2007年江苏省高考数学冲刺预测试卷 苏教版

2007年江苏省高考数学冲刺预测试卷
本卷满分：150分 试卷用时：120分钟
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A ⊂≠B 是C U B ⊂≠C U A 的……………………（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知数列{a n }是首项为a 1，公差为d （0<d <2π）的等差数列，若数列{c os a n }是等比数列，则其公比为……………………………………………………………………（ ） A ． 1 B ．－1 C ．1± D ．2
3．某采访小组共8名同学，其中男生6名，女生2名。

现从中按性别分层随机抽取4名同学参加一项采访活动，则不同的抽取方法共有…………………………（ ） A ．40种 B ．70种 C ．80种 D ．240种 4．已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如下图所示，如果0,0,2
A π
ωϕ>><，
则………………………………（ ）
A .．A=4
B ．1ω=
C ．6
π
ϕ=
D ．B=4
5．已知2
1[1,0)()1[0,1]
x x f x x x +∈-⎧=⎨
+∈⎩，，，则下列函数的图象错误．．
的是……………………（ ）
6．7某路段检查站监控录象显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其
中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90k m /h 的约有（ ）
A ．100辆
B ．200辆
C ．300辆
D ．400辆
7．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°则该截面的面积是………………………………………………………………………………（ ） A ．π B. 2π C. 3π D. π32
8．数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若平面上的三个不共线的向量,,满足,20061OC a OA a OB +=且A 、B 、C 三点共线，则S 2006= ………………………（ ）
A ．1003
B ．1010
C ．2006
D ．2010
9．一条螺旋线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线CA 1、A 1A 2、A 2A 3分
别以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，然后又以A 为圆心，AA 3为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得螺旋线
112233231313,,,n n n n CA A A A A A A A A ---的总长度S n 为………………………………（ ）
A ．(31)n n π+
B ．
(1)3
n n π
+ C ．2(31)n π- D ．(1)n n π+ 10．动点P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上异于椭圆顶点(,0)a ±的一点，F 1、F 2为椭圆的两
个焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的…………………………………………………………………………………………（ ）
A ．一条直线
B ．双曲线的右支
C ．抛物线
D ．椭圆 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
11．函数y =f （x ）的图象如右所示。

那么，f （x 的定义域是 ________；值域是_ __ ； 其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是 ____________。

12．（xc os ϕ+1）5的展开式中x 2的系数与4
45⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x 的展开式中x 3
的系数相等，则
c os ϕ= 。

13．如果学生甲每次投篮投中的概率为
3
1，那么他连续投三次，恰好两次投中的概率为_____，至少有一次投中的概率为__________。

（用数字作答）
14．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥≥120
y x x y ，则22)3(y x ++的最小值是___________。

15．已知函数=-'-'+=)3
1(,)31
(2)(2
f x f x x f 则 。

16．某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
①如一次购物不超过200元，不给予折扣；
②如一次购物超过200元不超过500元，按标价给予九折（即标价的90%）优惠； ③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的剩余部分给予八五折优惠。

某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则他应该付款为 元。

三、解答题：本大题5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列).(1}{),,2(,31,}{111**--∈=∈≥-=⋅=N n a b b N n n a a a a a a n
n n n n n n n 满足数列中
（Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列1
{
}n
nb 的前n 项和。

18．如图，P ABCD -是正四棱锥，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB=2，
（Ⅰ）求证：11PA B D ⊥；
（Ⅱ）求平面PAD 与平面BDD 1B 1所成的锐二面角θ的大小； （Ⅲ）求B 1到平面PAD 的距离。

19．设椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，已知椭圆E 上的任意一
点P ，满足2
1212
PF PF a ⋅≥
，过F 1作垂直于椭圆长轴的弦长为3。

（1）求椭圆E 的方程；
（2）若过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，求22F A F B ⋅的取值范围．
20．已知函数f （x ）＝x |x 2
－a |，a ∈R 。

（Ⅰ）当a ≤0时，求证函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是增函数； （Ⅱ）当a ＝3时，求函数f （x ）在区间[0，b ]上的最大值。

21．设函数f （x ）=ax 2
+bx +c ，a 、b 、c 都是正实数，且f （1）=1。

（Ⅰ）若x ＞0，证明：f （x ）·f （
x
1
）≥1； （Ⅱ）若正实数x 1、x 2、x 3满足x 1·x 2·x 3=1，证明：f （x 1）·f （x 2）·f （x 3）≥1。

[参考答案] http://
一、选择题
1．解：由文氏图和子集的定义知是充要条件。

答案：C
点评：本题考查了集合和充要条件的基础知识。

2．解：利用余弦曲线可得1
cos 1n a ⎧=⎨
-⎩
答案：B 。

点评：本题考查三角函数的图象与性质、等差数列与等比数列的概念等基本知识。

3．解：由题意可知按分层抽样抽取4名同学，抽样比为
2
1
，需从男生中抽取3名，从女生中抽取1名，即得共有1
236C C =40，故应选A 。

答案：A 。

点评：本题考查了抽样统计中分层抽样的概念及排列组合的实际应用 4．解：如图可知：A=2，B=2，6
,2π
ϕω==。

答案：C
点评：本题考查了sin()y A x B ωϕ=++的图像和性质。

5．解：由图像知，D 正确。

答案：D 。

点评：本题考查了函数的图像，分段函数以及函数图像的变换。

6．解：小于90k m/h 的概率为0.01+0.02+0.04=0.07，所以不小于90k m/h 的概率为0.03，共由1000辆汽车，所以这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90k m/h 的约有300辆。

答案：C 。

点评：本题考查了频率分布直方图，对立事件的概率，概率的实际意义等知识。

7．解：如图所示：OA=2，∠OAB=60°，AB=1，所以截面的面积为π。

答案：A
点评：本题考查了球的基本概念，直线和平面 所成的角的定义，以及简单的运算能力。

8．解：∵A 、B 、C 三点共线，∴11=+n a a ，∴S 2006=()
2
200620061a a +⋅=1003。

答案：A 。

点评：本题考查了等差数列的前n 项和的公式，向量的运算和共线定理。

9．解：第n 圈的长度分三段．第一段以点A 为圆心，半径为3n －2；第二段以点B 为圆心，半径为3n －1；第三段以点C 为圆心，半径为3n ，所以第n 圈的长度
2(32313)3
n l n n n π
=
-+-+，所以2(1233)3n S n π=++++。

答案：A
点评：考查学生的阅读能力和归纳推理能力。

10．解：如图所示，设三个切点分别为：M 、N 、Q ∴N F PM PF PF PF
2121++=+
N F N F 21+=
N F F F 2212+=
=2a
∴c a N F -=2，∴N 点是椭圆的右顶点，
∴CN ⊥x 轴，∴C 点轨迹为直线。

答案：A 。

点评：本题考查了椭圆的定义，直线和圆相切的性质，和轨迹的求法。

二、填空题
11．解：由图像可得。

答案：)3,2[]0,3[ -； [1，5]； ]5,4()2,1[ ∈y .（端点相对应为开也可， 左， 上为无穷也可）
点评：本题是函数的基础题，考查函数的表示方法。

12．解：x 2
的系数为：()2
3
5cos ϕC ，x 3
的系数为：4
51
4⋅
C ，∴()5cos 102
=ϕ， ∴21cos 2
=
ϕ，∴2
2cos ±=ϕ 答案：2
2±。

点评：本题考查了二项式定理。

13．解：连续投三次，恰好两次投中的概率P=2
3C ×（
31）2（1－31）=9
2； 至少有一次投中的概率P=1－0
3C ×（1－31）3=27
192781=-。

答案：
27
1992
点评：本题考查了相互独立事件同时发生的概率的求解及概率事件的分析
14．解： 22)3(y x ++是点（x ，y ）和点（—3，0）之间的距离的平方，要最小只要点（—3，0）到平面区域的距离最小即可，
由图像知当AB ⊥l 时有最小值8。

答案：8
点评：本题考查的是用线性规划的解题方法 和解题思想来求最值。

15．解：)3
1(22)('
-'+=f x x f ，∴)3
1(2)31(2)31('
-'+-⋅=-f f ，∴3
2)31('
=
-f 答案：
3
2 点评：考查了导数的定义和导函数的求法。

16．解：若买200元则付180元，第一次付了176元，故就是价值176元的商品；若买500元则要付450元，第二次付了432元，故是价值480元的商品，两次共买了价值656元的商品，应付的钱为500×0.9+156×0.85=582.6元
答案：582.6
点评：本题是一道数学应用题，考查了学生实际问题和数学问题的转化能力。

三、解答题
17．分析：要求{b n }的通项公式，先求{b n }的递推公式，由n
n a b 1
=
想到在n n n n a a a a -=⋅--11两边同时取倒数，得到{b n }是等差数列，再由等差数列的通项公式求出；由{b n }的通项公式先求}1
{
n
nb 的通项公式，再用裂项相消的方法求和。

解：（I ）,31
,11
1==
=a b n 时当 11
1,21
111=⋅-=-=
-≥----n n n n n n n n a a a a a a b b n 时当，
∴数列{b n }是首项为3，公差为1的等差数列， ∴通项公式为b n =n +2。

（II ）,)
2(11+=n n nb n
)
2(1531421311+++⋅+⋅+⋅=
∴n n T n ])
2)(1(3223[21)]2111(23[21)]211()5131()4121()311[(21+++-=+++-=+-++-+-+-=n n n n n n n 点评：本题考查了数列的递推公式，通项公式，求和方法以及等差数列的定义和通项公式，属于中档题，考查了学生的数列基础知识和简单的运算能力。

18．分析：线线垂直可以通过线面垂直或三垂线定理或平行转化得到，由题意课证得PA ⊥BD ，再由BD ∥B 1D 1，得到垂直；平面PAD 与平面BDD 1B 1所成的角就是平面PAD 与平面PBD 所成的角，再用三垂线法作出二面角的平面角；B 1到平面PAD 的距离可以用体积法求得。

解：（Ⅰ） 连结AC ， 交BD 于点O ， 连结PO ， 则PO ⊥面ABCD ， 又∵AC ⊥BD ， ∴PA ⊥BD ， ∵BD ∥B 1D 1， ∴PA ⊥B 1D 1。

（Ⅱ） ∵AO⊥BD ， AO ⊥PO ， ∴AO⊥面PBD ， 过点O 作OM ⊥PD 于点M ，连结AM ， 则AM ⊥PD ， ∴∠AMO 就是二面角A －PD －O 的平面角， 又∵AB=2，
PA=， ∴AO =2，PO =226=-
PO OD OM PD ⋅=
==
，
∴tan AO AMO OM ∠=== ，
即二面角的大小为。

（Ⅲ）用体积法求解：11B PAD A B PD V V --=PD B PAD S AD S h 12
1
3131⋅⋅⋅=⋅⋅⇒
解得x h =
， 即1B 到平面PAD
点评：本题的立体图形是正四棱锥和正方体的组合，考查了学生垂直的证法、二面角的求法，点到直线距离的求法；考查了学生的空间想像能力、计算能力、逻辑推理能力。

19．分析：由21212PF PF a ⋅≥
知该数量积的最小值为22
1
a ，由过F 1作垂直于椭圆长轴的弦长为3知
2
3
2=a b ，由数量积的定义求出目标函数，利用函数的值域求出224,3a b ==；要求22F A F B ⋅的取值范围先求目标函数，由直线和椭圆相交借助韦达定理可以求出范围。

解：（1）设点P 00(,)x y ，则100200(,),(,)PF c x y PF c x y =---=--，
22
2
2222120
02c PF PF x c y x b c a
∴⋅=-+=+-，22
2120
1,02PF PF a x a ⋅≥≤≤ 2
2
21,22b c a a c ∴-=∴=，又2222223
1,,2
c y b b y a b a a +=∴=±∴=，
2
2
4,3a b ==，∴椭圆的方程为：22
143
x y +
= （2）当过F 1直线AB 的斜率不存在时，点3
3(1,),(1,)22A B ---，则2212
F A F B ⋅=-
； 当过F 1直线AB 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 的方程为y=k （x +1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
由22(1)
143
y k x x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩ 得：2222(43)84120k x k x k +++-=
22121222
8412
,4343
k k x x x x k k --+=⋅=++
222121212122221212222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)797574344(43)70,34
F A F B x x y y x x k x x k x x k x x k k k k k F A F B ∴⋅=--+=--+++=++-+++-==-
++≥∴-≤⋅<
综合以上情形，得：22734
F A F B -≤⋅<
点评：本小题主要考查椭圆的方程、几何性质，平面向量的数量积的坐标运算，直线与圆锥曲线的位置关系等基本知识及推理能力和运算能力。

是椭圆知识与平面向量相结合的综合问题。

20．分析：证明函数的单调性可以利用导数证明，由a ≤0可以去掉绝对值；要求函数的最值先要求极值点以及极值点的函数值，然后和区间端点的函数值比较得到最后的最大值，要注意区间端点和极值点之间的关系，从而产生分类讨论。

解：（Ⅰ）∵a ≤0，∴x 2
－a ≥0，∴f （x ）＝x （x 2
－a ）＝x 3
－ax ，
f '（x ）＝3x 2－a ，
∵f '（x ）≥0对x ∈R 成立，
∴函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是增函数。

（Ⅱ）当a ＝3时，f （x ）＝x |x 2
－3|＝⎩
⎪⎨⎪⎧3x －x 3
，当－3<x <3，
x 3－3x ，当x ≤－3，或x ≥3．
（i ）当x ＜－3，或x ＞3时，f '（x ）＝3x 2
－3＝3（x －1）（x ＋1）＞0。

（ii ）当－3＜x ＜3时，f '（x ）＝3－3x 2
＝－3（x －1）（x ＋1）。

当－1＜x ＜1时，f '（x ）＞0；
当－3＜x ＜－1，或1＜x ＜3时，f '（x ）＜0。

所以f （x ）的单调递增区间是（－∞，－3]，[－1，1]，[3，＋∞）；
f （x ）的单调递减区间是[－3，－1]，[1，3]。

由区间的定义可知，b ＞0。

①若0＜b ≤1时，则[0，b ]⊂[－1，1]，因此函数f （x ）在[0，b ]上是增函数， ∴当x ＝b 时，f （x ）有最大值f （b ） ＝3b －b 3。

②若1＜b ≤3时，f （x ）＝3x －x 3
在[0，1]上单调递增，在[1，b ]上单调递减，因此，
在x ＝1时取到极大值f （1） ＝2，并且该极大值就是函数f （x ）在区间[0，b ]上的最大值。

∴当x ＝1时，f （x ）有最大值2。

③若b ＞3时，当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x －x 3
在[0，1]上单调递增，在[1，3]
上单调递减，因此，在x ＝1时取到极大值f （1）＝2，在x ∈[3，b ]时，f （x ）＝x 3
－3x
在[3，b ]上单调递增，在x ＝b 时，f （x ）有最大值f （b ）＝b 3
－3b 。

（i ）当f （1）≥f （b ），即2≥b 3
－3b ，b 3
－b －2b －2≤0，b （b 2
－1）－2（b ＋1）≤0， （b ＋1）2
（b －2）≤0，b ≤2。

∴当3＜b ≤2时，在x ＝1时，f （x ）取到最大值f （1）＝2。

（ii ）当f （1）＜f （b ），解得b ＞2，
∴当b ＞2时，f （x ）在x ＝b 时，取到最大值f （b ）＝b 3
－3b 。

综上所述，函数y ＝f （x ）在区间[0，b ]上的最大值为y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧3b －b 3
，0<b ≤12，1<b ≤2，b 3－3b ，b >2．
点评：本题是导数的综合题，利用导数证明单调性和求最值；考查了学生分类讨论的能
力，逻辑推理的能力和抽象思维能力，以及转化和化归的数学思想，数形结合的数学方法，是一个难度较大的综合题。

21．分析：f （x ）·f （
x 1）=（ax 2
+bx +c ）·（c x b x
a ++112），利用基本不等式可以证明之；由x 1·x 2·x 3=1可以得到三个数之间的关系，分为都等于1和不都相等，若不全相等不
妨设x 1＞1，x 2＜1，再利用第一问的结论进行证明。

证明：（Ⅰ）∵f （1）=1∴a +b +c =1 当x ＞0时
f （x ）·f （
x 1）=（ax 2
+bx +c ）·（c x b x
a ++112） =a 2
+b 2
+c 2
+ab （x +
x 1）+bc （x +x 1）+ca （x 2
+21x
） ≥a 2
+b 2
+c 2
+2ab +2bc +2ca =（a +b +c ）2
=1 当且仅当x =1时取得等号。

（Ⅱ）（ⅰ）若x 1=x 2=x 3=1，
则显然有f （x 1）·f （x 2）·f （x 3）=1。

（ⅱ）若x 1、x 2、x 3不全相等，则其中必有x i ＞1，
x i ＜1，i ，j∈{1，2，3}（i≠j），不妨设x 1＞1，x 2＜1，
∵x 1·x 2·x 3=1
∴由（1）可知f （x 1x 2）·f （x 3）≥1，
∵a 、b 、c 为正实数 ∴任意取x ＞0有f （x ）＞0
故只需证f （x 1）·f （x 2）≥f （x 1x 2）即可。

∵f （x 1）·f （x 2）=（21ax +bx 1+c ）·（22ax +bx 2+c ）
=)()()(222121221221221222212x x ca x x bc x x x x ab c x x b x x a ++++++++
f （1）·f （x 1x 2）=（a +b +c ）·（c x bx x ax ++212221）
=+++++)(212221*********x x x x ab c x x b x x a )1()1(222121+++x x ca x x bc
∴f （x 1）·f （x 2）·f （x 1x 2）
=f （x 1）·f （x 2）·f （1）·f （1）·f （x 1·x 2）
=abx 1x 2（x 1+x 2－x 1x 2－1）+bc （x 1+x 2－x 1x 2－1）+ca （122212221--+x x x x ）
=abx 1x 2（x 1－1）（1－x 2）+bc （x 1－1）（1－x 2）+ca )1)(1(2221x x --＞0 （13分）
∴f （x 1）·f （x 2）＞f （x 1x 2），又因f （x 3）＞0， 所以f （x 1）·f （x 2）·f （x 3）＞f （x 1x 2）·f （x 3）≥1，
点评：代数证明是高考压轴题的热点，对学生要求很高。

本题是函数与不等式，特别是与二次函数有关，新课程标准中对于二次函数和函数与方程要求都很高，因此与二次函数有关的题型应该是高考的热点，特别是压轴题的首选。