初中数学竞赛辅导“方程与函数”竞赛问题的简单剖析

①由 a,b, c 的对称性，假定 a ≥b ， a ≥c （当然也可假定 a b c ），既能简化问题，
又不失一般性；
-3-
②视 a 为常量，由 b c, bc 构造二次方程，由
0 获得 a 的范围 .
0 是一个隐含
在二次方程中的重要不等式，大有用处；
③解高次不等式 a 3 4a 2 4 a 16 0 用到了分解因式，分解因式时可借助 “试根法 ”．
所以，原方程组的解为
x 3,
只有 1 个解．故选 (A)．
y 9,
[点评 ]解决多元方程、 多变量问题的基本方法是消元 .本题为消元， 果断地对 x 的符号展开讨
论，去掉 x 中的绝对值符号，再转化为一元方程问题来达到求解的目的
.
[例 4]已知实数 a b ，且满足 (a 1) 2 3 3(a 1) ， 3(b 1) 3 (b 1) 2 .
1 11y 1 y 10 y 1 y
[解答 ]x=
=
5
5
5
1y
设
k (k 是整数），则 y
5
2y (1) 1 5k
， (2) ，
把（ 2）代入（ 1）得 x k 2(1 5k ) 11k 2
∴原方程所有的整数解是
x 11k 2 （ k 是整数）
y 1 5k
[点评 ]一般来说，在解不定方程时，常用系数中较小的数字去除方程中的各项，并将所得结
abx
1 (a
b)
2
解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明
.
0 是否有两个整数
[解答 ]不妨设 a ≤b ，且方程的两个整数根为
x1, x2 ( x1 ≤x2 )，则有
x1 x2 ab,
1
x1 x2
( a b), 2
所以 x1x2 x1 x2 1 a 1 b ab ， 4( x1 1)(x2 1) (2a 1)(2b 1) 5 . 22
则b b
a
a
的值为 (
).
a
b
(A)23
(B) 23
(C) 2
(D ) 13
2
[解答 ]∵ a, b 是关于 x 的方程 x 1 3( x 1) 3 0 的两个根，
整理此方程，得 x2 5 x 1 0，
∵
25 4 0 ，∴ a b 5， ab 1.故 a、 b 均为负数 .
因此 b b
a a
a
b
b
a
此时，一元二次方程为 x2 x 1 0 ，它无整数解 .
综上所述， 当且仅当 a ＝1， b ＝ 3 时，题设方程有整数解， 且它的两个整数解为 x1 1 ，
x2 2 ． [点评 ]①我们解决二次方程的整数根这类问题总是依赖于几个必要条件，如：两个之和为整 数、两根之积为整数、 是整数且是完全平方数等；
“方程与函数”竞赛问题的简单剖析
方程与函数是初中竞赛的主体内容之一， 方程与函数联系密切， 我们可以用方程思想解 决函数问题， 也可以用函数思想讨论方程问题， 在确定函数解析式中的待定系数、 函数图象
与坐标轴的交点、 函数图象的交点等问题时， 常将问题转化为解方程或方程组； 而在讨论方 程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．
2
x
(2
a) x
(2
a)2
4
4
≥０，
a
4
.
a 4 0的两实根， a
a3 4a 2 4a 16 ≥０， (a2 4)(a 4) ≥ 0.所以 a ≥ 4.
又当 a =4， b = c =-1 时，满足题意 .
故 a,b,c 中最大者的最小值为 4.
(2)因为 abc >0 ，所以 a,b, c 为全大于 0 或一正二负 . 若 a,b,c 均大于 0，则由 (1) 知， a, b, c 中的最大者不小于 4，这与 a b c 2 矛盾 .
ab
ab
a
b
a2 b2 ab
ab
a b 2 2ab ab
(B).
23. 选
-2-
[点评 ]设 x1, x2 是二次方程的根，则利用根与系数的关系，可以解决诸如
x1k
x2k
，
1 x1
1
，
x2
x2 x1 等问题，但要注意前提条件 x1 x2
0 .另外，有的竞赛试题还要求我们自己构造二次
方程，如本题构造根为 a, b 的方程 x 1 2 3(x 1) 3 0 .
因为 a ,b 都是正整数，所以 x1， x2 均是正整数，
于是， x1 1≥ 0,x2 1 ≥０， 2a 1 ≥ 1,2b 1≥１，
所以 (x1 1)(x2 1) 0, 或 （ x1 1)( x2 1) 1, (2a 1)(2b 1) 5, (2a 1)(2b 1) 1.
(1)当 ( x1
1)( x2
解得 m =9 ， 7， 10， 6． 经检验 m =9， 7， 10，6 时，方程组的解都是整数．
[点评 ] 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），
再解含待定系数的不等式或加以讨论，从而求出待定系数的取值
.
[例 7]已知 a ， b 都是正整数，试问关于
x 的方程 x2
复习这部分内容的有效方法是对照初中数学竞赛大纲，逐条训练、理解、掌握
.
下面选取一些试题对这部分内容作一些剖析， 以重难点、 解题方法为主线， 期望既能在
试题的剖析中领悟、消化这些方法，又能把握初中数学竞赛试题的脉络
.
[例 1]解绝对值方程 x 4 x 3 2 .
[解答 ]（1）当 x 4时，有 x 4 0, x 3 0, 所以原方程变为 x 4 x 3 2
1)
0,
时，由于 a , b 都是正整数，且
a ≤b，可得 a ＝ 1， b ＝ 3，
(2 a 1)(2b 1) 5
此时，一元二次方程为 x 2 3x 2 0 ，它的两个根为 x1 1 ， x2 2 ．
-4-
(2)当 ( x1
1)( x2
1)
1, 时，可得
a ＝ 1， b ＝ 1，
(2 a 1)(2b 1) 1
②本题的关键一步在 4( x1 1)(x2 1) (2 a 1)(2b 1) 5 . 这一步用到了 “局部因式分
解”，以及一个常见结论 mn m n 1 m 1 n 1 .接下来作整数分析，求四元不定方
程 4xy zw 5的自然数解 .
[例 8]已知抛物线 y ax2 bx c(a 0) 过 0,4 , 2, 2 两点，当抛物线在 x 轴上截得的
b
b
截出的距离公式为：
.
2a
2a
a
[例 9]二次函数 y
ax2
bx c ，当 x
1
时，有最大值
25，而方程 ax 2
bx
c
0 的两
2
根 、 ，满足 3 3 19 ，求 a 、 b 、 c .
-5-
[点评 ]因为抛物线 y
2
9
，即 a 时，抛物线在 x 轴上截得的线段最短，将
9
2
12
∴抛物线的解析式是 y 9 x2 12 x 4
2
9 a 代入
2
ax2 bx c(a 0) 过 0,4 , 2, 2 两点，故可将 a, b,c 用同一个字
母表示出来，再求出在 x 轴上截得线段的最小值 . 抛物线 y ax2 bx c(a 0) 在 x 轴上
x
x0
bk ，其中 k 是整数 .
y y0 ak
x y 12,
[例 3]方程组
的解的个数为 ( )．
xy6
(A)1
(B) 2
(C) 3
x y 12,
[解答 ]若 x ≥０，则
于是 y y
x y 6,
( D )4
6 ，显然不可能．
x y 12, 若 x 0 ，则
x y 6,
于是 y y 18 ，解得 y 9 ，进而求得 x 3 ．
[例 5]已知实数 a,b,c 满足： a b c 2, abc 4.
(1)求 a,b,c 中的最大者的最小值； (2) 求 a b c 的最小值 .
[解答 ] (1)不妨设 a 是 a,b,c 中的最大者，即 a b,a c ，
由题设知 a 0 ，且 b c 2 a ， bc
于是 b,c 是一元二次方程
线段最短时，求这时的抛物线解析式 .
[解答 ]∵抛物线过 0,4 , 2, 2 两点，∴代入解析式得 b 2a 3,c 4
所以 y ax2 bx c ax2 (2a 3)x 4
∴此抛物线在 x 轴上截得的线段长可表示为
2
2a 3 16a a
49 4 a a2 (a 0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
4
∴当
a 29
b 2a 3 ，得 b
果中的整数分离出来 .这种解法一般都适合于所有的二元一次不定方程
.有时我们容易观察到
-1-
二元一次方程的一组特解，比如例
x2
2.通过观察发现
是方程 5x+11 y=1 的一组特解，
y1
这时我们可以得到以下的规律： 在 ax+by=c 中， 若系数 a 与 b 互质， 且该方程有一组整数解
x x 0 ，则此方程的所有整数解可以表示成 y y0
若 a,b,c 为一正二负，设 a >0， b <0， c <0，
则 a b c a b c a (2 a) 2a 2 , 由 (1)知 a ≥４，故 2a 2 ≥６，当 a =4， b = c =-1 时，满足题设条件且使得不等式等号成
立.
故 a b c 的最小值为 6.
[点评 ]本题的三个关键点值得我们借鉴：
解得： x
9
,满足条件， 即是该方程的解
（. 2）当 3
x
4时，有 x
4 0, x 3
0,
2
所 以 原 方 程 变 为 4 x x 3 2 ， 得 1=2 ， 不 存 在 . （ 3 ） 当 x 3 时 ， 有
x 4 0, x 3 0,所以原方程变为 4 x 3 x 2，解得： x
即是该方程的解 .综上所述，原方程的解为
9
5
x 或x .
2
2
5
, 满足条件，
2
[点评 ]解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用
“零点分段法 ”即．
x 4 0, x 3 0, ，分别求得 x 4, x 3, ，用 3，4 将数轴分成三段 x 4 ， 3 x 4 ，
x 3 ，然后在每一段上去掉绝对值符号再求解 .
[例 2]求方程 5x 11y 1的整数解 .
[例 6] m 取何整数值时，方程组
2x my 4 的解 x 和 y 都是整数？
x 4y 1
[解答 ]把 m 作为已知数，解方程组得
8 x1
m8 2 y m8
∵ x 是整数，∴ m － 8 取 8 的约数 ±1， ±2， ±4， ±8．
∵ y 是整数，∴ m － 8 取 2 的约数 ±1， ±2．
取它们的公共部分， m －8＝ ±1， ±2．