线性代数期末测试题及其答案

线性代数期末考试题
一、填空题将正确答案填在题中横线上;每小题5分,共25分
1. 若02
2150
1
31=---x ,则=χ__________; 2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 ;
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵;
4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵,且3||=A ,则=|2|A ;
5．n 阶方阵A 满足032
=--E A A ,则=-1
A ;
二、选择题 每小题5分,共25分
6．已知二次型3231212
322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时,该二次型为正
定
A.054<<-t
B.5454<<-t
C.540<<t
D.2
154-<<-t
7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,求x 的值
A.3
B.-2
C.5
D.-5
8．设A 为n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是 A. 0≠A B. 01
≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关
9．过点0,2,4且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为 A.
14322-=-=-z y x B.24
322-=
-=z y x C.14322+=+=-z y x D.2
4
322+=
+=z y x
10．已知矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1513A ,其特征值为 A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ
三、解答题 每小题10分,共50分
11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=B ⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=200012003120
4312C 且矩阵X 满足关系式
E
X B C T
=-)(, 求X ;
12.问a 取何值时,下列向量组线性相关 123112211
,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
⎝⎭⎝⎭
;
13. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=++-=++2
23
321
321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解 当方程
组有无穷多解时求其通解;
14. 设.77
103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示;
15.证明：若A 是n 阶方阵,且，I AA =T
，
1-=A 证明 0=+I A ;其中I 为单位矩阵 线性代数期末考试题答案
一、填空题 1. 5.
解析:采用对角线法则,由002)5(03)2(51=----++-⨯⨯x x 有5=x . 考查知识点:行列式的计算. 难度系数:
2.1≠λ.
解析:由现行方程组有)1(2
2211
11
11
1
1-=-+==λλλλλ
D ,要使该现行方程组只有零
解,则0≠D ,即1≠λ.
考查知识点:线性方程组的求解 难度系数: 3.n n s s ⨯⨯， 解析;由题可知
n
s ij c C ⨯=)(,则设D CB AC ==,可知D 的行数与A 一致,列数与B 一致,且
A 与
B 均为方阵,所以A 为s s ⨯阶矩阵,B 为n n ⨯阶矩阵.
考查知识点:n 阶矩阵的性质 难度系数:
4. 24
解析:由题可知,A 为3阶矩阵且3=A ,则24223
==A A .
考查知识点:矩阵的运算 难度系数:
5. E A 3-
解析:由032
=--E A A 有E E A A =-)3(,此时E A A 31
-=-.
考查知识点:求解矩阵的逆矩阵 难度系数:
二、选择题 6. A
解析：
由题可知,该二次型矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--5212111t t ,而
0455
2
1211
1,011
1,
1122>--=-->-=>t t t t t t t
,可解得05
4
<<-t ;此时,该二次型正定;
考查知识点:二次型正定的判断 难度系数
7. C
解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5,可解得x=-5; 考查知识点:n 阶矩阵特征值的性质 难度系数: 8. D
解析：由题可知,A 为n 阶可逆矩阵,则A 的行向量组线性无关; 考查知识点:n 阶可逆矩阵的性质 难度系数:
9. A.
解析：由题可知,两平面法向量分别为)3,1,0(),2,0,1(21-==n n ,则所求直线的方向向量为k j i n n s ++-=⨯=3221;所以所求直线为
1
4
322-=-=-z y x ; 考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程
难度系数:
10. C.
解析：由08215
1
32=--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---=-λλλλ
λE A ,可解得特征值为4,221=-=λλ 考查知识点:求解矩阵的特征值
难度系数:
三、解答题
11. 解：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---==⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=------12
1
012100120001][1210012100120001
][12
3
4
012300120001
1000
21003210
43211
1)()()(B C B C B C T
T T E X B C ，， 考查知识点:矩阵方程的运算求解
难度系数:
12.解：
)22()12(81
21212121
212
1||2321-+=----
-
-
==a a a a a
a a a A ，， 当||A =0时即2
1
-=a 或1=a 时,向量组321a a a ，，线性相关;
考查知识点:向量组的线性相关性 难度系数:
13.解：
①当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解；
②当2-=λ时方程组无解
③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 考查知识点:线性方程组的求解
难度系数:
14.解：
由题可知
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡------→⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡------==00
00
11002010
2001131300161600241031
21713010430241031217130
731110094
31
21)(4321a a a a A ，，，
则()34321=a a a a r ，，，,其中321a a a ，，构成极大无关组,且线性关系为 321422a a a a ++-=
考查知识点:向量组的秩与 最大无关组 难度系数:
15.证明：
由题可知,
()
()A I T
A I A I A AA A I A T
T
+-=+-=+=+=+
∴()02=+A I ,即()0=+A I 考查知识点:n 阶方阵的性质 难度系数:。