高三数学备考冲刺140分问题20由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题含解析0

问题20 由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题
一、考情分析
递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项. 二、经验分享
(1) 已知S n ，求a n 的步骤
当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 整理得：
，
（叠乘法）因为，
所以3221a a =， 4332a a =，…， 112n n a n a n --=-， 相乘得2
1n
a n a =-，且当n =1、2时，满足此式， 所以
.
(三) 用构造法求数列的通项
【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】已知数列{}n a 满足： 11a =，，（ *n N ∈），
则数列{}n a 的通项公式为__________．
【分析】变形为,构造新数列求解.
【答案】1
21
n n
a =
- 【解析】由
得：
，变形得：
，所以1
{
1}n
a +是以2为公比的等比数列，所以
，所以1
21
n n a =
-. 【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性. 易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出n a .用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构
造的新数列的形式,再确定系数.
【小试牛刀】已知数列}{}{n n b a ，
满足2
1
1=a ,1
=+n n b a , ,*
∈N n ,则=2015b ．
【答案】
2015
2016
．
(四) 利用n S 与n a 的关系求数列的通项 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明：
．
【分析】（1）已知和n S 与项n a 的关系,要求通项公式,可在已知（2n ≥）基础上,用1
n -代n （3n ≥）,得
,两式相减得n a （2n ≥）的递推式,求得n a ,注意1a 的值与n a 的表达式
的关系；（2）由（1）n b 是分段函数形式,2n ≥时,
,考虑到证明和n T 7
10
<
,因此可放缩以求和,从而得,可证得不等式．
又由,于是 故.
【小试牛刀】已知数列{a n }前n 项和为S n ,满足S n =2a n -2n(n ∈N*)． （I ）证明：{a n +2}是等比数列,并求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）数列{b n }满足b n =log 2(a n +2),T n 为数列{1
1
n n b b +}的前n 项和,若n T a <对正整数a 都成立,求a 的
取值范围． 【答案】(Ⅰ)
；（Ⅱ）2
1
≥
a .
（Ⅱ）因为,
所以
,
依题意得：2
1
a 五、迁移运用
1．【安徽省2019届高三上学期第二次联考】设是数列的前项和，若
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
2.【福建省福州市2018届高三上学期期末质检】1．【2017学年辽宁东北育才学校段考】设各项均为正数的
数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足．则数列{}n a 的通项
公式是（ ）
A ．32n a n
=﹣ B ．43n a n =﹣ C ．21n a n =﹣ D ．21n a n =+ 【答案】A
【解析】由满足
．因式分解可得： ,∵数列{}n a 的各项均为正数,∴
,当1n = 时,1231a =- ,
解得11a = ．当2n ≥ 时,
,
当1n = 时,上式成立．∴32n a n =- ．故选A ．
3．【福建省漳州市2019届高三第一次教学质量检查】已知数列
和首项均为1，且
，
，数列
的前项和为，且满足，则
（ ）
A ．2019
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】由
，
可得：，即数列
是常数列，又数列首项为1，所以
，所以
可化为
，因
为数列
的前项和，所以
，
6．【湖北省鄂州市2019届高三上学期期中】已知数列
的前项和为
，首项
，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
7.已知数列{},{}n n a b 满足,则2017b =______.
【答案】
2017
2018
【解析】∵1n n a b +=
,112a =
,∴112
b =,∵,∴11
2n n
b b +=
-,∴,又∵
112b =
,∴1121b =--．∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
是以﹣2为首项,﹣1为公差的等差数列, ∴
,∴1
n n
b n =
+．则．故答案为：
2017
2018
． 8．若数列{}n a 满足
,则n a =（ ）
A.21n +
B.22n +
C.23n
⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.1
23n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】
}1
{
n
a ∴为等差数列, ,
, ,.
9．【福建省莆田市2018届高三下学期教学质量检测】已知数列
满足，，则
__________． 【答案】
10．【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
11a =,12n n n S a a +=（*n N ∈），若
,
则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________.
【答案】()1
11
n
n --+
+或
11．【吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测】在数列中，，且对任意，
成等差数列，其公差为，则 ________. 【解析】因为
，且对任意
，
成等差数列，其公差为，所以当
时,可得
，当时，
,所以,故答案为.
由不等式
恒成立,得27
32
n
n k -≥
恒成立, 设27
2
n n n d -=
,由1n n d d +-,
∴当4n ≤时,1n n d d +>,当4n ≥时,1n n d d +<,
而4116d =
,5332d =,∴45d d <, ∴3332k ≥,∴1
32
k ≥．
15.已知数列{}n a 的前n 项和n n a S -=1,其中*∈N n .
（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）若n n na b =,求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（I ）n
n a )2
1
(=（II ）
（II ）由（I ）可得,
16.已知数列{}n a 的各项都不为零,其前n 项为n S ,且满足：．
（1）若0n a >,求数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在满足题意的无穷数列{}n a ,使得？若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公
式；若不存在,请说明理由．
【答案】（1）n a n =；（2）详见解析.
17.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】已知是公差为3的等差数列，数列满足
．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）由已知且，得，
∴是首项为4，公差为3的等差数列，
∴通项公式为；
（2）由（1）知，得：，，因此是首项为、公比为的等比数列，则．
18．【河南省南阳市2018届高三上学期期末】已知数列的前项和为，且满足（）．
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
（2）由（1）得，
当为偶数时，，；
当为奇数时，为偶数，．
所以数列的前项和．
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云。