椭圆讲解(定义+性质+习题)

椭圆讲解+性质+习题 (一)定义部分（重点掌握）
一．椭圆基本定义（必须掌握）
1.定义：①平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|，即
21212F F a PF PF >=+)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆
2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：
（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=c a 2
2，||||11PM PF =|
|||22PM PF =e ；
（2）=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1 （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；
（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =c
b 2
，
21A B A B ==
3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式
12222=+b y a x 和12222=+b
x a y )0(>>b a 其中2
22b a c -=
椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2
±=，离心率
是a c e =a b 22焦准距（焦点到准线的距离）c b p 2=，焦参数2
b a
（通径长的
一半）范围：}{a x a x ≤≤-，}{b y b x ≤≤-，长轴长=a 2，短轴长=2b ，焦距＝2c ，
焦半径：21()a PF e x a ex c =+=+，2
2()a PF e x a ex c
=-=-.
4.21F PF ∆中经常利用余．弦定理．．．、三角形面积公式．．．．．．．122
12
tan
2
PF F F PF S b ∆∠=将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠(1212F PF F BF ∠≤∠)结合起来，建立1PF +2PF 、1PF ∙2PF 等关系.
二． 第二定义（拓展掌握，有些题目用第二定义做会有事半功倍的效果）：平
面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数
e c
a e M =
<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为
椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，
x a y b a b F c 222
22100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c =-=-
212
0()
②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

三． 焦半径及焦半径公式（拓展掌握）：
椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：
x a y b a b P x y 22
2102+=>>()()
左焦半径∴·左
左r x a c c
a r ex c a a c
a ex 0202
+
=
=+=+
右焦半径
右右r a c
x c
a
r a ex 2
00-=
⇒=-
四．椭圆参数方程（拓展掌握）
问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。

设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。

那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨
⎩||cos ||sin cos sin ()
ϕ
ϕϕ
ϕ
1
这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ 说明：<1> 对上述方程（1）消参即
x
a
y b x a y b ==⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=c o s sin ϕϕ22221普通方程
<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

五．直线与椭圆位置关系（必须掌握，重点难点）： （1）相离
x a y b y kx b
222
21+==+
①相离无解
⇔+
==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 222
2
1
②求椭圆上动点P （x ，y ）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l '∥l 且l '与椭圆相切） ③关于直线的对称椭圆。

（2）相切
①相切有一解
⇔+
==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 222
21
②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为
P x y xx a yy b 000020
21()+=
()31222
2相交有两解
⇔+
==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b
①弦长公式： ||()()AB x x y y =
-+-122122
=++-142
12212k x x x x ()
=+-1212k x x || =+12k a ·
∆
||
（二）性质部分（了解掌握）
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
22
1x y a b +=上，则过0
P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切
点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
+=.
7. 椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点
12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2
F PF S b γ
∆=.
8. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和
AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和
A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆22
221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
2
2O M A B b k k a ⋅=-，
即020
2y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆
22
22
1x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22
00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆
22
22
1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
+=+. 14. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交
椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
15. 过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭
圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =（常数）.
16. 若P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,
12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+. 17. 设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意
一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
s i n s i n s i n c
e a
αβγ==+.
18. 若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e
1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
19. P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
20. 椭圆22
0022
()()1x x y y a b
--+=与直线0A x B y C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 21. 已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.
（1）
2222
1111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2
的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是22
22
a b a b
+.
22. 过椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN
的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF e
MN =.
23. 已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线
与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a ---<<. 24. 设P 点是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记
12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ
=
+.(2) 122
tan 2PF F S b γ∆=. 25. 设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，
PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有
(1)2222
2|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
22cot PAB a b S b a γ∆=-. 26. 已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的
直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点
的连线必与切线垂直.
28. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径
互相垂直.
29. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心
率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 30. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 31. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
（三）习题部分（必要练习）
练习一
1．椭圆
22
11625
x y +=的焦点坐标为 （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0)
2．在方程
22
110064
x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36
3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是
（A ）2214x y += （B ）2214y x += （C ）22116x y += （D ）22
116
y x += 4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是
（A ）
2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）22
11636x y += 5．若椭圆
22
110036
x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是
（A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）14
6．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 7．若y 2－lga ·x 2=
3
1
－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 . 8．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 .
9．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 .
10．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 .
11．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。

练习二
1．过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆的方程是
（A ）
2211510x y += （B ）221510x y += （C ）2211015
x y += （D ）22
12510x y += 2．若椭圆a 2x 2－
2
2
a y =1的一个焦点是(－2, 0)，则a =
（A ）
14 （B ）14- （C ）14 （D ）14
- 3．若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和为30，则△
ABC 的重心G 的轨迹方程为
（A ）
221(0)10036x y y +=≠ （B ）22
1(0)10084x y y +=≠ （C ）
221(0)10036x y x +=≠ （D ）22
1(0)10084
x y x +=≠ 4．点P 为椭圆22
154
x y +=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是
（A ）(±
2, 1) （B ）(2, ±1) （C ）(2, 1) （D ）(±2
, ±1)
5=10为不含根式的形式是
（A ）
2212516x y += （B ）221259x y += （C ）2211625x y += （D ）22
1925x y += 6．椭圆
22
125
x y m m +=-+的焦点坐标是 （A ）(±7, 0) （B ）(0, ±7) （C ）(±7,0) （D ）(0, ±7)
7．过椭圆4x 2+2y 2=1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是 .
8．P 为椭圆22
110064
x y +=上的一点，F 1和F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为 .
9．椭圆122
22=+b
y a x (a >b >0)的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，
则椭圆的离心率为 .
练习三
1．方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是
（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆
2．已知椭圆方程为
22
1499
x y +=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有 ①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±210)；④ a =49, b =9, c =40， （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （A ）
53 （B ）
312 （C ）43 （D ）9
10
4．若点P 到两定点F 1(－2, 0), F 2(2, 0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是
（A ）椭圆 （B ）直线 （C ）线段 （D ）两点
5．设椭圆的标准方程为
22
135x y k k
+=--，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是 （A ）k >3 （B ）3<k <5 （C ）4<k <5 （D ）3<k <4
6．若AB 为过椭圆122
22=+b
y a x 中心的弦，F (c , 0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值
是
（A ）b 2 （B ）bc （C ）ab （D ）ac
7．已知A (4, 2.4)为椭圆
22
12516
x y +=上一点，则点A 到该椭圆的左焦点的距离是______________.
8．若方程x 2cos α－y 2sin α+2=0表示一个椭圆，则圆(x +cos α)2+(y +sin α)2=1的圆心在第
_________象限。

9．椭圆
22
1123
x y +=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍。

10．线段|AB |=4，|P A |+|PB |=6, M 是AB 的中点，当点P 在同一平面内运动时，PM 长度的最
大值、最小值分别为 .
11．设圆(x +1)2+y 2=25的圆心为C ，A (1, 0)是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，AQ 的垂直
平分线与CQ 的连线的交点为M ，则点M 的轨迹方程为 . 12．求过点P (3, 0)且与圆x 2+6x +y 2－91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程。

13．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN =2
1
, tan ∠MNP =－2, 适当建立坐标系，求以M , N 为焦点，且过点P 的椭圆方程。

练习四
1．圆x 2+y 2+4x –4y +4=0关于直线l : x –y +2=0对称的圆的方程是
（A ）x 2+y 2=4 （B ）x 2+y 2–4x +4y =0 （C ）x 2+y 2=2 （D ）x 2+y 2–4x +4y –4=0 2．半径为5，圆心在y 轴上，且与直线y =6相切的圆的方程是 （A ）x 2+(y –1)2=25 （B ）x 2+(y –11)2=25
（C ）x 2+(y –1)2=25或x 2+(y –11)2=25 （D ）(x –1)2+y 2=25或(x –11)2+y 2=25
3．以相交两圆C 1: x 2+y 2+4x +1=0及C 2: x 2+y 2+2x +2y +1=0的公共弦为直径的圆的方程是 （A ）(x –1)2+(y –1)2=1 （B ）(x +1)2+(y +1)2=1 （C ）(x +
53)2+(y +56)2=54 （D ）(x –53)2+(y –56)2=5
4 4．已知BC 是圆x 2+y 2=25的动弦，且|BC |=6，则BC 的中点的轨迹方程是 （A ）x 2+y 2=4 （B ）x 2+y 2=9 （C ）x 2+y 2=16 （D ）x +y =4 5．和x 轴相切，并和圆x 2+y 2=1外切的动圆圆心的轨迹方程是 （A ）x 2=2y +1 （B ）x 2=–2y +1 （C ）x 2=2|y |+1 （D ）x 2=2y –1
6．两圆x 2+y 2=16及(x –4)2+(y +3)2=R 2(R >0)，在交点处切线互相垂直，则R 等于 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）22
7．如果对圆周x 2+(y –1)2=1上的任意一点P (x , y )，不等式x +y –c ≥0恒成立，则c 的取值范围是 。

8．圆的方程为(k +1)x 2+(k +1)y 2–x –ky =0，当k ≠–1时，该圆恒过两定点，则两定点的坐标分别为 。

9．圆C 1: x 2+y 2–6x +8y=0与C 2: x 2+y 2+b =0没有公共点，则b 的取值范围是 。

10．自点A (–3, 3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2–4x –4y +7=0相切，则光线l 所在的直线方程是 。

11．过圆x 2+y 2–8x +4y +7=0内一点(5, –3)的最短弦所在的直线方程是 ；最长的弦所在的直线方程是 。

12．一个圆和已知圆x 2+y 2–2x =0相外切，并且与直线l : x +3y =0相切于点M (3, –3)，求该圆的方程。

13．已知两定圆⊙O 1: (x –1)2+(y –1)2=1, ⊙O 2: (x +5)2+(y +3)2=4，动圆P (圆心、半径都在变化)恒将两定圆的周长平分，试求动圆圆心P 的轨迹方程。

练习五
1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >0
2．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为
（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）22
11625x y +
= 3．已知P 为椭圆
22
1916
x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ）
54 （B ）45 （C ）4
17 （D ）
7
4
7
4．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ）
23 （B ）3
3
（C ）
316 （D ）
6
1
6
5．在椭圆122
22=+b
y a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线
段长是r 1, r 2, r 3，则有
（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ）
123111,,r r r 成等差数列 （D ）123
111
,,r r r 成等比数列 6．椭圆
22
1925
x y +=的准线方程是 （A ）x =±
254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±254
7．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .
8．对于椭圆C 1: 9x 2
+y 2
=36与椭圆C 2:
22
11612
x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆122
22=+b
y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .
10．已知定点A (－2, 3)，
F 是椭圆22
11612
x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

练习六
1．若方程
22
1x y a b
-=表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是
（A >
（B （C > （D 2．曲线
221259x y +=与22
1259x y k k
+=-- (k <9)有相同的 （A ）短轴 （B ）焦点 （C ）准线 （D ）离心率
3．椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a , b , c ，则其焦点到相应准线的距离P 是
（A ）2a c （B ）2b c （C ）2b a （D ）2
a b
4．椭圆2
244
x y +=上一点P 到两焦点距离之和与该点到两准线的距离之和的比是 （A ）3 （B ）
2
3
（C ）21 （D ）随P 点位置不同而有变化
5．椭圆1
2222=+b y a x (a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a , 0), B (0, b )则椭圆的离心率为
（A ）
21 （B ）54 （C ）76- （D ）76
+ 6．设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆122
22=+b
y a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与
椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为 （A ）
3
1
6 （B ）
2
3 （C ）22 （D ）32
7．中心在原点，准线方程为y =±4，离心率为
2
1
的椭圆方程是 . 8．若椭圆
22
189
x y k +=+的离心率为e =21，则k 的值等于 .
9．若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成120°角，则该椭圆的离心率为 .
10．椭圆
22
2112x y m m
+=+的准线方程为 . 练习七
1．离心率为
3
2
，长轴长为6的椭圆的标准方程是 （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22
159x y += （C ）
2213620x y += （D ）2213620x y +=或22
12036
x y += 2．椭圆
22
143
x y +=上有n 个不同的点P 1, P 2, P 3,……, P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于1
100
的等差数列，则n 的最大值为 （A ）199 （B ）200 （C ）198 （D ）201
3．点P 是长轴在x 轴上的椭圆122
22=+b
y a x 上的点，F 1, F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的
半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是
（A ）1 （B ）a 2 （C ）b 2 （D ）c 2
4．一个圆心在椭圆右焦点F 2，且过椭圆的中心O (0, 0)，该圆与椭圆交于点P ，设F 1是椭圆的左焦点，直线PF 1恰和圆相切于点P ，则椭圆的离心率是 （A ）3－1 （B ）2－3 （C ）
22
（D ）2
3 5．椭圆短轴的两端点为B 1, B 2，过其左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的比例中项(O 为中心)，则
12||
||
PF OB 等于 （A ）2 （B ）22 （C ）2
3 （D ）32
6．如图，已知椭圆中心在原点，F 是焦点，A 为顶点，准线l 交x 轴于点B ，点P , Q 在椭圆上，且PD ⊥l 于D ，QF ⊥AO , 则椭圆的离心率是①
||||PF PD ；② ||
||
QF BF ；③
||||AO BO ；④ ||||AF AB ；⑤ ||
||
FO AO ，其中正确的个数是
（A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个
7．点P 与定点(1, 0)的距离和它到直线x =5的距离的比是3
3
，则P 的轨迹方程为 .
8．椭圆122
22=+b y a x (b >a >0)的准线方程是 ；离心率是 。

9．椭圆
22
14924
x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则Rt △PF 1F 2的面积为 .
10．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0<e ≤
2
3
，则长轴的最大值等于 . 11．若椭圆的一个焦点分长轴为3 : 2的两段，则其离心率为 .
12．椭圆122
22=+b
y a x (a >b >0)长轴的右端点为A ，若椭圆上存在一点P ，使∠APO =90°，求
此椭圆的离心率的取值范围。

练习八
1．方程Ax 2+Ay 2+Dx +Ey +F =0(A ≠0)表示圆的充要条件是
（A ）D 2+E 2–4F >0 （B ）D 2+E 2–4F <0 （C ）D 2+E 2–4AF >0 （D ）D 2+E 2–4AF <0 2．已知圆的方程是x 2+y 2–2x +6y +8=0，则通过圆心的一条直线方程是 （A ）2x –y –1=0 （B ）2x +y +1=0 （C ）2x –y +1=0 （D ）2x +y –1=0 3．圆x 2+y 2=16上的点到直线x –y =3的距离的最大值是 （A ）
2
32 （B ）4–
2
32 （C ）4+
2
32 （D ）0
4．已知圆C 和圆C ’关于点(3, 2)成中心对称，若圆C 的方程是x 2+y 2=4，则圆C ’的方程是 （A ）(x –4)2+(y –6)2=4 （B ）(x +4)2+(y +6)2=4 （C ）(x –6)2+(y –4)2=4 （D ）(x –6)2+(y +4)2=4
5．已知圆x 2+y 2=4关于直线l 对称的圆的方程为(x +3)2+(y –3)2=4，则直线l 的方程为 （A ）y =x +2 （B ）y =x +3 （C ）y =–x +3 （D ）y =–x –3
6．设M ={(x , y )| y y ≠0}, N ={(x , y )| y =x +b }，若M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 （A ）–32≤b ≤32 （B ）–3≤b ≤32 （C ）0≤b ≤32 （D ）–3<b ≤32 7．如果圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2–4F >0)关于直线y =2x 对称，则D 与E 的关系式为 .
8．两定点O (0, 0)和A (3, 0)，动点P 到点O 的距离与它到点A 的距离的比是
2
1
，则点P 的
轨迹方程是__________________________ .
9
．圆的参数方程为
2
1
x
y
θ
θ
⎧=-+
⎪
⎨
=
⎪⎩
，化成圆的一般方程是；圆心是。

10．以A(2, 2), B(5, 3), C(3, –1)为顶点的三角形的外接圆的方程为.。