北京市海淀区2018届高三数学下学期期中练习(一模)试题理

则称数表 A 为一个“ N 数表” ai, j 为数表 A 的一个“ N 值”，
对任意给定的 n ，所有“ N 数表”构成的集合记作 n ．
(I) 判断下列数表是否是“ N 数表”．若是，写出它的一个“ N 值”；
1 2 3
1 4 7
A 4 5 6 ， B 8 2 5
7 8 9
6 9 3
， co s 2C
.
6
(13)一次数学会议中，有五位教师来自 A，B，C 三所学校，其中 A 学校有 2 位，B 学校有 2
位，C 学校有 1 位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则
共有
种不同的站队方法．
(
14)设函数
f
(
x)
x
2
x, 3x,
xa xa．
①若 f (x) 有两个零点，则实数 a 的取值范围是
( 19)（本小题 14 分）
已知椭圆
C：x a
2 2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的离心率为
3 ，且点 T (2,1) 在椭圆 C 上，设 2
与 OT 平行的直线 l 与椭圆 C 相交于 P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与 x 轴正半轴交于 M ，
N 两点． (I)求椭圆 C 的标准方程； (Ⅱ)判断 OM ON 的值是否为定值，并证明你的结论．
15. （本题满分 13 分）
（Ⅰ）
f
(
)
2
3 sin
cos
2 cos2
1
6
66
6
2
3 1 2
3 2
2
3 2
2
1
2 ····················································································· 3 分
；
②若 a -2 ，则满足 f (x)+ f (x 1) 3 的 x 的取值范围是
．
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 ( 15)（本小题 13 分）
2
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已知 f (x) 2 3 sin x cos x 2 cos2 x 1 ．
方法 3：
设 AC 的中点为 O，连接 PO ，因为在 PAC 中， PA PC ， 所以 PO AC 设 AB 的中点 Q， 连接 PQ ， OQ 及 OB . 因为 在 OAB 中， OA OB ， Q为 AB 的中点 所以 OQ AB .
7
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因为 在 PAB 中， PA PB ， Q为 AB 的中点 所以 PQ AB . 因为 PQ OQ Q ， PQ,OQ 平面 OPQ 所以 AB 平面 OPQ 因为 OP 平面 OPQ
3
6
16. （本题满分 13 分）
（Ⅰ）设事件 A ：从上表 12 个月中，随机取出 1 个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利
于病毒繁殖和传播. 用 Ai 表示事件抽取的月份为第 i 月，则
{A1, A2 , A3, A4 , A5, A6 , A7 , A8, A9 , A10 , A11, A12} 共 12 个基本事件，
(I)求 f ( ) 的值； 6
(Ⅱ)求 f (x) 的单调递增区间．
( 16)（本小题 13 分）
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利 J=-些
病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于 65010 或小于 40%时，有利于病毒
繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市 12 个月的空气月平均相对湿度
(A)2 (B)6 (C)8 (D) 10
(4)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，若四边形 ABCD 及其内部的点组成的集合记为 M ， P(x, y) 为 M 中任意一点，则 y x 的最大值为
(A)1
(B)2
(C) 1 (D) 2
（5）已知 a ， b 为正实数，则“ a 1 ， b 1”是“ lg a lg b 0 ”的
(Ⅲ)若点 M 在棱 PC 上，满足 CM ， [1 , 2]，点 N 在棱 BP 上，且 BM AN ，
PM
33
求 BN 的取值范围． BP
(18)（本小题 13 分）
3
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已知函数
f
(x)
ln x xa
(I)当 a 0 时，求函数 f (x) 的单调递增区间；
(Ⅱ)当 a 0 时，若函数 f (x) 的最大值为，求 a 的值.
A {A2, A6, A8, A9, A10, A11} 共 6 个基本事件，
所以， P( A) 6 1 .···································································· 4 分 12 2
（Ⅱ）在第一季度和第二季度的 6 个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
(6)如图所示，一个棱长为 1 的正方体在一个水平放置的转盘上转
动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面
上的投影的面积记作 S ，则 S 的值不可能是
(A) 1
(B) 6 5
(C) 4 3
(D) 3 2
(1)已知集合 A 0, a ， B x 1 x 2 ，且 A B ，则 a 可以是
(A) 1 (B)0 (C)l (D)2 (2)已知向量 a=(l，2)，b=（ 1，0），则 a+2b=
(A)（ 1，2） (B)（ 1，4）
(C)(1，2) (D) (1，4） (3)执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为
方法 2：
设 AC 的中点为 O，连接 BO ， PO . 因为 在 PAC 中， PA PC ， O为 AC 的中点 所以 PO AC ， 因为 PA PB PC ， PO PO PO ， AO BO CO 所以 POA ≌ POB ≌ POC 所以 POA POB POC 90 所以 PO OB 因为 AC OB O ， AC,OB 平面 ABC 所以 PO 平面 ABC 因为 PO 平面 PAC ··································································4 分 所以 平面 PAC 平面 ABC
要求的一项。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
A
D
D
B
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
题号
9
10
11
12
13
答案 1 i
5
2
2
3
1
48
3
3
注：第 12、14 题第一空均为 3 分，第二空均为 2 分。
14
( 3, 3] x 1
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答题应写出解答步骤。
大值和最小值．（只需写出结论）
( 17)（本小题 14 分）
已知三棱锥 P ABC（如图 1）的平面展开图（如图 2）中，四边形 ABCD 为边长为 2
的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥 P ABC 中：
(I)证明：平面 PAC 平面 ABC ;
(Ⅱ)求二面角 A PC B 的余弦值；
殖和传播的月份只有 2 月和 6 月，故 X 所有可能的取值为 0 ，1， 2 .
P(X
0)
C42 C62
6 15
2 ， P(X 5
1)
C21C41 C62
8 15
， P(X
2)
C22 C62
1 15
随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
2
8
1
P
5
15
15
（Ⅲ） M 的最大值为 58% ，最小值为 54% .················································· 13 分
6
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所以 PO OB 因为 AC OB O ， AC,OB 平面 ABC 所以 PO 平面 ABC 因为 PO 平面 PAC ··································································4 分 所以 平面 PAC 平面 ABC
(Ⅱ)求证：若数表 A 是“ N 数表”，则 A 的“ N 值”是唯一的；
(Ⅲ)在 19 中随机选取一个数表 A ，记 A 的“ N 值”为 X ，求 X 的数学期望 E( X ) ．
4
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参考答案
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
(I)从上表 12 个月中，随机取出 1 个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖 和传播的概率；
(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的 6 个月中随机取出 2 个月，记这 2 个月中甲、乙两地空
气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为 X ，求 X 的分布列； (Ⅲ)若 a b 108 ，设乙地上表 12 个月的空气月平均相对湿度的中位数为 M ，求 M 的最
（7）下列函数 f (x) 中，其图像上任意一点 P(x, y) 的坐标都满足条件 y x 的函数是
1
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(A) f (x) x3 (B) f (x) x (C) f (x) ex 1 (D) f (x) ln(x 1)
（8）已知点 M 在圆 C1：(x 1)2 ( y 1)2 1上，点在圆 C2：(x+1)2 ( y+1)2 1上，则下
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
(9)复数 2i
.
1 i
(
10)已知点(2，0)是双曲线
C
：
x2 a2
y2
1的一个顶点，则 C 的离心率为
.
( 11)直线
x 2t
y
t
（
t
为参数）与曲线
x
y
2+ cos sin
（
为参数）的公共点个数为
.
( 12)在 ABC 中，若 c 2 ， a 3 ， A ，则 sin C
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10 11 12
月月月
甲地 54% 39% 46% 54% 56% 67% 64% 66% 78% 72% 72% 59%
乙地 38% 34% 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70% a% b%
列说法错误的是
(A) OMON 的取值范围为[3 2 2, 0]
(B ) OM ON 取值范围为[0, 2 2]
(C) OM ON 的取值范围为[2 2 2, 2 2 2]
(D)若 OM ON ，则实数 的取值范围为[3 2 2, 3 2 2]
第二部分（非选择题，共 110 分）
（Ⅱ） f (x) 3 sin 2x cos 2x
2sin(2x ) 6
因为函数
y
sin
x
的单调递增区间为
2k
2
, 2k
2
（
k
Z
），
令 2k 2x 2k （ k Z ），
2
6
2
解得 k x k （ k Z ），
3
6
5
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故 f (x) 的单调递增区间为 [k , k ]（ k Z ）····························· 13 分
( 20)（本小题 13 分）
a1,1 a1,2 a1,n
设 A (ai, j )nn a2,1
a2,2
a2,n
是由
1,
2,
3,
,
n
2
组成的
n
行
Hale Waihona Puke n列的数表（每an,1 an,2 an,n
个数恰好出现一次）， n 2 且 n N * ．
若存在1 i n ，1 j n ，使得 ai, j 既是第 i 行中的最大值，也是第 j 列中的最小值，
17.（本题满分 14 分） （Ⅰ）方法 1：
设 AC 的中点为 O，连接 BO ， PO . 由题意 PA PB PC 2 ， PO 1， AO BO CO 1 因为 在 PAC 中， PA PC ， O为 AC 的中点 所以 PO AC ， 因为 在 POB 中， PO 1， OB 1， PB 2
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北京市海淀区 2018 届高三数学下学期期中练习（一模）试题 理
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。