2.4幂函数与二次函数课件高三数学一轮复习

单调递减，则 n 的值为( B )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
【解析】 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只 有 n＝1 符合题意，故选 B.
12
12
11
3．若 a＝ 2 3 ，b＝ 5 3 ，c＝ 2 3 ，则 a，b，c 的大小关系是( D )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【解析】
∵y＝x
2 3
(x>0)是增函数，∴a＝12
2 3
>b＝15
2 3
.∵y＝12x 是减函数，
∴a＝12
2 3
<c＝12
1 3
，∴b<a<c.故选
D.
考点二 求二次函数的解析式
【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确 定此二次函数的解析式．
【思路探索】 根据 f(2)，f(－1)可设一般式；根据 f(x)的最大值为 8，可设顶点式； 根据隐含的 f(2)＋1＝0，f(－1)＋1＝0 可考虑零点式．
【解】 解法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1，
上单调
在x∈－2ba，＋∞上单调递减
函数的图象关于 x＝－2ba 对称
提醒：二次函数系数的特征 (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数 a 的正负决定图象的开口方向及开口大小． (2)－2ba的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点． (4)b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．
角度 4：二次函数中的恒成立问题 【例 5】 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围． 【思路探索】 (1)二次项系数为字母，注意分类讨论，并结合二次函数图象求解． (2)将恒成立问题转化为最值问题．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 幂函数的图象与性质
【题组练透】
1．(多选)已知幂函数 f(x)的图象经过点(4,2)，则下列选项正确的有( AC ) A．f(x)为增函数
B．f(x)为偶函数
C．若 x≥9，则 f(x)≥3
D．若
x2>x1>0，则fx1＋2 fx2>f
x1＋x2 2
【解析】 设幂函数 f(x)＝xα，将点(4,2)的坐标代入函数 f(x)＝xα 得 2＝4α，则 α＝12，
解法三：(利用零点式) 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 即 g(x)＝f(x)＋1 的两个零点为 2，－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8， 即4a－2a4－a 1－a2＝8，解之得 a＝－4， 所以所求函数解析式为 f(x)＝－4x2＋4x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋7.
解之得ab＝ ＝－4，4， c＝7.
所以所求二次函数为 y＝－4x2＋4x＋7.
解法二(利用顶点式)： 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)， 因为 f(2)＝f(－1)， 所以抛物线对称轴为直线 x＝2＋2－1＝12， 所以 m＝12，又根据题意，函数有最大值为 8，所以 n＝8， 所以 f(x)＝ax－122＋8. 因为 f(2)＝－1，即 a2－122＋8＝－1.解之得 a＝－4.所以 f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2 ＋4x＋7.
2．已知幂函数 f(x)的图象经过点(9,3)，则 f(2)－f(1)＝( C )
A．3
B．1－ 2
C． 2－1
D．1
【解析】 故选 C.
设
f(x)＝xα，由题意得
9α＝3，得α＝1，∴f(x)＝x
1 2
，∴f(2)－f(1)＝
2－1.
2
3．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc 在第一象限的图象，
角度 2：二Βιβλιοθήκη 函数的单调性问题【例 3】 (1)已知函数 f(x)＝－2x2＋bx，若对任意的实数 t 都有 f(4＋t)＝f(4－t)，则
f(－2)，f(4)，f(5)的大小关系为( B )
A．f(5)>f(－2)>f(4)
B．f(4)>f(5)>f(－2)
C．f(4)>f(－2)>f(5)
D．f(－2)>f(4)>f(5)
(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞) (－∞，0)∪
(0，＋∞)
性 奇偶性 奇
偶
奇
非奇非偶 奇
质
在 (－∞，0]
在 [0， 在 (－∞，0)
单调性
在 R 上单 上单调递减； 在 R 上单 调递增 在 [0，＋∞) 调递增
＋∞)
上 和□10 (0，＋∞)
单调递增 上单调递减
上单调递增
定点 □11 (1,1)
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0)
(－∞，＋∞)
值域
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
单调性
在x∈－∞，－2ba上单调递 减； 在x∈－2ba，＋∞上单调递增
在x∈ 递增；
－∞，－2ba
『变式训练』 1．已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，求函数 f(x)的解析式．
【解】 ∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立， ∴f(x)的对称轴为 x＝2. 又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2， ∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)·(x－3)， 即 f(x)＝x2－4x＋3.
x1＋ 2
x2
2－
x1＋2 x22＝x1＋x2＋4 2
x1x2－x1＋2 x2＝2
x1x2－4 x1－x2＝－
x1－ 4
x22<0，即fx1＋2 fx2
<fx1＋2 x2成立，所以 D 不正确．故选 AC.
2．已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上
提醒：幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝
ax2＋bx＋c(a≠0)
．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n) ．
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)＝0 的两根．
当 t＋1<1，即 t<0 时，函数图象如图(1)所示，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， 所以最小值为 f(t＋1)＝t2＋1； 当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，函数图象如图(2)所示，
在对称轴 x＝1 处取得最小值，最小值为 f(1)＝1；
当 t>1 时，函数图象如图(3)所示，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值 为 f(t)＝t2－2t＋2.
考点三 二次函数的图象与性质
角度 1：二次函数图象的识别 【例 2】 (多选)如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图像的一部分，图像过点 A(－3,0)， 对称轴为直线 x＝－1.给出下面四个结论，其中正确的是( AD )
A．b2>4ac C．a－b＋c＝0
B．2a－b＝1 D．5a<b
【解析】 ∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像与 x 轴交于两点，∴b2－4ac>0，即 b2>4ac， A 正确；由对称轴为 x＝－1，即－2ba＝－1，即 2a－b＝0，B 错误；结合图像可知，当 x ＝－1 时，y>0，即 a－b＋c>0，C 错误；由 b＝2a，又图像开口向下，∴a<0，∴5a<2a， 即 5a<b，D 正确．故选 AD.
t2＋1，t<0， 综上可知，f(x)min＝1，0≤t≤1，
t2－2t＋2，t>1.
【变设问】 条件不变，求 f(x)的最大值． 【解】 f(x)的对称轴为 x＝1.
区间[t，t＋1]的中点为 t＋12. 当 t＋12<1，即 t<12时， f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋2； 当 t＋12≥1，即 t≥12时， f(x)max＝f(t＋1)＝t2＋1. 综上，f(x)max＝tt22－＋21t，＋t2≥，12.t<12，
⇒－2<a<2.
综上，－2<a≤2.故选 C.
6．已知幂函数
f(x)＝x
1 2
，若
f(a＋1)<f(10－2a)，则
a
的取值范围是__[－__1_,_3_) _．
【解析】 由题意得a1＋ 0－1≥ 2a0>，a＋1， 得－1≤a<3.
易错点睛：(1)忽视对二次项系数 a－2＝0 的讨论致误． (2)忽视幂函数定义域致误．
(2)当 a＝0 时，f(x)＝－3x＋1 在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件．当 a≠0 时，f(x)
图象的对称轴为直线
x＝3－ 2aa，由
a<0， f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知，3－ 2aa≤－1，
解得
－3≤a<0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．故选 D.
【变条件】 本例(2)中，将条件“在[－1，＋∞)上单调递减”改为“单调递减区间 是[－1，＋∞)”，则 a＝__－__3____.
『基础过关』
思考辨析
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1
(1)函数 y＝2x 3 是幂函数．( × ) (2)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．( √ ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( × ) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac4－a b2.( × )
所以 f(x)＝x12.显然 f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以 A 正确．f(x)的定义域为[0，＋
∞)，所以 f(x)不具有奇偶性，所以 B 不正确．当 x≥9 时， x≥3，即 f(x)≥3，所以 C 正
确．对任意的 x∈(0，＋∞)，都有 f(x)>0，当 0<x1<x2 时，fx1＋2 fx22－fx1＋2 x22＝
第二章 函数
第四节 幂函数与二次函数
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．幂函数 (1)定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
x 是自变量，α 为常数．
1
y＝x 2
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
[0，＋∞) (－∞，0)∪
【解析】 由题意得m4 ≤－2，∴m≤－8.
易错易混
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对一切 x∈R 恒成立，则 a 的取值范围是( C )
A．(－∞，2]
B．[－2,2]
C．(－2,2]
D．(－∞，－2)
【解析】 ①当 a－2＝0，即 a＝2 时，显然满足题意；
②当
a－2≠0
时，a－2<0， Δ<0
(2)(2022·湖北武汉模拟)函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 在[－1，＋∞)上单调递减，则实数
a 的取值范围是( D )
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
【解析】 (1)由 f(4＋t)＝f(4－t)可知，f(x)的图象关于直线 x＝4 对称，又∵f(x)的图象 开口向下，∴f(x)在(－∞，4)上单调递增，且 f(5)＝f(3)，∴f(－2)<f(3)<f(4)，即 f(4)>f(5)>f(－ 2)，故选 B.
【解析】 由题知，f(x)必为二次函数，且 a<0，又3－ 2aa＝－1，∴a＝－3.
角度 3：二次函数最值(值域)问题 【例 4】 设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最小值． 【思路探索】 结合图象，就对称轴相对于区间的位置分类讨论．
【解】 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为 x ＝1.
则 a，b，c 的大小关系为( D ) A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b 【解析】 由图可知，a<0，b>1>c>0，故 a<c<b.故选 D.
4．函数 f(x)＝2x2－mx＋3 在[－2，＋∞)上单调递增，则实数 m 的取值范围是 _____(_－__∞__，__－__8_] _________________．