2016广州一模理科数学考试分析(标准试卷)

2016年广州市普通高中毕业班综合测试
理科数学分析报告
试卷分析：
一、命题指导思想
1.2016年是广东省课标卷自主命题九年后使用全国课标卷的第一年，《广州一模》数学命题的主要依据是《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）、《2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲——数学（文、理科）》（以下简称《考试大纲》）和《2016年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷）考试大纲的说明——数学（文、理科）》（以下简称《考试说明》）。

2．研究2007~2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（课标卷）的命题特点，是广州市“一测”数学卷命题的另一依据. 近八年课标卷的命题思路：注重加强对数学基本知识、基本数学思想方法和基本技能的考查，以及对学生综合分析能力的考查。

3.命题遵循“多考思维，少考运算”原则，将对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等融为一体，全面检测学生的数学综合素质.
4.在选择题和填空题设计中以中等难度题为主考查数学基础，注重通解通法，同时注重内在逻辑联系，可以寻求多方法解题思路，在解答题设计中坚持知识的综合性，注重在知识网络的交汇处设计试题.并在全面考查基本能力的同时，突出考查学科的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力等能力，体现课程标准的基本理念.
二. 本次试卷的新意
2016年广州市“一测”数学试题考查的内容符合《课程标准》、《考试大纲》与《考试说明》的要求.两份席卷重点考查了高中数学的主要核心内容，既没有超纲，也没有超标，对课程中增加的内容和弱化的知识点做到了较好的把握，试题在结构和难度上与近几年全国课标卷一致，试卷注重对基础知识、基本技能、基本思想方法的考查.
2016年广州市“一测”试题无论考查内容还是考查形式，都让学生觉得符合常规，所谓“似曾相识不陌生，常规之中比根基”. 但常规题中仍然深入地考查了数学思想。

在“一测”数学试题中，涉及到的基本数学思想和方法主要有：
等价转化思想作为中学数学中的一种基本化归思想，在试卷中随处可见．
函数与方程的思想：如文科3、8、9、13、20、21题，理科6、16、20、21题等．数形结合的思想：理科第7、8、11题；文科第5、7、12题等．
其中反映逻辑思维能力的推理论证能力和运算求解能力的考查贯穿全卷，突出反映
在含字母的算式推演运算上，体现了高中数学引入变量的重要特征.如文理科第12题的推理与证明，着重以代数运算为主考查掌握算法和推理运算的情况，深入考查了考生对式子正确进行分解和组合变形的能力.
试卷突出考查了空间想象能力，如文科第12题，理科第11题的三视图问题，重点考查了考生识图、想图以及对图形的分解与组合的能力，很好的考查了考生的空间想象能力;
抽象概括能力是重要的数学思维能力，试卷注重了对抽象概括能力的考查，如文理21考查含参数的函数的构造以及不等式恒成立及不等式证明问题,对思维的严谨性和概括能力要求较高，通过对参数的讨论和概括，深入地考查了考生的抽象概括能力.
三. 预计的本试卷的难点
本试卷的难点主要体现在推理证明（文、理第12题）、解析几何（文、理第20题）以及函数导数（文、理第21题）这几个内容。

四. 基于试卷分析而生的教学建议
1.务必使考生把握好方向，注重基础，做好转换，从历年广东卷模式转化到全国卷模式，明确考试说明，对增添删减的内容有个度的把握，避免盲目备考。

新课标整体难度比广东卷难，但不是难到基本不能完成，只是对综合能力上的考查更到位，所以只要掌握好基础知识，练好基本技能，从容应试；
2.提醒学生平时注意检查自己掌握的知识点是否全面，运算是否过关，对题目分析是否到位，查漏补缺，同时要加强心理素质，从容应对；
3.突出规范，注重基础，全国课标卷试题多以常规题出现，没有刻意“创新”，所以考生要想得高分，除了正确解决问题外，还要严谨规范解题步骤，认真表达，一定要培养自己良好解题习惯；
4.加强渗透数学解题思想和方法，善于总结，数学思想方法在高中时段体现得淋漓尽致，如果能带着主要的函数与方程、转化化归、数形结合、分类讨论等重要思想去思考题目，还有熟悉出现频率比较多的特例法、排除法、极限位置法等客观题解题方法，则可有效提高解题速度和自信心。

5.注重发散思维和变式训练，试卷考查的无外乎是我们熟悉的知识点，甚至很多的题是由平常我们常做的题衍生出来的，所以，注重对知识点本质的认识可以使考生以不变应万变，从容解题。

6.提高考生心理素质，偶尔解不出题，都是正常的，可以有策略性的选择其他题先
完成，切不可因一道两道题造成挫折而影响自己解题状态，导致全盘皆输局面。

逐题分析
（1）已知集合{}
1A x x =<，{}
20B x x x =-≤，则A B =
（A ）{}11x x -≤≤（B ）{}01x x ≤≤（C ）{}01x x <≤（D ）{}01x x ≤< 【答案】D 【难度】一星
【解析】集合A ＝{}11x x <－＜，集合B ＝{}1x x ≤≤0，所以，A B = {}01x x ≤<。

【考点】集合运算，不等式求解
【教学指导】要掌握好简单的含绝对值不等式、一元二次不等式的求解，以及集合之间的交并补运算。

（2）已知复数3i
1i
z +=
-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】D 【难度】二星 【解析】(3)(1)
122
i i z i ++=
=+，共轭复数为12i -，在第四象限。

【考点】复数的运算，复数的几何意义以及共轭复数
【教学指导】掌握复数的四则运算，以及互为共轭复数的两个复数关系，明确复数的几何意义，还要明确复数模的运算。

（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为
（A ）6（B ）8（C ）10 （D ）12
【答案】C 【难度】二星
【解析】第一步：x ＝9，k ＝2；第二步：x ＝21，k ＝4；第三步：x ＝45，k ＝6； 第四步：x ＝93，k ＝8；第五步：x ＝189，k ＝10；退出循环，故k ＝10。

【考点】程序框图
【教学指导】要掌握好程序框图的运算规律，特别是循环结构以及隐含的与数列递推关系式、求和等内容的考查。

（4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值
为
（A ）3（B ）6（C ）12（D ）24 【答案】B 【难度】二星
【解析】依题意，得：周期T ＝3
π，。

23ππ
ω=，所以，ω＝6。

【考点】三角函数
【教学指导】掌握函数()()sin f x A x ωϕ=+中,,A ωϕ三个参数的求取，还要会求
()()sin f x A x ωϕ=+的单调性、对称轴以及对称中心。

（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =
（A ）52（B ）78 （C ）104 （D ）208
【答案】C 【难度】二星
【解析】由271224a a a ++=，得7a ＝8，所以，11313713()
132
a a S a +==＝104，选C 。

【考点】等差数列以及性质
【教学指导】对于等差数列、等比数列的性质以及通项公式、前N 项和公式都要非常熟悉，还要掌握利用递推关系式求数列的通项公式以及两种主要求和方法：错位相减法和裂项相消法。

（6）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，
n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++= ，则12n PF P F P F +++= （A ）10n +（B ）20n +（C ）210n + （D ）220n +
【答案】A 【难度】二星
【解析】由抛物线的焦点为（1,0），准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知1
1||1PF x =+， 22||1P F x =+，…，故12n PF P F P F +++=
10n + 【考点】抛物线的定义
【教学指导】抛物线的定义、焦半径公式必须熟悉，很多题目要求用抛物线的方程方程解题，会解决直线与抛物线的位置关系问题以及由此而产生的定值等问题。

（7）在梯形ABCD 中，AD BC ，已知4AD =，6BC =，若C D m B A n B C =+
(),m n ∈R ，则
m
n
= （A ）3-（B ）13-（C ）1
3
（D ）3
【答案】A 【难度】二星
【解析】如图，作AE ∥DC ，交BC 于E ，则ADEC 为平行四边形，EA CD = ＝mBA nBC +
， 又EA EB BA =+ ＝13BA BC - ，所以，11
3m n =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，故m n =－3。

【考点】平面向量基本定理 、向量加减、数乘运算
【教学指导】平面内两个不共线的向量都可以作为平面内所有向量的一组基底，利用化归思想，把所有向量往基底靠拢，可以快速解题，有时还可以把基底特殊化到直角坐标系里，利用解析几何问题求解相关系数。

（8）设实数x ，y 满足约束条件10,
10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩
，则()2
22x y ++的取值范围是
（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）[]1,17（C ）⎡⎣（D ）2⎣ 【答案】A 【难度】二星
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图，三角形ABC ，()2
22x y ++表示三角形ABC 内或边上一点到点（0，－2）之间的距离的平方，点B 到（0，－2）之间的距离的平方为17，点（0，－2）到直线x －y －1=0距离的平方为
1
2
，故选A 。

【考点】线性、非线性规划问题
【教学指导】掌握平面区域的画法，熟悉规划问题的四种常见类型题目，即截距式、斜率、点点距离、点线距离等问题，以及由此而产生的变式题目
（9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，
则该球的体积为
（A ）20π（B （C ）5π（D 【答案】D 【难度】二星
【解析】=V ＝3
43π⨯⎝⎭＝6
【考点】棱柱、球体积
【教学指导】要会找几何体的外接球、内切球，尽量记住几何体的表面积、体积公式。

同时要会利用三视图还原立体图形。

（10）已知下列四个命题：
1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；
2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；
3p ：若()1
1
f x x x =+
+，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >． 其中真命题的个数是
（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4 【答案】B 【难度】三星
【解析】p 1错误，因为无数条直线不一定是相交直线，可能是平行直线；p 2正确；p 3错误，因为由1
11
x x +
=+，得x ＝0，故错误；p 4正确，注意前提条件是在△ABC 中。

【考点】直线与平面位置关系、函数性质、特称命题、正弦定理
【教学指导】命题真假性的判断融入也各章节的内容，一来是要掌握好各章节内容，二来是要会判断命题真假，以及命题之间的关系。

（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为
（A ）8+B ）8+
（C ）2+D ）1
224
+
+
【答案】A 【难度】三星
【解析】该几何体为如图中的三棱锥C －A 1C 1E ，EC ＝EA 1＝A 1C
三角形EA 1C 的底边A 1C 上的高为：
表面积为：S ＝
12⨯2⨯4＋12⨯2⨯4＋12⨯⨯4＋1
2
⨯⨯8+
【考点】三视图、几何体表面积
【教学指导】学会通过观察三视图，正确还原几何体是解题关键，会求几何体表面积公式。

（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的
“杨辉三角形”．
1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 2016
3 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为
（A ）201520172⨯（B ）201420172⨯（C ）201520162⨯（D ）201420162⨯ 【答案】B 【难度】四星 【解析】如下图：
当第一行3个数时，最后一行仅一个数为8＝23－2⨯（3＋1） 当第一行4个数时，最后一行仅一个数为20＝24－
2⨯（4＋1）
当第一行5个数时，最后一行仅一个数为48＝25－2⨯（5＋1） 当第一行6个数时，最后一行仅一个数为112＝26－2⨯（6＋1） 归纳推理，得：
当第一行2016个数时，最后一行仅一个数为22016－2⨯（2016＋1） 故选B 。

【考点】推理与证明，数列递推关系式
【教学指导】能够从数阵人提取规律，或从选项中提取一些信息，一般化相关数据为n ，此题还可以通过建议数列求解，设第n 行第一个数为n a ，则可以得到
21122,1n n n a a a --=+=，进而求2016a 。

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6
个小组，组号依次为1，2，3，…，60．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是． 【答案】43 【难度】一星 【解析】因为
60
106
=，所以，抽到编号为3、13、23、33、43、53，第5组为43。

【考点】系统抽样
【教学指导】掌握简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，以及适应范围，系统抽样也称等距抽样
（14）已知双曲线C ：22
221x y a b
-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，
且0BA BF =
，则双曲线C 的离心率为．
【答案】
1
2
【难度】二星
【解析】设F （c ，0），又A （－a ，0），由0BA BF =
，得：（－a ，－b ）（c ，－b ）＝0，
所以，有：2b ac =，即22c a ac -=，化为2
10c c
a a
⎛⎫--= ⎪⎝⎭，可得离心率e。

【考点】双曲线、离心率
【教学指导】会通过分析条件，给出参数,,a b c 的齐次关系式并结合222c a b =+化归为关系离心率e 方程，从而解方程求出离心率
（15）()4
22x x --的展开式中，3x 的系数为．（用数字填写答案）
【答案】40- 【难度】三星
【解析】3234444(2)(2)C x x C x --+--中3x 的系数为：3241
34344(1)4(1)(2)C C C C -⨯+--＝－40。

【考点】二项式定理
【教学指导】通过观察，通过对()4
22x x --转化为24[(2)]x x +--或44(1)(2)x x +-，再
利用通项公式分类，把系数相加得到
（16）已知函数()2
11,1,
42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，
则函数()()22x g x f x =-的零点个数为个．
【答案】2 【难度】三星
【解析】由()()22x g x f x =-＝0，得：1||()2x f x -=，
画出2
11,
1,
42,1x x y x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，
与1||2x y -=的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数：
2。

【考点】函数，零点问题
【教学指导】利用图像解决零点问题是主要的思路，一定要掌握好图形变换规则，从而准确画出相关函数图像
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，
AC =5CD =,2BD AD =.
（Ⅰ）求AD 的长；
（Ⅱ）求△ABC 的面积．
【难度】三星
【解析】(Ⅰ)解法一：在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．
在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以cos CD CDB BD ∠=
5
2x
=
．………………………………………………………2分
在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =
由余弦定理得222222
5cos 225
AD CD AC x ADC AD CD x +-+-∠==
⨯⨯⨯⨯． ………4分 因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，
5
2x
=-．………………………………………………………5分
解得5x =．
所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分 解法二：在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，
所以BC
所以cos BC CBD BD ∠==．……………………………………………2分
在△ABC 中，因为3AB x =，BC =AC =
由余弦定理得2222
cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==
⨯⨯．…………4分
所以
2x =2．………………………………………………5分
解得5x =．
所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分
所以cos BC CBD BD ∠=
=
1sin 2CBD ∠=．…………………………10分 所以1
sin 2
ABC S AB BC CBA ∆=
⨯⨯⨯∠
11
1522=
⨯⨯=12分
解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC =．………………8分
因为AC =ABC 为等腰三角形．
因为cos BC CBD BD ∠=
=
30CBD ∠=
．……………………………10分
所以△ABC 底边AB 上的高12h BC =
= 所以1
2
ABC S AB h ∆=
⨯⨯
1152=⨯=
12分
解法三：因为AD 的长为5， 所以51
cos =
=22
CD CDB BD x ∠=，解得3CDB π∠=．……………………………8分
所以12sin 23ADC S AD CD ∆π=
⨯⨯⨯=
．
1sin 23BCD S BD CD ∆π=⨯⨯⨯=
．……………………………………10分
所以ABC ADC BCD S S S ∆∆∆=+=
12分 【考点】正、余弦公式，面积公式，勾股定理
【教学指导】观察条件边角关系，正确选择正、余弦定理借助解题
（18）（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果
内的频率之比为4:2:1．
（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间
[]75,85内的频率；
这种产品中随机抽取3件，记这3品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．
【难度】二星
【解析】（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，
则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．
所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，
所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．
由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，
将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分 因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分
且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，112
3(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，330
3(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．
所以X 的分布列为：
X
0 1 2 3
(10)
P
0.064
0.288
0.432
0.216
所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分 【考点】频率分布直方图，二项分布，离散型随机变量分布列及数学期望
【教学指导】记住频率分布直方图小矩形面积和为1，即频率和，明确用总体估计总体的统计思想，熟悉数学期望的公式以及熟悉两类分布：超几何分布和二项公布，并知道他们之间的区别，才不至于经常弄错统计类型
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O = ，1
AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB
（Ⅰ）证明：平面1
（Ⅱ）若60BAD ∠=
【难度】四星 【解析】解：（19）（Ⅰ）BD ⊂平面ABCD ，
所以1
AO BD ⊥因为ABCD 是菱形，
所以CO BD ⊥因为1AO CO O = ， 所以BD ⊥平面1
ACO 因为BD ⊂平面11BB D D 所以平面11BB D D ⊥平面1
ACO ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为1
AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA
方
向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分
因为12AB AA ==，60BAD ∠=
， 所以1OB OD ==
，OA OC =
11OA =
=．………………6分
则()1,0,0B
，()C
，()
0,A ，()
10,0,1A ，
所以()
11BB AA ==
设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB = ，1OB =
所以0,0.
x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩
令1=y ，
得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分 所以cos ,<>=
=n m ．…………………………………………………11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角， 所以二面角1B OB C --的余弦值为4
．……………………………………12分
解法二：连接11AC 与11B D 连接1CO ，1OO ，
因为11AA CC =，1//AA 所以11
CAAC 因为O ，1O 分别是AC 所以11OAO C 因为平面1ACO 平面过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．
过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．
所以CKH ∠是二面角1B OB C --的平面角的补角．……………………………6分
在1Rt OCO ∆
中，11
2
2
O C OC CH OO ⨯=
=
=
7分
在1OCB ∆中，因为1
AO ⊥11A B
，所以1OB ==
因为11A B CD =，11//A B CD ，
所以11B C A D ===．
因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分
所以11
CB OC CK OB =
=
=
⨯9分
所以KH =．…………………………………………………10分
所以cos 4
KH CKH CK
∠=
=
11分
所以二面角1B OB C --
的余弦值为4
．……………………………………12分
【考点】面面垂直的判定、空间向量、二面角问题
【教学指导】会通过几何的方法证明面面垂直，务必掌握好线面、面面之间平行垂直相关定理，区分开性质定理和判定定理，能够借助空间向量的方法解决比较难以求取的线线角、线面角、二面角以及点面距离问题
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，
点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 【难度】五星
【解析】（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分
设椭圆的右焦点为()220F ，
，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，
所以2a =．………………………………………………………2分
所以a =2b =．………………………………………………………3分
所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分
解法二：设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．①…………………1分
因为点(2B 在椭圆C 上，所以
22
42
1a b +=．②…………………2分
由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分
所以椭圆C 的方程为22
184
x y +
=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A
的坐标为()-．…………5分
因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22
184
x y +
=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．
联立方程组22,
18
4y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22
8
12x k =+．
所以0x =
0y =
．
所以直线AE
的方程为y x =
+．……………………………6分
因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ， 令0x =
得y =
M ⎛ ⎝．……………………7分
同理可得点N ⎛⎫ ⎝．…………………………………………………8分
所以
MN==．…………………9分
设MN
的中点为P，则点P的坐标为0,
P
⎛
⎝⎭
． (10)
分
则以MN为直径的圆的方程为
2
2
x y
⎛
+=
⎝⎭
2
，
即224
x y y
+=．…………………………………………………………11分令0
y=，得24
x=，即2
x=或2
x=-．
故以MN为直径的圆经过两定点()
1
2,0
P，()
2
2,0
P-．………………………12分解法二：因为椭圆
C的左端点为A，则点A的坐标为()
-．……………5分因为直线(0)
y kx k
=≠与椭圆
22
1
84
x y
+=交于两点E，F，
设点
00
(,)
E x y，则点
00
(,)
F x y
--
．
所以直线AE
的方程为y x
=+．………………………………6分
因为直线AE与y轴交于点M，
令0
x=
得
y=
，即点M
⎛⎫
⎝
．……………………………7分
同理可得点N
⎛⎫
⎝
．……………………………………………………8分
所以0
2
16
8
y
MN
x
==
-
．
因为点
00
(,)
E x y在椭圆C上，所以
22
001
84
x y
+=．
所以
8
MN
y
=．……………………………………………………………………9分设MN
的中点为P，则点P的坐标为0
0,
P
y
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
．………………………
10分
则以MN为直径的圆的方程为
2
20
x y
y
⎛⎫
++=
⎪
⎪
⎝⎭20
16
y
．
即220
x y y +=4．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．
故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A
的坐标为()
-．……………5分
因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22
184
x y +
=交于两点E ，F ，
设点()
,2sin E θθ（0θ<<π）
，则点()
,2sin F θθ--． 所以直线AE
的方程为y x =
+．………………………6分
因为直线AE 与y 轴交于点M ， 令0x =得2sin cos 1y θθ=
+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫
⎪+⎝⎭
．………………………………7分 同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫
⎪-⎝⎭
．………………………………………………………8分
所以2sin 2sin 4
cos 1cos 1sin MN θθθθθ
=
-=
+-．………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
．………………………10分 则以MN 为直径的圆的方程为2
2
2cos sin x y θθ⎛
⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ， 即224cos 4sin x y y θ
θ
++
=．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．
故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 【考点】椭圆、圆
【教学指导】学会用定义解题，用方程解题，分析题目内容内在特征，找到解决问题的切入点，平时注意多种方法、多种角度解决同一问题，可以提供更广阔的思路并选择最优解题方法，圆锥曲线定值问题见一道总结一道，累积经验!
（21）（本小题满分12分）
已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-. 【难度】五星
【解析】（Ⅰ）解：因为+3()e x m f x x =-，
所以+2()e 3x m f x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，
所以()0e 1m f '==，解得0m =.…………………………………………………2分 （Ⅱ）证法一：因为+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++，
所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x m x -+->． 当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x m x x x +-+-≥-+-．
要证()+e ln 120x m x -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分 以下给出三种思路证明1e ln(1)20x x +-+->． 思路1：设()()1e ln 12x h x x +=-+-，则()11e 1
x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-
+，则()()
12
1
e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11
e 1
x h x x +'=-
+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为121e 202h ⎛
⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，
所以函数()11e 1x h x x +'=-
+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
. ………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+101
e 1
x x =
+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，
所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()001
1201
x x =
++->+.
综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 思路2：先证明1e 2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分 设()1e 2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．
因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，
所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=．
所以1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分 所以要证明1e ln(1)20x x +-+->，
只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥． 设()()ln 1p x x x =-+，则()1111
x
p x x x '=-
=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，
所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．
所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以1e ln(1)20x x +-+->．
综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x 、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明1e ln(1)20x x +-+->．
令1t x =+，转化为证明e ln 2t t ->()0t >．……………………………………5分 因为曲线e t y =与曲线ln y t =关于直线y t =对称，
设直线0x x =()00x >与曲线e t y =、ln y t =分别交于点A 、B ，点A 、B 到直线y t =的距离分别为
1d 、2d ，
则)12AB d d =+． 其中0
1x d =
，2d ()00x >．
①设()0
00e x h x x =-()00x >，则()0
0e 1x h x '=-． 因为00x >，所以()0
0e 10x h x '=->．
所以()0h x 在()0,+∞上单调递增，则
()()001h x h >=．
所以0
1
x
d=>．
②设()
000
ln
p x x x
=-()
x>，则()0
00
1
1
1
x
p x
x x
-
'=-=．
因为当
01
x
<<时，()00
p x
'<；当
1
x>时，()00
p x
'>，
所以当
01
x
<<时，函数()000
ln
p x x x
=-单调递减；
当
1
x>时，函数()000
ln
p x x x
=-单调递增．
所以()()
11
p x p
≥=．
所以
2
d≥．
所以
)
12
2
AB d d
≥+>=
⎭
．
综上可知，当1
m≥时，()3
()
f x
g x x
>-.……………………………………12分
证法二：因为+3
()e x m
f x x
=-,()()
ln12
g x x
=++，
所以()3
()
f x
g x x
>-等价于()
+
e ln120
x m x
-+->．…………………………4分
以下给出两种思路证明()
+
e ln120
x m x
-+->．
思路1：设()()
+
e ln12
x m
h x x
=-+-，则()+1
e
1
x m
h x
x
'=-
+
.
设()+
1
e
1
x m
p x
x
=-
+
，则()
()
+
2
1
e0
1
x m
p x
x
'=+>
+
．
所以函数()
p x=()+
1
e
1
x m
h x
x
'=-
+
在()
+∞
-1，上单调递增．………………6分
因为1
m≥，
所以()()
1e+1e
1e e e e e10
m m
m m m m
h--
--+-+
'-+=-=-<，()0e10
m
h'=->.
所以函数()+
1
e
1
x m
h x
x
'=-
+
在()
+∞
-1，上有唯一零点
x，且()
1e,0
m
x-
∈-+.
…………………8分因为()00
h x
'=，所以0+
1
e
1
x m
x
=
+
，即()
00
ln1
x x m
+=--．………………9分
当()0
0,
x x
∈时，()0
h x
'<；当()
,
x x
∈+∞时，()0
h x
'>.
所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x ．……………………………………10分 所以()()()0+00e ln 12x m h x h x x ≥=-+-001
21
x m x =
++-+ ()001
1301
x m x =
+++->+． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分 思路2：先证明e 1()x x x ≥+∈R ，且ln(1)(1)x x x +≤>-．…………………5分 设()e 1x F x x =--，则()e 1x F x '=-．
因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．
所以()(0)0F x F ≥=，即e 1()x x x ≥+∈R ．…………………………………7分 所以ln(1)x x +≤（当且仅当0x =时取等号）．…………………………………8分 再证明()+e ln 120x m x -+->．
由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………9分 因为1x >-，1m ≥，且1e 2x x +≥+与ln(1)x x +≤不同时取等号， 所以()()+11e ln 12e e ln 12x m m x x x -+-+-=⋅-+-
11e (2)2(e 1)(2)0m m x x x -->+--=-+≥．
综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分 【考点】函数、导数
【教学指导】利用导数求取切线方程是必不可缺的得掌握的知识点，利用函数的导数求取单调区间，明确函数图像特征在很多题中都得用到，必须熟练，对于经典不等式
ln(1)x x +≤以及相应变形e 1()x x x ≥+∈R 得记住，为寻找弄多解题思路做准备。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA 交BA 的延长线于点E ． （Ⅰ）求证：2DE AE BE = ；
（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，
求线段AC 的长．
【难度】三星
【解析】（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，
所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）．………………1分 因为DE CA ，
所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2分 所以EDA B ∠=∠．
因为AED DEB ∠=∠（公共角），
所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以
DE AE BE
DE
=
．
即2
DE AE BE = ．…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，
所以2
EF EA EB = （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2
DE AE BE = ，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ．………………………………………9分 所以
BA AC BE
ED
=
．
所以6438
BA ED AC BE
⋅⨯=
=
=．…………………………………………………10分
【考点】平面几何
【教学指导】解决这类题目在于明确平面几何的几个定理：切割线定理，相交弦定理，以及弦切角问题，四点共圆性质。

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l
：32
x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的
距离最短，并求出点D 的直角坐标.
【难度】三星
【解析】（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，
可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分 所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2
211x y +-=）．…………4分
（Ⅱ）解法一：
因为直线的参数方程为32
x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），
消去t 得直线l
的普通方程为5y =+．……………………………………5分 因为曲线C ：()2
211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，
设点()00,D x y ，且点D 到直线l
：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l
：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-
，即
(00
1
1y x -⨯=-．………………7分 因为()2
20011x y +-=，
解得0x =
或0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫
⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D
到直线5y =+的距离最短，
所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭
，．……………………………………………………10分
解法二：因为直线l
的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩
（t 为参数，t ∈R ），
消去t 得直线l
50y +-=．……………………………………5分 因为曲线C ()2
211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，
因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分
所以点D 到直线l
的距离为d =
2sin 3ϕπ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．………………………………8分
因为[)0,2ϕ∈π，所以当6
ϕπ
=
时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫
⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分 【考点】极坐标、参数方程
【教学指导】掌握直角坐标和极坐标方程的互化，掌握参数方程和普通方程的互化，明
确直线参数方程00cos ,()sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨
=+⎩为参数的参数t
的几何意义!利用参数方程求解相关
问题可以更快更好！
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数()f x x x =-． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1
2
f x ≥
的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围． 【难度】三星
【解析】（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥
等价于1
12
x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为1
12
x x --+≥
，无解；
②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得1
04
x -≤<； ③当0x ≥时，不等式化为1
12
x x +-≥
，解得0x ≥．…………………………3分 综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
．………………………………4分
（Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分
以下给出两种思路求()f x 的最大值.
思路1：因为()f x x x =-()01a ≤≤，
当x ≤()f x x x =-
=0<．
当x <时，()f x x x =
2x =
£+=+
当x ≥()f x x x =+
=
所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分
思路2：因为()f x x x =-
x x ≤++
=
=
当且仅当x ≥
所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分 因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，
所以max
b >．………………………………………………………8分
以下给出三种思路求()g a =.
思路1：令()g a =
所以(
)2
1g a =+
2
2
12≤+
+=．
=1
2
a =时等号成立． 所以(
)max g a =⎡⎤⎣⎦ 所以b
的取值范围为
)
∞．…………………………………………………10分
思路2：令(
)g a =
因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ=02θπ⎛
⎫≤≤ ⎪⎝
⎭，
则()g a
=
cos sin 4θθθπ⎛
⎫=+=+≤ ⎪⎝
⎭
当且仅当4
θπ
=
时等号成立． 所以b
的取值范围为
)
∞．…………………………………………………10分
思路3：令(
)g a =
因为01a ≤≤
，设x y ìï=ïí
ï=ïî则221x y +=()01,01x y ＃＃． 问题转化为在221x y +=()01,01x y ＃＃
求z x y =+的最大值．
利用数形结合的方法容易求得z 此时x y ==
． 所以b 的取值范围为
)
∞．…………………………………………………10分
【考点】不等式选讲
【教学指导】熟悉含两个绝对值的函数的图像特征，进而能够研究含两个绝对值的不等式问题，含参问题以及恒成立问题！。