山东省青岛第五十八中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案.doc

山东省青岛第五十八中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案.doc
保密★启用前
2016—2017学年第一学期期中模块考试
高数学试卷
2016．11
第Ⅰ卷
一、选择题（共12题，每题5分）
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．423π+
B ．4
43
π+ B ．C ．44π+ D ．24π+
2．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（ ）
A ．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形
B ．梯形的直观图可能不是梯形
C ．正方形的直观图为平行四边形
D ．正三角形的直观图一定为等腰三角形 3．直线
互相垂直，则
的值为（ ）
A ．
B.
C ．
D ．
4．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =AC =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A.
B.
6π
C.
5π
D. 8π
5．直线分别交轴和轴于
两点，是
直线上的一点，要使最小，则点的坐
标是（ ）
A.
B. C.
D. 6．如图，在棱长为1的正方体
1111
ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1
1
1
,AA C D 的中
点，G 是侧面11
BCC B 的中心，则空间四边
形AEFG 在正方体的六个面上的射影图
）（2
1
,21-）（1,1-）
（0,0）
（1,1-P
PB
PA +x
y -=P
B
A 、y
x
632=-+y x 2
1
1
-2
-a 230y +=1x ay ++=F
D 1C 1
B 1
A 1G
E
D
C
B
A
形面积的最大值是（ ）
A ．14
B ．38
C ．1
2
D ．58 7．过点(0,1)的直线与圆2
24
x
y +=相交于A ，B 两点，
则AB 的最小值为（ ）
A ．2 B
． C ．3 D
．8．下列说法错误的是（ ）
A ．若直线//a 平面α，直线//b 平面α，则直线a 不一定平行于直线b
B ．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面β
D ．若平面α⊥平面v ，平面β⊥平面v ，l αβ=，则l 一
定垂直于平面v 9．若满足
, 则直线
过定点
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知圆心，一条直径的两个端点恰好在
)2
1,61(-)2
1,61(-)6
1
,21(-)6
1,21(0
3=++n y mx 0
12=-+n m n
m ,(2,3)
-
第II 卷（非选择题） 二、填空题（共4题，每题5分） 13． 如图所示，AB 是⊙O 的直径，⊥PA ⊙O ，C 为圆周上一点，若cm AB 5=，
cm
AC 2=，则B 点到平面PAC 的距离
为 。

14．若直线经过圆
的圆心，则的最小值是
15．已知线段AB,CD 分别在两条异面直线上,M,N 分别是线段AB,CD 的中点,则MN 错误！未找到引用源。

(AC+BD)(填“>”“<”或“=”).
220(0,0)
ax by a b -+=>>b
a 1
1+222410
x y x y ++-+=（第3页
16．对于四面体ABCD，以下命题中，真命题的序号为（填上所有真命题的序号）
①若AB＝AC，BD＝CD，E为BC中点，则平面AED⊥平面ABC；
②若AB⊥CD，BC⊥AD，则BD⊥AC；
③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；
④若以A为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A在平面BCD内的射影为△BCD的垂心；
⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。

三解答题（共6
17．（本题10分）已知直线l 被两直线1
:460l x y ++=和
2:3560
l x y --=截得线段的中点为(0,0)P ，求直线l 的方
程．
18．（本题12分）如图，在四棱
锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=,BE BC =,F 为CE 的中点，
求证：（1）AE ∥平面BDF ；（2）平面BDF ⊥平面ACE ．
19．（本题12分）已知ABC ∆的顶点(31)A -，
,过点B 的内角平分线所在直线方程是4100x y -+=，过点C 的中线所在直线的方程是610590x y +-=
（1）求顶点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程；
20．（本题12分）如图平行四边形
中，
，为
边的中点，沿
将
CBM
∆BM
CD
M 060,22
DAB AB AD ∠===ABCD
B
A D
C F E
折起使得平面
平面
.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求折后直线
与平面所成的角的正弦.
21．（本题12分）直线l 通过点P （1，3）且与两坐标轴的正半轴交于A 、B 两点．
（1）直线l 与两坐标轴所围成的三角形面积为6，求直线l 的方程； （2）求OB OA +的最小值； （3）求PB PA ⋅的最小值．
22．（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，3
ABC π∠=, PA ABCD
⊥底面,
2PA AB ==,M
为PA 的中点，
N 为BC 的中点 （1）证明：直线MN PCD 平面‖；
AMC
AB
C ADMB
-ABMD
BMC ⊥
N
A
B
C
P
M （第5页
（2）求异面直线AB与MD所成角的余弦值；（3）求点B到平面PCD的距离.
数学参考答
案
1．A 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．D 13．
cm
21 14．4 15．< 16．①
②④． 解答题
17．1
6
y x =- . 解：设所求直线l 与两直线
12
,l l 分别交于
1122(,),(,)
A x y
B x y ，则
11220,0
x y x y +=+=且， 4分
又因为点1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y 分别在直线1
2
,l l 上，则
得
11224603560
x y x y ++=⎧⎨
--=⎩，即
11114603560
x y x y ++=⎧⎨
-+-=⎩解得
113623623x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，
所求直线l 即为直线AP
，所以
1
6
y x
=-为所
求． 10分 18． 解：（1）设AC BD G
=,连接FG ，易知G 是AC 的中点，
∵
F
是
EC
中点．∴在△ACE
中，
FG
∥AE ， …………2分
∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ， ∴
AE
∥平面
BFD
． (6)
分
（2
）平面ABCD ⊥平面ABE ,BC AB ⊥,平面ABCD 平面ABE AB =
BC ∴⊥
平面ABE ,又
AE ⊂
平面,ABE BC AE ∴⊥,
又AE BE
⊥，BC
BE B
=,
AE ∴⊥
平面
,BCE AE BF
∴⊥,……………………10分
在BCE △中，,BE CB F =为CE 的中点，
BF CE
∴⊥,AE CE E =BF ∴⊥
平面ACE ， 又
BF ⊂
平面
BDF
，
∴
平面
BDF ⊥
平面
ACE
．……………………………14分
19．（1）（10,5）；（2）29650x y +-=
试题解析：（1）设(,)B x y ，则AB 中点31
(,)22
x y +-， 由
3
1610590224100
x y x y +-⎧⋅+⋅-=⎪⎨⎪-+=⎩，解得
10
5
x y =⎧⎨
=⎩，故(10,5)B ． 6
分
（2）设点A 关于直线4100x y -+=的对称点为(,)A x y '， 则
31410022143
x y y x +-⎧-⋅+=⎪⎪⎨
+⎪=-⎪-⎩，得1
7
x y =⎧⎨
=⎩
，即(1,7)A '， 直线BC
经过点
A '
和点
B
，故直线
BC
的方程
29650
x y +-=． 12分
20．（1）；（2）．
（1）由已知有是正三角形，取的中点，
则
，又平面
平面
于
，则CO ⊥平面
ABMD
，且CO =
.
易求得
∴1338
-==C ABDM
V
.
（2）易知AM MB ⊥，而平面ABMD ⊥平面BMC 于MB ，则AM ⊥平面CMB ，所以平面AMC ⊥平面BMC 于MC ，由
CBM
∆是等边三角形，取CM 的中点E ，连BE ，则，∴BE ⊥平面AMC ，连EA ，则BAE ∠是直线AB 与
平面AMC
2sin 2BE BAE AB ∠===
21．（1）063=-+y x ；（2）324+；（3）6
试题解析：（1）设直线方程为
13
1
116 2.62x y ab a b a b a b +=∴+==∴==，此时方程为126
x y
+=即 0
63=-+y x
BE CM
⊥ABMD S =
梯形MB
ABMD
BMC ⊥
CO MB
⊥O
MB
CMB
∆4
38
3
（2）设直线方程为
13
11x y a b a b
+=∴+=
(
)13344b a OA OB a b a b a b a b ⎛⎫
∴+=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭
()
()()()()()()2
2
2
2
2
22981193119118111PA PB a b a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=-+-+=-++=+-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎣⎦
1836
≥+=，当且仅当4a =时等号成立PA PB ∴⋅的最小
值为6
22． （1）取PB 中点Q ，连接QN QM ,
MQ CD MQ CD
∴，‖AB,AB ‖‖
,NQ PC MNQ PCD
∴平面平面‖‖,
MN PCD
∴平面‖;
解法二：取PD 中点Q ，连接QC QM ,
1
2
MQ CN MQ CN AD ∴，又MQ=CN=
‖AD,AD ‖‖ M Q ,MN PCD,CQ PCD N C ∴⊄⊂又平面平面‖,
MN PCD
∴平面‖;..............
.....4分 （2）
CD ‖AB,
MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 2
3
ABC AC CD AD π
∠=
∴===,
P MA AC,MA AD
⊥⊥⊥∵A 平面ABCD ，∴
又52,1==∴===MD MC AD AC MA
5
5
2cos 2222=
⋅⋅-+=∠∴=CD MD MC CD MD MDC CD
所以 AB
与MD 所成角余
弦为5
5
...............8分
（3）P AB ∵平面∴‖CD,点A 和点B 到平面PCD 的距离相等
取CD 的中点E ,连结E,PE A ，过A 作PE AH ⊥,垂足为H
E 3
ABC AC CD AD A CD π
∠=∴==∴⊥ P PA CD,CD PAE CD PA
⊥⊥∴⊥∴⊥∵A 平面ABCD ，∴平面
PCD
AH AH CD PAE ⊥∴⊥∴⊥∴平面CD
AH
∴即为点B 到平面PCD 的距离，
7
21
2PA AE PA AH AE PA ,3AE 2,PA 2
2
=
+⨯=∴⊥==AE
(12)。