2019《3年中考2年模拟》河南中考数学二轮重点难点：21_第一节 圆的有关性质

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︵ ︵ 2-2 (2018北京)如图,点A,B,C,D在☉O上, = CB CD,∠CAD=30°,∠
ACD=50°,则∠ADB=
70 °.
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答案 解析
70
︵ ︵ ∵ = CB CD ,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=
30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.
︵
︵
︵
1 3
∴∠BAC= ∠BOC=30°.
∴∠DAC=∠BAC=30°. 在Rt△ADC中,CD=2 3,
1 2
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3. ∴AC=2CD=4
在Rt△ACB中,BC2+AC2=AB2,
2 1 3 即(4 ) + AB =AB2, 2
2
∴AB=8,∴☉O的半径为4.故选D.
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3-2 (2018江苏扬州)如图,已知☉O的半径为2,△ABC内接于 ☉O,∠ACB=135°,则AB=
2 2
.
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答案 解析
2 2
︵ 在优弧 AB 上取点D,连接AD、BD、OA、OB(如图),
∵☉O的半径为2,△ABC内接于☉O, ∠ACB=135°, ∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°, 又∵OA=OB=2,∴AB= OA2 OB2 =2 2 .
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考点二
垂径定理及推论
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温馨提示
(1)垂径定理及其推论可以总结为以下内容:如图,
︵
︵
︵
︵
BD ;③AE=BE;④AB⊥ AD = BC ;② AC = 在下面的五个结论中:①
CD;⑤CD是直径.在这五个条件中,只要满足其中的两个,另外三 个结论就成立.简记为“知二推三”.
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超级总结 方法技巧 的关键. 利用圆内接四边形的性质探求角的关系是解此类题
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一、选择题 1.下列命题中真命题有 ( A ) ①两个端点能够重合的弧是等弧;②圆的任意一条弦把圆分成优 弧和劣弧两部分;③长度相等的弧是等弧;④半径相等的圆是等
圆;⑤直径是最长的弦;⑥半圆所对的弦是直径.
BM = BM ,∴∠MNB=∠MAB=∠E. ∵
︵ ︵
又∵∠EHM=∠NHF, ∴△EHM∽△NHF, ∴ = ,∴HE· HF=HM· HN,
HF HN
HM HE
∵∠HAM=∠HNB,∠HMA=∠HBN,
∴△HMA∽△HBN,
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∴ = ,即HM· HN=HA· HB,
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3.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为 配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎 片应该是 ( B )
A.① 答案 B B.② C.③ D.④ 因为②上有一条弧,在弧上任画两条弦,作两弦的垂直 平分线,交点即为圆心,从而可确定半径.
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命题点一 垂径定理及推论的应用
例1-1 (2017湖南长沙)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E, 已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为 5 .
思路导引 连接OC,设OC=r,利用垂径定理求得CE的长,CE、 OE和OC构成直角三角形,利用勾股定理列方程求解.
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圆的有关概念及性质
1.圆及有关概念
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2.圆的性质 (1)圆的确定性 不在同一直线上的三点确定一个圆,“确定”是⑨ 的意思. (2)圆的对称性 (i)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线. (ii)圆是中心对称图形,对称中心为圆心. (3)圆的旋转不变性 圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合. 有且只有
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超级总结 方法技巧 在解决此类有关圆的计算或证明问题时,运用“圆心
角、弦、弧的关系”将圆中的“角”与“线段”互相转化是常 用技巧之一.
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命题点三
圆内接四边形的性质与其他知识的综合应用
例3 (2016河南,18,9分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是 AC的中点,以AB为直径作☉O分别交AC,BM于点D,E.
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第一节 圆的有关性质
总纲目录
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考情分析 考点研读 命题探究 随堂检测
考情分析
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考点研读
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考点研读
考点一 考点二 考点三 考点四来自圆的有关概念及性质 垂径定理及推论 弧、弦、圆心角之间的关系 圆周角定理及其推论
考点五
圆内接四边形及其性质
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考点一
9 ;②30°. (2)① 4
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1-1 (2017广东深圳)如图,线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点
CBD 上任意一点,AH=2,CH=4. H,点M是
︵
(1)求☉O的半径r的长度; (2)求sin∠CMD; (3)直线BM交直线CD于点E,直线MH交☉O于点N,连接BN交CD 于点F,求HE· HF的值.
3 ∴BH=OB· sin∠AOB=2×sin 60°=2× = 3 .∴BC=2BH=2 3 . 2
(2)由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦可以在圆心
的同侧和异侧,所以当利用垂径定理计算时,常常需要分情况讨
论,不要漏解.
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考点三
1.定理
弧、弦、圆心角之间的关系
相等 ,所对的弦
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 也相等. 2.推论
(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角 相等 ,所对的弦 相等 ;
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3-1 如图,AB是半圆的直径,C、D是半圆上异于A、B的两点,∠ ABC=50°,则∠CDB= 40° .
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答案 解析
40° 由题意知四边形ABCD是圆内接四边形,
∵∠ABC=50°,∴∠CDA=180°-50°=130°, ∵AB是半圆的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠CDB=130°-90°=40°.
AF = FC = CB ,连接AC、AF,过点C作CD⊥AF,交AF的延 上两点,且
︵
︵
︵
3 ,则☉O的半径为( D ) 长线于点D,若CD=2
A.2 3 B.4 3 C.2 D.4
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答案
D
如图,连接OC、BC.
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
AF = ∵ ×180°=60°, FC = CB ,∴∠BOC=
A.3个 答案 A B.4个 C.5个 D.6个
等弧是指能够互相重合的弧,直径把圆分成相等的两
弧,所以①②③不正确,而④⑤⑥均正确,故选A.
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2.如图,A、C、B是☉O上的三点,若∠AOC=40°,则∠ABC的大小 是 ( B )
A.10° B.20° C.40° D.80° 答案 B 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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4.(2018湖北襄阳)如图,点A,B,C,D都在半径为2的☉O上,若OA⊥ BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为 ( D )
A.4 C. 3 B.2 2 D.2 3
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答案
D
︵ ︵ ∵OA⊥BC,∴CH=BH, = AC AB ,
∴∠AOB=2∠CDA=60°,
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解析
(1)连接OC.
在Rt△COH中,∵OC=r,∴OH=r-2. 由勾股定理得(r-2)2+42=r2,解得r=5. (2)连接OC,OD. ∵弦CD与直径AB垂直,
1 1 ∠COD. ∴ AD = CD ,∴∠AOC= AC = 2 2
︵
︵
︵
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∵∠CMD= ∠COD,
A.CD⊥AB B.∠OAD=2∠CBD
D. BC AC =
︵
︵
C.∠AOD=2∠BCD 思路导引
利用垂径定理的推论,圆心角、弦、弧的关系和等
腰三角形的性质或圆周角定理求解.
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答案
B
︵ 如图所示,把☉O补全,连接AC,延长CD交 AB 于E.
∵D是弦AB的中点,CD过圆心O, ∴CD⊥AB, BE , AE = BC , AC =
一条弧所对的 2.推论
圆周角
等于它所对的
圆心角
的一半.
(1)同弧或等弧所对的圆周角
相等
;
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
所对的弦是 温馨提示 直径 .
直角(90°) ,90°的圆周角
在运用圆周角定理时,一定要注意“在同圆或等圆
中”这个条件.
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易错警示 圆中的“弦”所对的弧或圆周角易漏解 判断正误:(正确的画“√”,错误的画“✕”) 在直径为10 cm的圆中,一条长为5 cm的弦所对的弧的度数是60°, 圆周角为30°. ( ✕ )
1 2
∴∠CMD=∠AOC,
∴sin∠CMD=sin∠AOC. 在Rt△COH中,sin∠AOC= = ,
4 即sin∠CMD= . 5
CH OC
4 5
(3)连接AM,则∠AMB=90°.
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在Rt△ABM中,∠MAB+∠ABM=90°, 在Rt△EHB中,∠E+∠ABM=90°, ∴∠MAB=∠E,
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考点五
圆内接四边形及其性质
顶点 都在同一个圆上,这个四边形叫
1.定义:四边形的四个 做圆的内接四边形.
2.性质:(1)圆内接四边形的对角 任意一个外角等于它的 如图中,∠DCE=∠A. 内对角
互补
;(2)圆内接四边形的
(和它相邻的内角的对角).
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命题点一 命题点二 命题点三 垂径定理及推论的应用 圆心角、弦、弧的关系及圆周角性质的应用 圆内接四边形的性质与其他知识的综合应用
HM HB
HA NH
∴HE· HF=HA· HB=2×(2×5-2)=16.
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超级总结 方法技巧 利用垂径定理及推论进行计算或证明时,常利用弦长
的一半、半径和圆心到弦的距离(弦心距)构成的直角三角形求 解.
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命题点二
圆心角、弦、弧的关系及圆周角性质的应用
例2 (2016河南安阳一模)如图所示,点D是弦AB的中点,点C在☉ O上,CD经过圆心O,则下列结论中不正确的是 ( B )
;
9 4
30° 时,以B,O,D,F为顶点的四边形为菱形.
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解析
(1)证明:如图,连接BF,
∵AB为☉O的直径,且AB⊥CD于点E,∴CE=ED.
∵CF为☉O的直径,∴∠CDF=∠CBF=90°,即CD⊥DF,BF⊥CG. ∴AB∥DF,∴CB=BG,即B为CG的中点,∴BF垂直平分CG,∴FC= FG,∴△CFG为等腰三角形.
(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角 相等 ,所对的优弧和劣弧 分别相等 ;
(3)弧的度数等于它所对圆心角的度数. 温馨提示 同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量
相等,则它们所对应的其余各组量也相等,简记为“知一推二”.
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考点四
1.定理
圆周角定理及其推论
︵
︵
︵
︵
∴∠CBD=∠CAD,∠AOD=2∠ACD=2∠BCD,
∵∠OAD<∠CAD, ∴∠OAD<∠CBD,
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∴∠OAD≠2∠CBD, 综上可知,选项A,C,D均正确,只有选项B不正确,故选B.
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2-1 (2017河南平顶山二模)如图,AB是☉O的直径,点F、C是☉O
(1)求证:MD=ME;
(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE= ②连接OD,OE,当∠A的度数为 2 ; 60° 时,四边形ODME是菱形.
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解析
(1)证明:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,
∴MA=MB,∴∠A=∠MBA. ∵四边形ABED是圆O的内接四边形, ∴∠ADE+∠ABE=180°. 又∵∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA. 同理可证:∠MED=∠A. ∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME. (2)①2;②60°.
答案 解析
5 连接OC,设圆O的半径为r,则OE=r-1,根据垂径定理可得
CE=3,在Rt△OCE中,由勾股定理可得,CE2+OE2=OC2,即32+(r-1)2=r
2
,解得r=5.故☉O的半径为5.
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例1-2 (2017河南中考仿真(三))如图,AB为☉O的直径,CD为☉O 的弦(非直径),且CD⊥AB于点E,过点C作☉O的直径CF,直线CB, DF交于点G. (1)求证:△CFG为等腰三角形; (2)填空: ①若AB=3,则△CDF的最大面积为 ②当∠ABC的度数为