………6分（Ⅱ）当b n =4时,,22411+-=⋅==n n nn n a bc.4221)21(42-=--=∴+n n n T ……………………………………7分当13+=n b n 时，12)13(-⋅+==n nn n n a bc此时,2)13(21027241210-⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T Λ③,2)13(2)23(2724221n l n n n n T ⋅++⋅-++⋅+⋅=-Λ④…………8分③ －④得－nn n n T 2)13()222(34121⋅+-++++=-Λn n 2)13(21)21(2341*⋅+---⋅+=-n n n 2)13(6234⋅+--⋅+= .22)32(-⋅-=n n.2)23(2n n n T ⋅-+=∴………………………………………………………………11分综上，b n =4时，.2)23(2,13;422n n n n n n T n b T ⋅-+=+===+时………………12分 19．（本小题满分12分）解：（I ）由直方图得：轻度拥堵的路段个数是（0.1+0.2）×1×20=6个；……………2分中度拥堵的路段个数是（0.3+0.2）×1×20 =10个．…………………………………………4分（II ）X 的可能值为0,1,2,3．………………………………………………………………5分则,3815)1( 192)0(320210110320310010======C C C X P C C C X P ………………………7分 ⋅======192)3( 3815)2(3201031032110210C C C X P C C C X P o …………………………9分 ∴X 的分布列为………………………………………10分⋅=⨯=⋅==⨯+⨯+⨯+⨯=∴232010323192338152381511920N M n EX EX 或…………12分 20．（本小题满分13分）解：（I ）因为点P 在椭圆上．所以.P b y b -≤≤ 因此，当∆=时，b y P ||PF 1F 2面积最大，且最大值为2221||||2121==⋅⋅=⋅bc b c y F F P 又离心率为22，即⋅=22ac …………………………………………………………2分由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+===222222c b a ac bc 解得 .24222===c b a ，所求椭圆方程为.12422=+y x …………………………………………………………4分（II ）假设直线y=2上存在点Q 满足题意，设(,2)Q m ．显然，当2m =±时．从Q 点所引的两条切线不垂直,…………………………………6分当2m ≠时，设过点Q 向椭圆所引的切线l 的斜率为k ，则l 的方程为()2y k x m =-+由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,124,2)(22γx m x k y 消去y ，整理得.04)2(2)2(4)21(222=--+--+mk x mk k x k …………………………………8分 ,0]4)2(2)[21(4)2(162222=--+--=∆mk k mk k Θ所以.024)4(22=+--mk k m （*） ……………………………………………10分设两切线的斜率分别为k 1,k 2，显然k 1,k 2是方程（*）的两根，故.142221-=-=m k k解得2±=m ，点Q 坐标为)2,2(或),2,2(- …………………………12分因此，直线y =2上存在两点)2,2(和)2,2(-满足题意，…………………………13分 21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >．当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数，()f x 没有极值；……………1分当0a <时，1()()a x a f x x+'=，若1(0,)x a ∈-时，()0f x '>；若1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<()f x ∴存在极大值，且当1x a =-时，11()()ln()1f x f a a=-=--极大综上可知：当0a ≥时，()f x 没有极值；当0a <时，()f x 存在极大值，且当1x a=-时，11()()ln()1f x f a a=-=--极大 …………………………………………………………4分(Ⅱ) Q 函数()g x 的导函数()xg x e '=，()xg x e c ∴=+Q (0)(1)g g e '=，(1)c e e ∴+=0c ⇒=，()x g x e =……………………………………5分 Q (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立， ∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e <-成立，令()3h x x e =-，则问题可转化为：max ()m h x <对于()3h x x e =-，(0,)x ∈+∞，由于()1xh x e '=-，当(0,)x ∈+∞时，Q 1xe >≥=1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴<………………………………………………………………………………………9分(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--，∴1()xx e xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数设()0x ϕ'=的根为x t =，则1te t=，即t t e -=·11· Q 当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-Q (1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=<，1(,1)2t ∴∈ 由于()2t t e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022t x t e t e ϕϕ∴==+->+->-= ()()2f x g x ∴<- …………………………………………………………………………14分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

凯里一中2015届高三模拟考试理科数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合}2|{2-==x y y A ，集合}1|{2-==x y x B ，则有A. B A =B. φ=B AC. A B A =D. A B A =2.已知R a ∈，i 是虚数单位，iia -+1是纯虚数，则a 等于A.1B.1-C. 2D. 2-3.下列命题正确的是A.命题“4,2-∈∃x R x 使得＜0”的否定是“04,2>-∈∀x R x 均有”B.命题“若1,12≠≠x x 则”的否命题是“1,12==x x 则” C.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 D.命题“若y x cos cos =,则y x =”的逆否命题是真命题 4.如图1所示的程序框图，若两次输入的x 值分别是π3和3π-，则两次运行程序输出的b 值分别是A.1，23 B ．0， 23 C. π－，23－ D. π3，23－5.设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题： αβα//,)1(m ⊥若，β⊥m 则；βαβαm//,,)2(则若⊥⊥m ； ααn//,,)3(则若n m m ⊥⊥ ； αββα//,n ,)4(则若⊥⊥n其中，真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D.4 6.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n 2S 2n +=，则=n a A. 122+n B. 22+n C. 12+n D. 32+n 7. dx x xa ⎰-=212)23(设，则=aA.12B.4C.-12D.-48.已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤+002422y y x y x ，则目标函数z =2x +y 的最大值是A. 5B. 52C. 3D. 329.若双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线与圆1)2(22=-+y x 至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是A.(]2,1B. [)∞+，2C. ](3,1D. [)∞+，310.a 、b 、c 均为正实数，且a a 21log 2=，b b 21log )21(=，c c 2log )21(=，则a 、b 、c 的大小顺序为A. b c a <<B. a c b <<C.a b c <<D.c b a <<图2俯视图侧视图主视图11.从6人中选4人分别到省内黄果树、小七孔、西江苗寨、梵净山游览，要求每个地点有一人游览，每人只游览一个地点，且在这6人中甲、乙不去西江苗寨游览，则不同的选择方案共有 A.300种 B.240种 C.144种 D.96种12.已知偶函数f (x )满足f (x +1)=f (x -1),且当[]时，1,0∈x 2)(x x f =，则关于x 的方程xx f -=2)(在[]5,5-上根的个数是A.4个B. 6个C.8个D.10个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(]为则若向量x x x ,),2,0(),1,2(),1,(sin ⊥∈-==π . 14.已知函数131)(23+++=x ax x x f 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 15.一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体的体积为 . 16.对于*∈N n 的命题，下列四个判断中正确命题的个数为 .1)1(,2...221)(12=++++=f n f n 则）若（； 21)1(,2...221)()2(12+=++++=-f n f n 则若；31211)1(,121...31211)()3(++=+++++=f n n f 则若；131...2111)()4(++++++=n n n n f 若，则11431331231)()1(+-++++++=+k k k k k f k f三．解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 的一系列对应值如下表：(I)求)(x f 的解析式；(II)在ABC ∆中，若2=AC ，3=BC , ，2)(-=A f 求ABC ∆的面积。

18.（本小题满分12分）如图3，长方体中，1111D C B A ABCD -11==AA AD ,2=AB ，点E 是AB 的中点。

(I)11AED C B 平面求证：⊥； (II)的大小。

求二面角C E D A --1ECBAD C 1A 1某学校高一年级为了解学生在一次数学考试中的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分是100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90的分组作出如图4甲所示的频率分布直方图和图乙所示的样本分数茎叶图（图乙中仅列出了得分在[)60,50，[]100,90的数据）。

(I)求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；(II)在选取的样本中，从考试成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学为其他同学作交流，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[)90,80的学生个数，求ξ的分布列及数学期望。

甲x y 0频率组距成绩（分）茎叶图乙3 41 2 3 4 5 6 7 8 956789叶茎20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,1(F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距。

(I)求椭圆C 方程；(II)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,，是否存在直线l ，使得BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

已知函数x x e e x f --=)(，其中e 是自然对数的底数。

(I)证明：)(x f 是R 上的奇函数；(II)若关于x 的不等式），在（∞+--≤-01)(m e x mf x 上恒成立，求实数m 的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.（本小题满分10分））【选修4—1：几何证明选讲】已知直线PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 和点C ，APC ∠的平分线分别交AC AB ,于点D 和E .(I)证明：AED ADE ∠=∠； (II)若AP AC =，求PAPC的值.23.（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程为θθρ2sin cos 4=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数） (I)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l 的参数方程化为普通方程； (II)求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.24.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知函数16896)(22++++-=x x x x x f .(I)求)4()(f x f ≥的解集； (II)设函数)3()(-=x k x g ，R k ∈，若)()(x g x f >对任意的R x ∈都成立，求实数k 的取值范围.图5FC凯里一中2015届高三模拟考试理科数学试卷答案13、6π或65π 14、),1()1,(+∞--∞ 15、31 16、③④三、解答题 17、（本小题满分12分） (I)由图表知，周期πππωπ=-==4432T ，解得2=ω；…………………2分又由第一关键点)0,4(π-，得0)4(2=+-⨯ϕπ，解得2πϕ=；…………………4分x x x f 2cos )22sin()(=+=∴π；所求x x f 2cos )(=…………………………………………………………6分(II) ①在ABC ∆中，21)(-=A f ，得212cos -=A ，由π<<A 0，则π220<<A ，所以322π=A 或342π=A ，解得3π=A 或32π=A .……8分②由余弦定理得，A AB AC AB AC BC cos 2222⨯⨯⨯-+=，而2=AC ,3=BC ；当3π=A 时，得3cos2223222π⨯⨯⨯-+=AB AB ，解得16+=AB ,此时23233sin 21+=⨯⨯⨯=∆πAB AC S ABC ；…………………………10分当32π=A 时，得32cos 2223222π⨯⨯⨯-+=AB AB ，解得16-=AB ,此时232332sin 21-=⨯⨯⨯=∆πAB AC S ABC ；综上，所求A B C ∆的面积为2323+或2323-………………………………………12分 18、(I)如图，因为1111D C B A ABCD -为长方形，以D 为坐标原点，DA 为x 轴的正半轴，DC 为y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由题知，)0,0,1(A ，)0,1,1(E ，)1,0,0(1D ,)0,2,0(C ,)1,2,1(1B ；所以)1,2,1(1--=→C B ；设平面1AED 的一个法向量为),,(1z y x n =→，)0,1,0(=→AE ，)1,0,1(1-=→AD；由⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙→→→→00111AD n AE n ，则⎩⎨⎧=⨯+⨯+⨯-=⨯+⨯+⨯01010010z y x z y x ，令1=x ，求得)1,0,1(1=→n ； ECBA D C 1A 1→→-=11n C B ，所以，AED C B 平面⊥1成立. ……………………………………6分 (II) 设二面角C E D A --1的平面角为[]πθ,0∈，由(I) 平面1AED 的一个法向量为)1,0,1(1=→n ；同理可求平面EC D 1的一个法向量为)2,1,1(2---=→n ；23)2()1()1(101)2(1)1(0)1(1||||cos 2222222121-=-+-+-⨯++-⨯+-⨯+-⨯=⋅∙=∴→→→→n n n n θ，所以65πθ=所以，所求二面角C E D A --1的平面角为65π……………………………………12分 19、(I)由频率分布直方图和茎叶图知在[)60,50的频数为8，频率为16.0， 16.08=∴n，解得50=n ；…………………………2分由在[]100,90的频数为2，频率为y 10，y 10502=∴，解得004.0=y ；…………………………4分又104.010.040.01016.0=++++x ，解得03.0=x ；故所求50=n ；03.0=x ；004.0=y .…………………………6分 (II) 在区间[)90,80的学生人数为：55010.0=⨯（人）；在区间[]100,90的学生人数为：2人；所以ξ的所有取值的可能为1，2，3.71)1(372215=⨯==C C C P ξ；74)2(371225=⨯==C C C P ξ；72)3(370235=⨯==C C C P ξ ξ的分布列为ξ的数学期望：7737271=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………12分20、(I) 由题知⎪⎩⎪⎨⎧==+=c a c c b a 21222，解得42=a ，32=b ；所求椭圆C 的方程为13422=+y x …………………………4分 (II)①当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为1=x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=134122y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==23111y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-==23122y x ，即)23,1(M ，)23,1(-N ，而)3,0(B ，)0,1(F ；易知BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1；所以，直线1=x 满足题意. …………………………7分②当直线l 的斜率存在时，设为k ，此时直线l 的方程为)1(-=x k y ，设),(11y x M ，),(22y x N由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去x 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，所以2221438k k x x +-=+，BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1；则F 为MN 的中点；所以1221=+x x ，即24382221=+-=+kk x x ，化简得0382=+k ，此方程无解. ………………11分综上，直线l ：1=x ，使得BFM ∆与BFN ∆的面积之比为1成立. ………………12分 21、(I))(x f 的定义域为R ………………1分)()()(x f e e e e x f x x x x -=--=-=---所以，)(x f 是R 上的奇函数…………………………4分(II) 因为0>x ，所以1>xe ，故01)(2>-+x x e e ；由1)(--≤-m e x mf x 得1)(--≤---m e e e m x x x ，即1)1(-≤+---x x x e e e m化简得[]xxx e e e m -≤-+11)(2，即1)(12-+-≤xx xe e e m 恒成立，即求1)(1)(2-+-=xx xe e e x g 的最小值即可. ………………………7分令xe t =，由0>x ，得1>t ，得11)(2-+-=t t t t g ；22')1()2()(-+-=t t t t t g （1>t ），令0)('=t g ，解得2=t ；令0)('>t g ，解得2>t ；令0)('<t g ，解得21<<t ；所以)(x g 的单调递减区间为)2,1(，)(x g 的单调递增区间为),2(+∞，所以)(x g 的最小值为5112221)2(2-=-+-=g ；综上，∴所求实数m 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-51,.…………………………12分请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22、(I) PE 为APC ∠的平分线，∴BPD APD ∠=∠；又直线PA 是圆O 的切线，ACB PAB ∠=∠∴；又 BPD ACB AED ∠+∠=∠，APD PAB ADE ∠+∠=∠； ADE AED ∠=∠.…………………………………………5分 (II)过A 作BC AF ⊥于F ；BC 为圆O 的直径，ACB BAF ∠=∠∴，又ACB PAB ∠=∠ 由AP AC =，则ACB APC ∠=∠∴，而090=∠+∠+∠∴APB ACB BAF ，030=∠=∠=∠∴APB ACB BAF ；则23=PA PF ，得PA PF PC 32==，所求即3=PAPC.………………………………………10分图5F C23、(I) 由θθρ2sin cos 4=得θρθρcos 4sin 22=即x y 42=；由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数），消去参数t ，得01=-+y x ；曲线C 的直角坐标方程为x y 42=；直线l 的普通方程01=-+y x ；…………………5分 (II) 设直线l 交曲线C 于),(),,(2211y x B y x A ，则 ⎩⎨⎧==-+xy y x 4012，消去y 得，0162=+-x x ，621=+∴x x ，121=x x ； 843624)(1||212212=-⨯=-++=x x x x k AB所以，直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长为8.………………………10分24、(I) ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<--=++-=++++-=3,1234,74,12|4||3|16896)(22x x x x x x x x x x x x f ，由9)4()(=≥f x f ，则⎩⎨⎧≥---<9124x x 或⎩⎨⎧≥≤≤-9734x 或⎩⎨⎧≥+>9123x x ，解得5-≤x 或4≥x ；所以，所求)4()(f x f ≥的解集为{}45|≥-≤x x x 或…………………5分(II) 作出⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<--=++-=3,1234,74,12|4||3|)(x x x x x x x x f 的图象；直线)3()(-=x k x g 过定点)0,3(，若)()(x g x f >对任意的R x ∈都成立，则21≤<-k . 故所求实数k 的取值范围是(]2,1-………………………10分。