山东省潍坊市三县高三数学12月联考试题 文

潍坊三县联合阶段性检测数学（文）试题
一、选择题（把正确答案涂到答题卡上，每题5分，共60分）
1.定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )
（A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）18 2. 三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、
c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则c o s B =( )
A ．
14 B
C ．
34 D ．3
3.“m =
2
1
”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( )
（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 4. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
A ．283π-
B ．83π-
C ．82π-
D ．23π 5. 设复数7sin ,34i
z i i
θ+=
-+其中i 为虚数单位，R θ∈，则z 的取值范围是（ ）
A.⎡⎣
B.⎤⎦
C.
D.⎡⎣
6. P 为双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）
Ａ．9
Ｂ．8
Ｃ．7
Ｄ．6
7. 已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是 ( ) （A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 18 8. 设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①0)()(=⋅-a <
③b a c a c b )()(-⋅不与c 垂直
④)23)(23(b a b a -=-+ 中，是真命题的有（ ）
A.①②
B.②③
C.④
D.②④
9.若对,),0,(0R x a ∈∃-∞∈∀使a x a ≤0cos 成立，则0cos x 6π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A.
21 B.23 C.21- D.2
3
- 10.若直线y x b =+
与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是（ ）
A.[1-
1+
B.[1
C.[1-
1+
11. 已知0x 是函数1
()21f x x x
=+
-的一个零点,若()101,x x ∈,()20,x x ∈+∞,则( ) （A ）()()120,0f x f x << （B ）()()120,0
f x f x <>
（C ）()()120,0f x f x >< （D ）()()120,0f x f x >>
12. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则
z =10x +10y 的最大值是
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共计16分
13. 过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2
＋y 2
＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，
直线l 的斜率k ＝ ． 14. 已知向量a =(x-1,2),b =(4,y),若a b ⊥，则93x
y
+的最小值为 .
15. 设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线r 上存在点P 满足
1122
::4:3:2P F F F P F =，则曲线r 的离心率等于 16.已知函数()x
f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出
以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形
③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 三、解答题
17.已知函数()2cos
sin 222x x x f x ⎫=∙-⎪⎭
（1）设,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦，且()1f x =，求x 的值；
（2）在ABC ∆中，1,()1AB f C =，且ABC ∆sin sin A B +的值.
18.已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由.
19. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，AB=5. 点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1；
（II ）求证：AC 1//平面CDB 1；
（III ）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．
20. 设函数2
()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2．
（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：()22f x x ≤-．
21.如图，椭圆22
2:12
x y C a +
=的焦点在x 轴上，左右顶点分别为1,A A ，上顶点为B ，抛物线
12,C C 分别以A,B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，1C 与2C 相交于直线y =上一点P.
（1）求椭圆C 及抛物线12,C C 的方程；
（2）若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同的两点M,N ，已知点()
Q ，求
QM QN ∙的最小值.
22.已知函数2()sin 2f x x b x =+-，()()2F x f x =+，且对于任意实数x ，恒有
()()0
F x F x --=. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间()0,1上单调递减，求实数a 的取值范围； （3）函数(
)2
1()ln 1()2h x x f x k =+-
-有几个零点？（注：()'222ln(1)1x
x x
+=+）
DCBAD ABDBC BC
13.
2
; 14. 6 ; 15. 12或32； 16.（1）（4）
17.（1）2
()2sin cos 222x x x f x =-cos )sin x x +-=2cos 6x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
由2cos 16x π⎛
⎫
+
+= ⎪⎝
⎭
，得1
cos()62x π+=， 因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以2,633x πππ⎛
⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
于是63
x ππ
+
=-
或6
3
x π
π
+
=
所以2
x π
=-
或
6
π
（2）因为()0,C π∈，由（1）知6
C π
=
又因1sin 2ABC
S
ab C =
1sin 26
ab π= 于是ab =由余弦定理得2
2
12cos 6
a b ab π
=+-226a b =+- 所以227a b +=
所以2a b +=由正弦定理得
sin sin sin 1
2
A B C a b c ===
所以1sin sin ()12A B a b +=
+= 18. （Ⅰ）由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即 .012,02
1=--∴≠q q a
.2
1
1-=∴或q
（Ⅱ）若.2
312)1(2,12n
n n n n S q n +=⋅-+
==则 当.02
)
2)(1(,21>+-=
=-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S >
若.4
9)21(2)1(2,212n
n n n n S q n +-=--+
=-=则 当,4
)
10)(1(,21---
==-≥-n n S b S n n n n 时
故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当
19. （I ）直三棱柱ABC －A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ∴ AC ⊥BC ，
又因为 1CC ⊥面ABC 1CC AC ∴⊥ 又 1CC BC C ⋂= AC ∴⊥面11B BCC
1B C ⊂面11B BCC ∴ AC ⊥BC 1；
（II ）设CB1与C1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC1的中点，∴ DE//AC1， ∵ DE ⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1； （III ）∵ DE//AC1，∴ ∠CED 为AC1与B1C 所成的角，
在△CED 中，ED=21AC 1=25，CD=21
AB=25，CE=21
CB1=22，
∴
8cos 55
22
CED ∠=
=
⋅，
∴ 异面直线 AC1与 B1C
所成角的余弦值.
20. （I ）
()12.
b
f x ax x '=++ 由已知条件得(1)0,10,(1) 2.12 2.f a f a b =+=⎧⎧⎨
⎨'=++=⎩
⎩即，解得1, 3.a b =-= （II ）()(0,)f x +∞的定义域为，由（I ）知
2
()3ln .f x x x x =-+ 设
2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则 3(1)(23)
()12.x x g x x x x -+'=--+
=-
01,()0;1,()0.()(0,1),(1,).x g x x g x g x ''<<>><+∞当时当时所以在单调增加在单调减少
而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>≤≤-故当时即
21. 解：（Ⅰ）由题意，A （a ，0），B （0，2），故抛物线C 1的方程可设为ax y 42
=，C 2
的方程为y x 242=………… 1分
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===x
y y x ax y 22442
2 得)28,8(,4P a =………… 3分 所以椭圆C:
12
162
2=+y x ，抛物线C 1：,162x y =抛物线C 2：y x 242=…5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP 的斜率为2，所以直线l 的斜率为2
2-
设直线l 方程为b x y +-
=2
2
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-==+b x y y x 2212162
2，整理得0)168(28522=-+-b bx x ………… 6分 因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点，所以0)168(2012822>--=∆b b 解得1010<<-b ………… 7分
设M （11,y x ）、N （22,y x ），则5
16
8,52822121-==+b x x b x x 5
8)(2221)22)(22(22
21212121-=++-=+-+-=b b x x b x x b x b x y y …8分
因为),2(),,2(2211y x QN y x QM +=+=
所以2)(2),2)(,2(2121212211++++=++=⋅y y x x x x y x y x
5
141692-+=b b ………… 10分
因为1010<<-b ，所以当9
8
-=b 时，⋅取得最小值 其最小值等于9
38
514)98(516)98(592-=--+
-⨯………… 12分
22.
1时，函数有三个零点；（5）当k<1时函数有两个零点.。