高中高中数学北师大版必修2课件第一章立体几何初步 1.6.1.2精选ppt课件

正确;(3)两条直线还可能相交或异面,错误.
答案:(1)(2)
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
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1下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线 a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角 相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面 内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在 棱上的位置没有关系,其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 答案:B
∴平面ABC⊥平面SBC.
题型一 题型二 题型三
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方法二:∵SA=SB=SC=a, 又∠ASB=∠ASC=60°, ∴△ASB,△ASC都是等边三角形. ∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D, ∵AB=AC=AS,∴D为△BSC的外心. 又△BSC是以BC为斜边的直角三角形, ∴D为BC的中点,故AD⫋平面ABC. ∴平面ABC⊥平面SBC.
(3)如图所示,α∩β=l,a⫋α,a⊥l, 但不一定有α⊥β,错误. (4)b与β的位置关系为相交、平行或b⫋β,错误. 答案:(1)(2)
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分析:先找出二面角的平面角,再放在直角三角形中求解.
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解:如图所示,取 AB 的中点 E,连接 PE,OE.
由 O 为正方形 ABCD 的中心知 AB⊥EO.
(3)判定定理:
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1.二面角 (1)定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的 每一部分都叫作半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二 面角的面. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平 面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作这个 二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角来度量,平面角的度 数就是二面角的度数.平面角是直角的二面角叫作直二面角.
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题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 在三棱锥S-ABC
中,∠BSC=90°,∠ASB=60°,∠ASC=60°,SA=SB=SC.
求证:平面ABC⊥平面SBC. 证明:方法一:如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形,则AB=AC.
∴AD⊥BC,SD⊥BC.
令 SA=a,在△SBC 中,SD=
2 2
������,
又 AD=
������������2 -������������2
=
2 2
������,
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
又AD⊥BC,SD∩BC=D,∴AD⊥平面SBC. ∵AD⫋平面ABC,
A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A
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2.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两 个平面互相垂直. (2)画法:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四 边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直.如图 ①②所示.
第2课时 平面与平面垂直的判定
-1-
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1.了解二面角的概念. 2.掌握平面与平面垂直的判定定理. 3.能运用面面垂直的判定定理证明面面的垂直关系.
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题型一 题型二 题型三
解:∵PA⊥平面 ABC,BC⫋平面 ABC, ∴PA⊥BC. 又 AC⊥BC,PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC. 又 PC⫋平面 PAC,∴BC⊥PC. 又 BC⊥AC,∴∠PCA 为二面角 P-BC-A 的平面角. 在 Rt△PBC 中,∵PB= 6, ������������ = 2, ∴ ������������ = 2. 在 Rt△ABC 中,∵AB=2,BC= 2, ∴ ������������ = 2. ∴在 Rt△PAC 中,cos∠PCA= 22, ∴∠PCA=45°,即二面角 P-BC-A 的平面角的大小为 45°.
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【做一做2】 已知直线l⊥平面β,l⫋平面α,则( ) A.α⊥β B.α∥β C.α∥β或α⊥β D.α与β相交但不一定垂直 答案:A
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2.如图所示,在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下 面四个结论中不成立的是( ) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 解析:由题意知BC∥DF,则BC∥平面PDF成立;因为 BC⊥PE,BC⊥AE,且PE∩AE=E,所以BC⊥平面PAE,则DF⊥平面 PAE成立,平面PAE⊥平面ABC也成立. 答案:C
题型一 题型二 题型三
题型一 平面与平面垂直的判定
【例 1】 如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面 ABCD,AC∩BD=E,AD=2,AB=2 3, ������������ = 6.
求证:平面 PBD⊥平面 PAC.
分析:条件中给出了线面垂直及底面梯形的形状.证明本题的突 破口是在其中一个平面内找一条直线垂直于另外一个平面.
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题型一 题型二 题型三
题型三
易错辨析
易错点:对定理理解不准确而致误
【例3】 α,β为不重合的两个平面,给出下列说法:
(1)若α内的两条相交直线分别平行于平面β,则α平行于β.
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行.
(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直.
(4)若b为α中的一条直线,平面α垂直于平面β,则b垂直于平面β.
上面说法正确的序号是
(写出所有的正确序号).
错解:(1)(2)(4)
错因分析:对于(4)因对情况考虑不周而误认为只有b垂直于β这
【变式训练3】 设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平
面,给出下列三个命题,其中正确命题的序号是
.
(1)若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
(2)若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
(3)若m∥α,n∥α,则m∥n.
解析:(1)若m⊥α,n∥α,则m⊥n,正确;(2)若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ,
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【做一做1】 有下列说法: ①两个相交平面所组成的图形叫作二面角; ②二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射 线所成的角; ③二面角的平面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关 系. 其中正确说法的个数是( )
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题型一 题型二 题型三
证明:∵PA⊥平面 ABCD,BD⫋平面 ABCD,
∴BD⊥PA.
又
tan∠ABD=
������������ ������������
一种情况.
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正解:(1)若α内的两条相交直线分别平行于平面β,则两条相交直 线确定的平面α平行于平面β,正确.
(2)若平面α外的一条直线l与α内的一条直线平行,则l平行于α,正 确.
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】
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如图所示,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,AB=2,BC= 2, ������������ = 6, 求二面角������ − ������������ − ������的平面角的大小.
名师点拨平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与 平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“若线面垂直, 则面面垂直”.也就是说证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找 到一条直线和另一个平面垂直即可.
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(3)记法:以直线AB为棱、半平面α,β为面的二面角,记作二面角αAB-β,如图所示.
名师点拨二面角的概念是平面几何中角的概念的扩展和延伸.平 面角是从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形,二面 角是从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形;平面角可以 看作是一条射线绕端点旋转而成,二面角可以看作是一个半平面 以其棱为轴旋转而成.二面角定量地反映了两个相交平面的位置 关系.
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题型一
题型二
题型三
题型二
求二面角的平面角
【例2】 如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,PO⊥底面ABCD,O为 正方形ABCD的中心,PO=1,AB=2,求二面角P-AB-D的平面角的大 小.
=
3 3
,
tan∠BAC=
������������ ������������
=
3,
∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.
∴∠AEB=90°,即 BD⊥AC.
又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC.
∵BD⫋平面 PBD,∴平面 PBD⊥平面 PAC.
反思证明面面垂直有两个途径:一是定义,二是证明线面垂直,二 者都是通过线线垂直来完成的.如果题目给出了长度、角度等条 件,可以考虑用勾股定理或求角来证线线垂直,所以空间问题平面 化是解决立体几何问题的重要思想.
由 PA=PB,E 为 AB 的中点,知 AB⊥EP,
所以∠PEO 为二面角 P-AB-D 的平面角.
在
Rt△PEO
中,tan∠PEO=
������������ ������������
=
������������ 12������������
=
1 12×2
=
1.
所以∠PEO=°.故二面角 P-AB-D 的平面角的大小为 45°.