2014年全国高考新课标卷I理科数学试题(含答案)word版

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I （河南、河北、山西）
理科数学
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2
230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --
3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是
A .()f x ()g x 是偶函数
B .|()f x |()g x 是奇函数
C .()f x |()g x |是奇函数
D .|()f x ()g x |是奇函数
4.已知F 是双曲线C ：22
3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3 B .3 C .3m D .3m
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日
都有同学参加公益活动的概率
A .18
B .38
C .58
D .78
6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边
为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为
7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =
A .203
B .165
C .72
D .158
8.设(0,)2πα∈，(0,)2
πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32π
αβ-= B .22π
αβ-= C .32π
αβ+= D .22π
αβ+=
9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩
的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,
3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.
其中真命题是
A .2p ，3p
B .1p ，4p
C .1p ，2p
D .1p ，3p
10.已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r ，则||QF =
A .72
B .52
C .3
D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为
A .（2，+∞）
B .（-∞，-2）
C .（1，+∞）
D .（-∞，-1）
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三
视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A .62
B .42
C .6
D .4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.8()()x y x y -+的展开式中22
x y 的系数为 .(用数字填写答案)
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .
15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2
AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为 . 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，
则ABC ∆面积的最大值为 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.
（I ）证明：2n n a a λ+-=；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.
18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2
δ近似为样本方差2s .
（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；
（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，学
科网记X 表示这100件产品中质量指标值为于区
间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，
求EX .
附：150≈12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.
19. (本小题满分12分)如图三棱锥111ABC A B C -中，
侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.
（I ）证明：1AC AB =；
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=Bc ，求二面角111A A B C --的余弦值.
20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为3，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为
233
，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程. 21. (本小题满分12分)设函数1
(0ln x x
be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+. （I ）求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE (Ⅰ)证明：∠D=∠E ；学科网
（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，
求||PA 的最大值与最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若0,0a b >>，且
11ab a b +=. （I ） 求33a b +的最小值；
（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 答案 1—5ADCAD 6—12 CDCBBCB 13．－20 14．A 15．90° 16
17．【解析】：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减
()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分 （Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+
假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知
数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则12
n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =-
令2,n m =则2
n m =，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=
因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分
18．【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为
1700.021800.091900.222000.33
2100.242200.082300.02200
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33
100.24200.08300.02
s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 150= …………6分
（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z ～(200,150)N ，从而 (187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+= ………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826
依题意知(100,0.6826)X B :，所以1000.682668.26EX =⨯= ………12分
19．【解析】：(Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥又 1B O CO =，故1AC AB = ………6分
（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 又因为AB=BC ，所以BOA BOC ∆≅∆
故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直．
以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，
建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ． 因为0160CBB ∠=，
所以1CBB ∆为等边三角形．又AB=BC ，则 30,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，130,,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
1330,,33AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，1131,0,,3A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r 1131,,03B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝
⎭u u u u r u u u r 设(),,n x y z =r 是平面的法向量，则
11100
n AB n A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u u r g ，即33033303y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
所以可取()1,3,3n =r 设m u r 是平面的法向量，则111100
m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u u r g r u u u u r g ，同理可取()
1,3,3m =-u r 则1cos ,7n m n m n m ==r u r r u r g r u r g ，所以二面角111A A B C --的余弦值为17. 20．【解析】(Ⅰ) 设(),0F c ，由条件知2233c =，得3c = 又32
c a =，
所以a=2，222
1b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. ……….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y
将2y kx =-代入2
214
x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即2
34k >时，21,22824314k k x k ±-=+ 从而2221224143114k k PQ k x x k +-=+-=+g
又点O 到直线PQ 的距离221d k =
+，所以∆OPQ 的面积221443214OPQ k S d PQ k ∆-==+ ， 设243k t -=，则0t >，244144OPQ t S t t t
∆==≤++， 当且仅当2t =，72
k =±时等号成立，且满足0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：722y x =- 或722
y x =--. …………………………12分 21．【解析】(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x --'=+
-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b == ……………6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，12()ln x x
e f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e ->- 设函数()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为
11()g e e =-. ……………8分 设函数2()x h x xe e
-=-，则()()1x h x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()
1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值为1(1)h e
=-. 综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. ……12分
22．【解析】.(Ⅰ) 由题设知得A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠D=∠CBE ，由已知得，∠CBE=∠E , 所以∠D=∠E ……………5分
（Ⅱ）设BCN 中点为，连接MN,则由MB=MC ,知MN ⊥BC 所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故OM ⊥AD ， 即MN ⊥AD ，所以AD//BC,故∠A=∠CBE ， 又
∠CBE=∠E ，故∠A=∠E
由(Ⅰ)（1）知∠D=∠E ， 所以△ADE 为等边三角形． ……………10分
23．【解析】.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）， 直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分
（Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为
54cos 3sin 65
d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3
α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 225； 当()sin 1θα+=时，||PA 25 …………10分 24．【解析】(Ⅰ) 11ab a b ab
=+≥，得2ab ≥，且当2a b == 故333332a b a b +≥=g ，且当2a b ==33a b +的最小值为42分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知：232643a b ab +≥≥，
由于6，从而不存在,a b ，使得236a b +=. ……………10分
合建契约书
立契约书人x x x（以下简称甲方），x x x（以下简称乙方），兹因合作兴建房屋事宜，经双方协议，同意订定各条款如下：
第一条甲方所有坐落x x x x地号土地一笔，如附图所示，约x x平方米。

愿提供与乙方合作兴建房屋。

第二条本约甲方所提供的土地双方协议同意兴建四层钢筋混凝土造和集合住宅，除依法应设置的公私道路用地外，其余可建土地，乙方应依法合理充分利用。

第三条本约双方合作兴建房屋，其土地规划，建筑设计，请领建造执照，营造施工及有关的风险等，均由乙方负责处理并负完全责任，其各类费用亦由乙方负担，概与甲方无涉。

乙方营造施工过程中，甲方得随时亲自派员监督。

第四条本约甲乙双方按附图所示的拟建房屋为准，采立体分屋方式，由甲方取得百分之x x ，乙方取得百分之x x 。

若双方分取的房屋户数未能整数时，其间的差额，可经双方的同意，由取得之一方按协议价格以现金补偿对方。

第五条本约有关建造设计文件图说应征求甲方同意，并按前条双方分配的位置，标明于图说上，各自具名或指定第三人为起造人，由乙方负责提出申请建造执照。

第六条本约兴建房屋事宜，均依现行建筑法规办理，若法规变更而受限制时，则依变更后的法规办理。

第七条凡畸零地及水利地的合并承买等事宜，均由甲方备齐所需证件并由乙方负责办理。

惟费用由甲方负担，产权亦归属甲方所有。

第八条本约土地的地上物由乙方负责处理，惟甲方应从旁协助。

地上物理清之日起一个月内，乙方应提出申请建造执照，乙方并应先期通知甲方备齐请照所需的有关证件交付乙方。

第九条本约乙方应于领取建造执照之日起二个月内开工，于开工之日起x x x个工作天内建筑完竣，于建筑完竣后x x 月内领得使用执照，并以接输水电完妥之日为完工日。

第十条本约甲方应于乙方工程进度至一楼顶板完成时办理基一合并、分割、地目变更等手
续，其的需的各项费用，由双方各半负担。

乙方工程进度至三楼顶板完成时，双方会同办理乙方他得房屋的应有基地持分产权移转登记。

其所需的各项费用由乙方负担，增值税由甲方负担。

第十一条本约保证金为人民币x x 元整，于本约签订时，由乙方一次交付甲方，甲方应于本约第九条所定的完工日，一次无息返还全部保证金与乙方。

以支票为保证金的交付或返还，若各该支票一部分或全部不能兑现时，则以违约论处。

第十二条甲乙双方就切实照约履行，如甲方违约时，甲方除将所收的保证金加倍全部退还（无息）与乙方外，同时并须赔偿乙方已施工之工程损失及其他因该工程而支出之一切费用（可由乙方另列清册），如乙方违约时，甲方得将已收的保证金予以没收。

如工程逾期时，乙方每逾一天应赔偿甲方分得间数总售价金额千分之一的逾期违约金，违约之一方应于违约日起十天内履行赔偿，不得拖延，否则，未违约之一方，得请求法院依法强制执行抵偿。

第十三条凡申请建筑、使用执照、接水电等须甲方盖章或出具证件时，甲方应随时提供，所需费用由乙方负担。

第十四条本约有效期间内，如因政府变更城市计划致无法全部履行契约或只履行一部分契约时，甲方应将本约第十一条所收的保证金依照可建的土地比率于上列事发之日起一个月内无息还与乙方，若在该土地上乙方业已施工的工程损失，政府有意补偿时，其土地部分归属甲方，建筑物部分归属乙方，如有用甲方名义须甲方协助的，甲方应无条件亲自办理或备齐证件及加盖印章给乙方，甲方不得借故刁难或异议，如甲方须乙方协助的，乙方亦应无条件协助办理清楚。

第十五条本约所定的土地，其应缴的一切税费，在开工日以前的，均由甲方负担，开工日以后的，由甲乙双方各半负担。

第十六条本约成立之日起，甲、乙双方不得以本约土地向任何公私机关或个人办理他项权利设定，于契约存续期间，甲方亦不得将本约土地提供予第三人建筑或出售与他人。

第十七条甲、乙双方对本约权利均不得转让、典当或作保。

第十八条本约土地如有来历不明、瓜葛纠纷划他项权利设定，订立三七五租约等现象应由甲方于本约成立之日起一个月内予以理清，所须的一切费用由甲方负担，惟地上物清理按本约第八条约定办理。

第十九条甲方户籍地址以本契约记载为准，如有变更时甲方应即以书面通知乙方，否则因
此误时误事致乙方蒙受损失时，甲方应负责赔偿。

第二十条本约若有未尽事宜，悉依照有关法规规定及一般社会惯例处理。

第二十一条本约建筑物构造---施工说明；
1 结构：钢筋混凝土构造，依政府核定图样施工、防火、防台风、耐震、安全坚固。

2外墙：正面贴高级马赛克后面水泥粉光。

3 内墙：除厨厕隔间外余不隔间，其余墙面为水泥粉光、漆PVC漆。

4 平顶：水泥粉光后加PVC漆。

5 浴厕：地面铺马赛克，墙面贴白瓷砖到顶，玻璃纤维浴缸、冷热水龙头、马桶及面盆均为白色国产高级品，毛巾架、镜箱等附件俱全。

6 厨房：地面铺红钢砖，墙面贴白磁砖到顶，不锈钢厨具全套。

另设电锅、排油烟机专用插座，及冷热水龙头、挂厨。

7 地面：一楼磨石子，二、三、四楼贴PVC地板，一楼不设围墙。

8 门窗：住家客厅采用落地铝门窗，外窗采用高级铝窗，一楼店铺为铁卷门，二楼以上每户大门为雕花大门附高级名锁，后门采用桧木材料，阳台加装晒衣架及洗衣插座。

9 电力：每户独立电表采用单相三线式110V或220V供电，客厅、餐厅、卧室、浴厕、厨房预留电灯座一处，插座孔两处，开关一只，并留设电视天线暗管及电话线管。

10 水力：地下蓄水池屋顶水塔间接供给，设总表一只，另各户设分表一只，总表与分表差额由分表各户共同分担。

11 屋顶：铺设五皮柏油毛毡，防水层上覆泡沫混凝土，具防水隔热的效果。

12 楼梯：磨石子阶梯加PVC 扶手铁栏杆。

13 地下设蓄水池须加装电动抽水机送到屋顶储水塔。

第二十二条本约前条的订定均系大原则，其细部及详细设计应由乙方依一般惯例办理，其使用材料除特定产品外，其余均以x x 出品的高级品为原则。

第二十三条本约土地内现有电柱的迁移等一切费用手续均由乙方负责办理，如需甲方各项证件或签章时，甲方应无条件即时协助，不得刁难。

第二十四条除本约土地外，其余甲方所有的土地，若甲方未有使用计划时，于本约建筑期间内，甲方同意由乙方无偿使用。

第二十五条甲方分得的建筑物，可委由乙方代售，代售费用另议。

第二十六条本契约书的权利义务及于甲方的继承人及受赠人。

第二十七条本给自签订日起升效，至双方工务及财务理清之日起生效。

第二十八条本约同文一式两份，双方各执一份为凭。

立契约书人：
甲方：
住所：
身份证统一号码：
乙方：
住所：
身份证统一号码：
见证人：
x x x x年x月x日。