高考数学高三模拟考试试卷压轴题4月普通高校招生选考科目考试模拟测试数学试题三0011

高考数学高三模拟考试试卷压轴题4月普通高校招生选考科目考试模拟测
试数学试题（三）
选择题部分
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．函数()4||f x x =-的值域为（ ）
A ．R
B ．(],4-∞
C ．[)4,+∞
D ．(],0-∞ 【答案】B 【解析】
试题分析：因为0x ≥，所以44x -≤，故选B 。

考点：函数的值域
【命题意图】以绝对值函数为载体考察函数的值域。

2．在ABC ∆中，若cos 2
A =
，则A ∠=（ ） A ．
4π B ．3π
C ．34π
D ．4π或34
π
【答案】A 【解析】
试题分析：在三角形中，因为cos A =，所以4A π=，故选A 。

考点：特殊角的三角函数值
【命题意图】已知三角函数值，考察角的大小。

3．已知直线方程tan 4510x y +-=，则其倾斜角为（ ）
A ．0
B ．45
C ．30
D ．135 【答案】D 【解析】
试题分析：因为直线tan 4510x y +-=的斜率为1-，所以倾斜角为135，故选D 。

考点：直线的倾斜角与斜率
【命题意图】由直线的一般形式，考察直线的倾斜角。

4．若数列1,,4,,16x y 成等比数列，则下列等式一定成立的是（ ）
A ．2x =
B ．2x =-
C ．8y =
D ．16xy = 【答案】D 【解析】
试题分析：因为1,,4,,16x y 成等比数列，所以224,64,16x y xy ===，故选D 。

考点：等比中项
【命题意图】已知等比数列，考察各项之间的联系。

5．抛物线22x y =
的焦点到直线y =的距离为（ ）
A ．14 B
C ．1
2
D
【答案】A 【解析】
试题分析：抛物线22x y =的焦点为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
1
1
4
=
，故选A 。

考点：点到直线的距离
【命题意图】以抛物线的焦点为载体，考察点到直线的距离。

6．已知向量()1,1,==a b ()2,λ，若2=b a ，则λ=（ ）
A ．±1
B ．．±2 D ．0 【答案】
C 【解析】
试题分析：因为22,4a b λ=
=
+2λ=±，故选C 。

考点：向量模长
【命题意图】已知平面向量的坐标表示，考察模长的计算。

7．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n =-，则2a =（ ）
A ．1
B ．4
C ．6
D ．7 【答案】C 【解析】
试题分析：因为221716a S S =-=-=，故选C 。

考点：数列前n 项和n S 与通项n a 的关系
第9题图 【命题意图】已知数列前n 项和n S ，考察数列中某一项的计算。

8．要得到函数sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需将函数cos2y x =向右平移（ ）
A ．
12π个单位 B ．6π
个单位 C ．4π个单位 D ．512
π个单位
【答案】D 【解析】
试题分析：因为55sin 2cos 2cos 23612y x x x πππ⎡⎤⎛⎫
⎛
⎫
⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故选D 。

考点：函数图象的平移
【命题意图】以正、余弦函数为载体，考察函数图象的平移。

9．如图，三棱锥S ABC -三个顶点A ，B ，C 分别位于一正方体的三个顶点，S 为正方体一条棱的中点，则
三棱锥S ABC -的侧视图为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】
试题分析：由图可知，在左投影的情况下，A 点的投影点为C 点，B 点的投影点为正方体顶点C
正下方的顶点，C 、S 点投影点为本身。

故选A 。

考点：三视图
【命题意图】以正方体为载体，考察空间几何体的三视图。

10．空间直角坐标系Oxyz 中，点A 在z 轴上，它到点(3,2,1)13A 的坐标是（ ）
A ．(0,0,1-)
B ．(0,1,1)
C ．(0,0,1)
D ．(0,0,13) 【答案】C 【解析】
试题分析：设点()0,0,A z ()2
2232113z ++-=1z =，故选C 。

考点：空间中两点的距离
【命题意图】已知空间点的坐标及与另外一点的距离，考察点的坐标。

11．“02x <<”是“24x <”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
试题分析：当02x <<时，124x <<，则可以推出024x <<；当024x <<时，2x <，推不出02x <<。

综上可知“02x <<”是“24x <”的充分而不必要条件。

考点：充分条件与必要条件
【命题意图】以指数不等式为载体，考察充分必要条件。

12．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中正确的是
A ．若//m α，//αβ，则//m β
B ．若//m α，//m β，则//αβ
C ．若m α⊥，n α⊥，则//m n
D ．若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥ 【答案】C 【解析】
试题分析：对于选项A ，有可能m β⊂；对于选项B ，有可能α与β相交；对于选项D ，
//αβ。

故选C 。

考点：空间中直线、平面的位置关系 【命题意图】考察学生空间推理、想象能力。

13. 若a ，b 为实数，且a b <，下列命题中正确的是（ ）
A. 若x a x b ->-，则x b >
B. 若x a x b ->-，则x b <
C. 若x a x b ->-，则2a b x +>
D. 若x a x b ->-，则2
a b
x +< 【答案】C 【解析】
试题分析：x a -表示坐标轴上动点x 到定点a 的距离，x b -表示坐标轴上动点x 到定点b 的距离，若x a x b ->-，则动点x 在a ，b 中点的右端，故选C 。

考点：绝对值不等式的几何意义
【命题意图】考察绝对值不等式的几何意义。

14.若实数,x y 满足22102204x y x y x y ++≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+=⎩
，则y 的最大值为（ ）
71- B.8
5
C.2
D.3 【答案】B 【解析】
第16题图
试题分析：作出不等式组表示的可行域，如图。

则点M 为最高位置，其纵坐标为8
5
，故选B 。

考点：简单的线性规划
【命题意图】给出不等式组，考察可行域的画法，从而求最值。

15. 已知,a b 为正数，且直线()31210x b y +--=与直线40x ay ++=相互平行，则3
2a b
+的最小值为（ ）
A.25
B.12
C.13
6
D.1 【答案】A 【解析】
试题分析：因为直线()31210x b y +--=与直线40x ay ++=相互平行，所以 312a b =-，即321a b +=，
()32326666321313225.b a b a a b a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭故选A 。

考点：基本不等式
【命题意图】以直线的位置关系为载体，考察利用基本不等式求最值。

16.如图，平行六面体（每个面都是平行四边形）1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与平面1A BD 的交点为E ，
线段BD 的中点为O ，则（ ） A.三点1,,A E O 共线，且1A E EO = B.三点1,,A E O 不共线，且1A E EO = C.三点1,,A E O 共线，且12A E EO = D.三点1,,A E O 不共线，且12A E EO =
【答案】C 【解析】
试题分析：因为面11
A ACC 面1A D
B =直线1A O ，直线1
AC 面1A DB =点E ，所以点E ∈直线
1A O ，即三点1,,A E O 共线。

在平行四边形11A ACC 中，
1111
2
OE AO A E A C ==。

故选C 。

考点：空间中点、线、面的位置关系
【命题意图】以平行六面体为载体，考察空间中三点共线。

17.已知过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>右焦点的直线与双曲线右支交于,A B 两点，若
4AB a =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.(3
B.)
3,⎡+∞⎣ C.233⎣
D.23
⎫+∞⎪⎪⎣
⎭
【答案】A 【解析】
试题分析：因为AB 为焦点弦长，所以22b AB a ≥，即2
24b a a ≥，所以222b a ≤，
因为(]2
2
211,3b e a
=+∈，所以(
e ∈，故选A 。

考点：双曲线的基本性质
【命题意图】已知双曲线的焦点弦长，考察离心率的求法。

18. 在三棱锥S ABC -中，1SA SB SC ===，90ASB ASC ∠=∠=，120CSB ∠=. 点Q 在线段AB 上（包括端
点），则直线CQ 与SB 所成角的余弦值的范围是（ ）
A.⎡
⎢⎣⎦ B.⎡⎢⎣⎦ C.⎡⎢⎣⎦ D.⎣⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：本题可用排除法，因为异面直线所成角范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦，故排除选项A 。

若异面直线
CQ 与SB 所成角为0，则CQ SB ⊥。

设Q 在底面SBC 上的射影为M ，则M 在线段SB 上，则有
CM SB ⊥，这与120CSB ∠=矛盾，故排除B ，C ，选D 。

考点：异面直线所成角
【命题意图】以三棱锥为载体，考察异面直线所成角的求解。

非选择题部分
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
19.已知集合2{|log 1},{|4}A x x B x N x =<=∈≤，则集合A =，A B =. 【答案】{}|02x x <<，{}1（6分，每空3分） 【解析】
试题分析：因为2{|log 1}{|02},{|4}A x x x x B x N x =<=<<=∈≤， 所以A B ={}1。

考点：集合的基本运算
【命题意图】与不等式结合，考察集合的基本运算。

20. 设a ，b 为平面向量. 若a (0,1)=-，b ()1,2=，且a ⊥(a λ+b)，则实数λ=.
【答案】12
（3分） 【解析】
试题分析：因为a ⊥(a λ+b)，所以a (a λ+b) = 0，即(0,1)(,21)0λλ-⋅-=，解得 12
λ=。

考点：向量的坐标运算
【命题意图】已知向量垂直，考察向量的坐标运算。

21. 在数列{}()n a n N *∈中，{}()1,2,3,4i a i i =∈.若数列{}1n n a ta +-（t 是常数）是等比数列，则2015a =. 【答案】（3分） 【解析】
试题分析：由题可知12341,2,3,4a a a a ====，则2,32,43t t t ---成等比数列，则1t =，所以n a n =，故20152015a =。

考点：等比数列
【命题意图】已知数列的某些项，考察数列的通项。

22.已知0a <，且不等式20x ax a -+<解集中仅有两个整数，则a 的取值范围为. 【答案】41
32
a -≤<-（3分）
【解析】
试题分析：222
0(),()(1),()()x ax a x ax a f x x g x a x f x g x -+<⇒<-⇒==-<，
()g x 恒过点(1,0) ，由图可知：不等式20x ax a -+<解集中仅有两个整数，
一个整数为0，一个整数为1-，则(1)(1)41
.(2)(2)
32g f a g f ->-⎧⇒-≤<-⎨-≤-⎩
考点：函数与方程
【命题意图】以不等式解集为载体，考察数形结合思想。

三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23.（本题10分）已知函数()3sin 2cos 2f x x x =+.
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若0()1f x =，且0,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求0x 的值．
【解析】
试题分析：（I ）因为()3sin 2cos 2f x x x =+
2sin(2)6
x π
=+，………………………………………………3分
所以()f x 的最小正周期T π=．…………………………………5分
（II ）因为00()2sin(2)16
f x x π
=+=，
所以01
sin(2)62
x π+=，
又0,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， …………………………8分
所以0526
6
x π
π
+=
， ………………………………………………………9分 故03
x π
=
．………………………………………………………………10分
考点：三角函数
【命题意图】考察三角函数中化一公式和求值。

24.（本题10分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，且过点(.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）椭圆的左顶点为A ，左右焦点分别为12,F F .已知直线l 与椭圆交于P ，Q 两点（点P 在第一象限），线段PQ 的中点为M ，线段PQ 的中垂线交x 轴于点N ，若2,,,P M N F 四点共圆，且19
5
AN F N =
，求直线l 的方程. 【解析】
试题分析：解：（I ）因为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>过点(，
所以b =分 又因为离心率为12
，
所以1
2
c a =12=，b =
所以2a =. ………………………………………………………………2分 所以椭圆的标准方程为22
1.43
x y +=………………………………………3分
（II ）因为2,,,P M N F 四点共圆，且PM MN ⊥，
所以22PF F N ⊥.…………………………………………………………4分 因为()21,0F ，
所以P 点横坐标为1，代入椭圆22
143
x y +=中，解得
3
2
y =±
，因为点P 在第一象限， 所以31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
.…………………………………………………………5分
由题直线l 的斜率存在且不为0，故设l 的方程为
()3
12
y k x =-+
.………………………………………………………6分 联立()22
31214
3y k x x y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得 ()()2
2224381241230k
x k k x k k ++-++--=，
所以224123143Q k k x k --⋅=+，即22412343
Q k k x k --=+，…………………7分
所以点M 的横坐标为224643k k
k -+，纵坐标为()222
463961243243k k k k k k ⎛⎫---+= ⎪++⎝⎭
. 所以直线MN 的方程为()2229614643243k k k y x k k k ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪-=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝
⎭，令0y =， 解得()
2223243N k k x k -=
+.…………………………………………………8分
因为19
5
AN F N =，
所以()()9
2,01,05
N N x x +=
+，………………………………………9分 所以1,4N x =即()22231
4
243k k k -=+，解得12k =-.
综上所述直线l 的方程为1
22
y x =-+.……………………………10分
考点：椭圆
【命题意图】综合直线与椭圆的位置关系，考察学生化简变形能力。

25. （本题11分）已知函数()f x 满足：()22121
f x x x x +=+
+. （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；
（Ⅱ）判断函数()f x 在()0,1上的单调性并证明；
第24题图
O
y x
M
A
F 2
F 1
P
Q
N
（Ⅲ）对于任意的()0,x ∈+∞，不等式21
()f x m m
≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】
试题分析：（I ）令1t x =+，因为()22
121
f x x x x +=++
+， 所以()22
1f t t t
=-+，
即()22
1f x x x
=+-.……………………………………………………2分
（Ⅱ）()22
1f x x x
=+-，()0,1x ∈
证明：任取()12,0,1x x ∈，设12x x <，则
()()1212122x x x x x x ⎡⎤
=-+-⎢⎥⎣⎦
……………………………………4分
因为()12,0,1x x ∈，
所以()120,2x x +∈，()120,1x x ∈， 从而
()12
2
2,x x ∈+∞，…………………………………………5分 所以()1212
2
0x x x x +-
<， 又因为12x x <，
所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，
所以函数()f x 在()0,1上单调递减.……………………………………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数()22
1f x x x =+-在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，即
min ()(1) 2.f x f ==………………………………………………7分
因为任意的()0,x ∈+∞，不等式21
()f x m m
≥+
恒成立， 所以2min 1
()2m f x m
+
≤=，即…………………………………8分 21
20m m
+
-≤，即 321
0m m m
-+≤，即 ()()
2110m m m m
-+-≤，即…………………………………9分
()()21100m m m m m ⎧-+-≤⎪⎨≠⎪⎩
，即………………………………10分 150m +≤<151m -+≤≤.…………………………11分 考点：函数的性质
【命题意图】结合恒成立问题，考察函数的单调性和最值。

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m=
（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-
（B ）34-
（C 3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18
（C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12
个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12
(k ∈Z) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图， 若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34
（9）若cos(π4–α)=35
，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725
（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m
n （11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113
MF F ∠=,则E 的离心率为 （A
B ）32
（C
D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.
（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数
1 2 3 4 ≥5 保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数
1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
（I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=54，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；
（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数x x 2f (x)x 2
-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2
x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F四点共圆；
(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x∣+∣x+∣，M为不等式f(x)＜2的解集.
（I）求M；
（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。