江苏省南京市零模2025届高三学情调研数学试题及参考答案

江苏省南京市零模2025届高三学情调研
数学试题及参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.已知集合{}
03>-=x x A ，{
}
0452
>+-=x x x B ，则=B A （）
A.()
1，∞- B.()
3，∞- C.()∞+，3 D.()
∞+，42.已知4=x
a ，y a =3log ，则=+y
x a （）A.5
B.6
C.7
D.123.已知3=a ，1=b .若()
a b a ⊥+2，则=b a
,cos （
）
A.2
3-
B.3
3-
C.
3
3 D.
2
34.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S .若63=S ，36=S ，则=9S （）
A.18
- B.9
- C.9
D.18
5.若α是第二象限，ααtan 2sin 4=，则=αtan （）
A.7
- B.7
7-
C.
7
7 D.76.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）
A.4
B.6
C.8
D.12
7.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）
A.24
B.32
C.96
D.128
8.已知抛物线x y C 82
=：的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 行，点Q 在l 上.若QF PF 2=，
QF PF ⊥，则PFQ ∆的面积为（
）
A.
4
25
B.25
C.
2
55 D.55
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9.已知复数z ，下列命题正确的是（）
A.若R z ∈+1，则R z ∈
B.若R i z ∈+，则z 的虚部为1-
C.若1=z ,则1
±=z D.若R z ∈2
，则R
z ∈10.对于随机事件B A ,，若()52=A P ,()53=B P ，()41
=A B P ，则（）A.()20
3=
AB P B.()61=B A P C.()10
9
=
+B A P D.()
2
1
=
B A P 11.设函数()x x x f cos 8
sin 1+
=
，则（）
A.()x f 的定义域为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈≠Z k k x ,2π
B.()x f 的图象关于4
π
=
x 对称C.()x f 的最小值为5
5 D.方程()12=x f 在()π2,0上所有根的和为π
8三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12.6
12⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x x 展开式中的常数项是
.
13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为
.
14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ，直线2BF 与C 相交于另一点A ，当AB F 1cos ∠最小时，C 的离心率为
.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
小王早晨7:30从甲出发上班，有B A ,两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择B A ,两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：
（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A 方案上班，下周二至下周五选择B 方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X ，若用频率估计概率，求()3=X P .
附：()()()()()
d b c a d c b a bc ad n ++++-=2
2
χ，其中d c b a n +++=.
16.（本小题满分15分）
如图，在四面体ABCD 中，ACD ∆是边长为3的正三角形，ABC ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，F E ,分别为线段BC AB ,的中点，MD AM 2=,ND CN 2=.
（1）求证：∥EF 平面MNB ；
（2）若平面⊥ACD 平面ABC ，求直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
已知数列{}{}n n b a ,，()n
n
n a 21+-=，()01>-=+λλn n n a a b ，且{}n b 为等比数列.
（1）求λ的值；（2）记数列{
}2
n
b n ⋅的前n 项和为n
T ，若()
*12
15N i T T
T i i i
∈=⋅++，求i 的值.
18.（本小题满分17分）
已知21,F F 是双曲线()0,0122
22>>=-b a b y a x C ：的左、右焦点，6221=F F ，点
()
10,62T 在C 上.
（1）求C 的方程；
（2）设直线l 过点()01，D ，且与C 交于B A ,两点.①若DB DA 3=，求A F F 21∆的面积；
②以线段AB 为直径的圆交x 轴于Q P ,两点，若2=PQ ，求直线l 的方程.19.（本小题满分17分）已知函数()R a ax ax e
x f a
x ∈+-+=-,132.
（1）当1=a 时，求曲线()x f y =在1=x 处切线的方程；
（2）当1>a 时，试判断()x f 在[)∞+，1上零点的个数，并说明理由.
参考答案
一、选择题
二、选择题
三、填空题
12.240
13.π
314.
3
3四、解答题
15.解：（1）假设0H ：8点前到单位与方案选择无关，则
()841.394.3203
80058426040301230281002
2
>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ.
∴有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选则B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当3=X 时，则分两种情况：
①若周一8点前到单位，则()80
21
5.05.017.02
2
2
41=
⨯-⨯=C P .②若周一8点前没有到单位，则()(
)8065.05.017.013
3
42=⨯-⨯-=C P .
综上，()80
27321=
+==P P X P .16.解：（1）∵F E ,分别为线段BC AB ,的中点，∴AC EF ∥.∵MD AM 2=,ND CN 2=，即
3
1
==DC DN DA DM ,∴AC MN ∥，∴MN EF ∥.又⊂MN 平面MNB ，⊄EF 平面MNB ，∴∥EF 平面MNB .（2）取AC 中点O ，连接OE DO ,.∵ACD ∆为正三角形，∴AC DO ⊥.
∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面AC ABC =，⊂DO 平面ACD ，
∴⊥DO 平面ABC .
∵E O ,分别为AB AC ,中点，∴BC OE ∥.又∵BC AC ⊥，∴AC OE ⊥.以O 为坐标原点，
OD OC OE ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛32103,2100,23323300，，，，，，，，，
N M B D ，故()
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--==--=233,233,010323，，，，，，
BD MN BM .设平面MNB 的法向量为()z y x n ,,=
，直线BD 与平面MNB 所成角为θ，
则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+--=⋅00
323y MN n y x BM n ，取(
)
3,0,3=n .
则8
2934274992
39033sin =
+⨯++
++-=
==n
θ.∴直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值为
8
2.17.解：（1）∵()n
n
n a 21+-=，则17,7,5,14321====a a a a .又n n n a a b λ-=+1，
则λλ-=-=5121a a b ，λλ57232-=-=a a b ，λλ717343-=-=a a b .∵{}n b 为等比数列，则312
2b b b ⋅=，即()()()λλλ7175572
--=-.
整理得022
=--λλ，解得1-=λ或2=λ.∵0>λ，故2=λ.
当2=λ时，()
()[]
()n
n n
n n n n n a a b 1321221211
1-⨯-=+--+-=-=+++.
则()()
113131
1-=-⨯--⨯-=++n
n n n b b ，故{}n b 为等比数列，∴2=λ
符合题意.
（2）()2
2
13n n b n
n ⋅-⨯-=⋅，
当n 为偶数时，
()[]
()()
12
321314321322
2222+-=+++⨯-=+---+-+-⨯-=n n n n n T n 当n 为奇数时，
()()()()()12
3132123
122
11+=++++-
=+-=++n n n n n n b T T n n n .综上，()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=为偶数，为奇数，n n n n n n T n 12
312
3
，
∵02>⋅+i i T T ，又1215++=⋅i i i T T T ，∴01>+i T ，∴i 我偶数，∴()()()()()2123153223123++⨯=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-
i i i i i i ，
整理得01032
=-+i i ，解得2=i 或5-=i （舍），∴2=i .18.解：（1）由题意可知6=c ，点T 在C 行，根据双曲线的定义可知a TF TF 221=-，即()()
()()
4106106322
2
2
2
=+-
+=
a ，∴2=a ，则2222=-=a c
b ，
∴C 的方程为12
42
2=-y x .
（2）①设()00,y x B ，()00,1y x DB -=.∵DB DA 3=，∴()
003,33y x DA -=，
∴A 点坐标为()
003,23y x -.
∵B A ,在双曲线C 上，∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=--=-12342312420
202
020y x y x ，
解得210
,300±==y x ，∴A 点坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±21037，，∴153622
10
321212121=⨯⨯=⋅=
∆F F y S A A F F .
②当直线l 与y 轴垂直时，此时4=PQ 不满足条件.
设直线l 的方程为1+=ty x ，()()2211,,y x B y x A ，，()()
0,0,Q P x Q x P ，.
直线l 与C 联立⎪⎩
⎪⎨⎧+==-112
42
2ty x y x ，消去x ，得()
03222
2=-+-ty y t ，∴2
3
222
21221--=--
=+t y y t t y y ，.由()
⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+=∆0
2021242
2
2t t t ，得232>t 且22≠t .
以AB 为直径的圆方程为()()()()02121=--+--y y y y x x x x ，
令0=y ，可得()02121212
=+++-y y x x x x x x ，则Q P x x ,为方程的两个根，
∴212121y y x x x x x x x x Q P Q P +=+=+，，∴()()()
21212212
44y y x x x x x x x x
x x PQ Q P Q P
Q P +-+=
-+=
-=()()2
12
2122
122144y y y y t y y x x --=--=
()()
()
()
()
22
24
121621122
4142224222
2
4
212
2
212
=---=-++-=
+-+=t t t t t t
t y y t y y t .解得22-=t （舍）或35
2
=
t ，即3
15±=t ，∴直线l 的方程为：03153=-±y x .19.解：（1）当1=a 时，()1321
+-+=-x x e
x f x ，则()321-+='-x e x f x ，
∴曲线()x f y =在1=x 处切线的斜率()01='=f k .
又∵()01=f ，∴曲线()x f y =在1=x 处切线的方程为0=y .（2）()1211+-=-a e
f a
，()a ax e x f a x 32-+='-，则()a e f a -='-11，
当1>a 时，()02>+=''-a e x f a
x ，则()x f '在()∞+，
1上单调递增.∵()011111=-<-='--e a e
f a
，()()()01123212>--=-+='a a a a a f ，
∴存在唯一的()a x ,10∈，使得()00='x f .
当()0,1x x ∈时，()0<'x f ，∴()x f 在[)01x ，上单调递减；
当()∞+∈，
0x x 时，()0>'x f ，∴()x f 在()∞+，0x 上单调递增.又∵()01212101=+-<+-=-e a e
f a
，∴()()010<<f x f .
又∵()0133>+=-a
e
f ，∴当1>a 时，()x f 在[)∞+，
1上有且只有一个零点.（3）①当1>a 时，()01212101=+-<+-=-e a e f a
，
与当0≥x 时，()0≥x f 矛盾，∴1>a 不满足题意.②当1≤a 时，()010>+=-a
e
f ，
()a ax e x f a x 32-+='-，()a e x f a x 2+=''-，()a e f a 20+=''-.
记函数()1,2≤+=-x x e
x q x
，则()2+-='-x e x q ，
当()1,2ln -∈x 时，()0>'x q ，∴()x q 在()1,2ln -单调递增；当()2ln -∞-∈，x 时，()0<'x q ，∴()x q 在()2ln -∞-，单调递减.∴()()02ln 222ln >-=-≥q x q ，∴()00>''f .又∵()x f ''在[)∞+，0上单调递增，
∴()()00>''≥''f x f ，∴()x f '在[)∞+，0上单调递增，（ⅰ）若()030≥-='-a e
f a
，则()()00≥'≥'f x f ，∴()x f 在[)∞+，
0上单调递增，则()()00>≥f x f ，符合题意；（ⅱ）若()030<-='-a e f a
，可得0>a ，则10≤<a .
∵()011≥-='-a e
f a
，且()x f '在[)∞+，
0上单调递增，∴存在唯一的(]1,01∈x ，使得()01='x f .
当()1,0x x ∈时，()0<'x f ，∴()x f 在()1,0x 上单调递减；当()∞+∈，1x x 时，()0>'x f ，∴()x f 在()∞+，1x 上单调递增，其中(]1,01∈x ，且03211=-+-a ax e
a
x .
∴()()1
312111+-+=≥-ax ax e
x f x f a
x ()
13513813231211211211++-=++-=+-+-=x x a a ax ax ax ax ax a ，
∵(]1,01∈x ，∴[)3,13512
1-∈+-x x .
又∵(]1,0∈a ，∴()
13512
1-≥+-x x a .
∴()0≥x f ，满足题意.
结合①②可知，当1≤a 时，满足题意.综上，a 的取值范围为(]1，∞-.。