九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 26.2.2.4 二次函数yax

26．2 二次函数的图象与性质
2．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与性质 第4课时 二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与性质
知|识|目|标
1．类比一元二次方程的配方法，会将二次函数的一般式化为顶点式．
2．通过画二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象，应用观察、类比、归纳的方法得出二次函数y ＝
ax 2＋bx ＋c 的性质．
目标一 能化二次函数的一般式为顶点式
例1 教材补充例题已知二次函数y ＝－12x 2
＋6x －10.
(1)用配方法将它改写成y ＝a (x －h )2
＋k 的形式； (2)用顶点的坐标公式法将它化成顶点式．
【归纳总结】化一般式为顶点式的方法：
(1)配方法：y ＝ax 2
＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋b a x ＋c a ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋2·b 2a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c a ＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b
2
4a
. (2)顶点坐标公式法：二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的顶点坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b 2a ，
4ac －b 2
4a .
目标二 掌握二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的性质
例2 高频考题对于二次函数y ＝－14
x 2
＋x －4，下列说法正确的是()
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为(－2，－7)
D．图象与x轴有两个交点
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法：
(1)直接观察函数图象得最大(小)值；(2)配方法；(3)用顶点的坐标公式求最大(小)值．
()
例3 高频考题如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－2－3所示，那么
A．a＜0，b＞0，c＞0
B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
【归纳总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与a，b，c的符号之间的关系：
特别地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当横坐标x＝1时，图象上的对应点的纵坐标为a＋b
＋c ；当横坐标x ＝－1时，图象上的对应点的纵坐标为a －b ＋c .
知识点一 把二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 化为顶点式
若把二次函数y ＝a(x －h)2
＋k 展开，将发现y ＝a(x －h)2
＋k ＝ax 2
－2ahx ＋(ah 2
＋k)，也就是说，二次函数y ＝a(x －h)2
＋k 可以化为二次函数的一般式y ＝ax 2
＋bx ＋c 的形式．反过来，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 也可以通过配方法转化为y ＝a(x －h)2
＋k 的形式．具体过程如下： y ＝ax 2
＋bx ＋c
＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋b a x ＋c a
＝a ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋2·b 2a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c a ＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b 2a 2
＋4ac －b 2
4a
＝a ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a 2
＋
4ac －b 2
4a .
因此，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝________，顶点坐标为________________． 知识点二 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与性质 函数
二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c
图象
a>0
a<0
性质
(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸． (2)对称轴是直线x ＝－b
2a
，顶点坐标是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b 2a
，4ac －b 2
4a . (3)在对称轴的左侧，即当x________时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，
(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸． (2)对称轴是直线x ＝－b
2a
，顶点坐标
是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b 2a ，
4ac －b 2
4a .
(3)在对称轴的左侧，即当x________时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的
即当x________时，y 随x 的增大而增大． (4)抛物线有最低点，当x ＝________时，y 有最小值，y 最小值＝________
右侧，即当x________时，y 随x 的增大而减小． (4)抛物线有最高点，当x ＝________时，y 有最大值，y 最大值＝________
已知二次函数y ＝x 2
＋(m －1)x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，试确定m 的取值X 围． 解：这里a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上， 对称轴是直线x ＝－m －1
2
.
∵当x ＞1时，y 随x 的增大而增大， ∴－m －12＝1，
解得m ＝－1.
以上解答过程正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程．
教师详解详析
【目标突破】
例1 解：(1) y ＝－12x 2
＋6x －10
＝－12
(x 2
－12x ＋20)
＝－12(x 2
－12x ＋36－36＋20)
＝－12
[(x －6)2
－16]
＝－12
(x －6)2
＋8.
(2) ∵a ＝－1
2
，b ＝6，c ＝－10,
∴顶点横坐标x ＝－b 2a ＝6, 顶点纵坐标y ＝4ac －b
2
4a ＝8，
∴y ＝－1 2
(x －6)2
＋8.
例2[解析] B ∵二次函数y ＝－14x 2＋x －4 可化为y ＝－14(x －2)2
－3，得出对称轴是直线x ＝
2，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，所以选项A 错误；当x ＝2时，y 有最大值－3，所以选项B 正确；图象的顶点坐标是(2，－3)，所以选项C 错误；图象的顶点在横轴下方，抛物线的开口向下，与横轴没有交点，所以选项D 错误．
例3[解析] A 根据图象开口向下，得a<0；根据图象的对称轴在y 轴右侧，得－b
2a >0，故
b>0；根据图象与y 轴的交点在y 轴正半轴，得c>0.故选A . 【总结反思】
[小结] 知识点一 －b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－b 2a ，4ac －b 2
4a
知识点二 <－b 2a >－b 2a －b 2a 4ac －b
2
4a
<－b 2a >－b 2a －b 2a 4ac －b
2
4a [反思] 不正确．
正确：这里a ＝1>0，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝－m －12.
∵当m>1时，y 随x 的增大而增大， ∴－m －12
≤1，解得m ≥－1.。