2006年高考.天津卷.文科数学试题及详细解答

2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定
位置粘贴考试用条形码．
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3． 本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B =··
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的
概率()(1)k k n k n n P k C P P -=-
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}|31A x x =-≤≤，{}2B x =≤，则A B =I （ ）
Ａ．{}|21x x -≤≤ Ｂ．{}|01x x ≤≤ Ｃ．{}|32x x -≤≤
Ｄ．{}|12x x ≤≤
2．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（ ） Ａ．12
Ｂ．24
Ｃ．36
Ｄ．48
3．设变量x y ，满足约束条件236y x x y y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
≤≥≥，则目标函数2Z x y =+的最小值为（ ）
Ａ．2
Ｂ．3
Ｃ．4
Ｄ．9
4．设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P <<
Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q <<
5．设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，，，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的（ ） Ａ．充分而不必要条件
Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
6．函数1(0)y x =<的反函数是（ ）
Ａ．0)y x < Ｂ．0)y x =<
Ｃ．2)y x =
>
Ｄ．2)y x =>
7．若l 为一条直线，αβγ，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①αγβγαβ⊥⊥⇒⊥，；②αγβγαβ⊥⇒⊥，∥；③l l αβαβ⊥⇒⊥，∥． 其中正确的命题有（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个
Ｄ．3个
8．椭圆的中心为点(10)E -，，它的一个焦点为(30)F -，，相应于焦点F 的准线方程为
7
2
x =-，则这个椭圆的方程是（ ）
Ａ．
22
2(1)21213
x y -+= Ｂ．
22
2(1)21213
x y ++= Ｃ．
2
2(1)15
x y -+=
Ｄ．
2
2(1)15
x y ++= 9．已知函数()sin cos f x a x b x =-（a b ，为常数，0a x ≠∈R ，）的图象关于直线π
4
x =对称，则函数3π
(
)4
y f x =-是（ ） Ａ．偶函数且它的图象关于点(π0)，对称
B ．偶函数且它的图象关于点3π02⎛⎫
⎪⎝⎭，对称 Ｃ．奇函数且它的图象关于点3π02⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称
Ｄ．奇函数且它的图象关于点(π0)，对称
10．如果函数2
()(31)(01)x
x
f x a a a a a =-->≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数
a 的取值范围是（ ）
Ａ．203⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
Ｂ．13⎫
⎪⎪
⎣⎭
Ｃ．(
Ｄ．3
2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
，
∞
2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2． 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
11．7
x ⎛
+ ⎝
的二项展开式中x 的系数是 （用数字作答）
． 12．设向量a r 与b r 的夹角为θ，(33)a =r ，
，2(11)b a -=-r r
，，则cos θ= ． 13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60o
，则点1C 到直线AB 的距离为 ．
14．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线(0)y x x =
≥相切，则这个圆的方程为 ．
15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．
16．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．
1
A 1
B 1
C A B
C
6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分） 已知5tan cot 2αα+=，ππ4
2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，．求cos2α和πsin(2)4α+的值． 18．（本小题满分12
分）
甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．
（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）； （Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）． 19．（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1
2
EF BC
∥． （Ⅰ）证明FO ∥平面CDE ；
（Ⅱ）设BC =，证明EO ⊥平面CDF ．
A
B C
D
E
F
O
20．（本小题满分12分）
已知函数3
2
1
()43cos 32
f x x x θ=-+
，其中x ∈R ，θ为参数，且π02θ≤≤．
（Ⅰ）当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；
（Ⅱ）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21)a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．
21．（本小题满分14分） 已知数列{}n x 满足121x x ==，并且
11
n n n n x x
x x λ+-=（λ为非零参数，234n =，，，…）． （Ⅰ）若135x x x ，，成等比数列，求参数λ的值；
（Ⅱ）设01λ<<，常数k *
∈N 且3k ≥．证明1212()1k k k n k k
n x x x n x x x λλ
*
++++++<∈-N …．
22．（本小题满分14分）
如图， 双曲线
22
2
21x y a b
-=(00)a b >>，的
离心率为
2
．12F F ，分别为左、右焦点，M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且1214
F M F M =-u u u u r u u u u r ·．
（Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设(0)A m ，和10(01)B m m ⎛⎫
<<
⎪⎝⎭
，是x 轴上的两点，过点A 作斜率不为0的直线l ，使得l 交双曲线于C D ，两点，作直线BC 交双曲线于另一点E ．证明直线DE 垂
2006年高考数学试卷（天津文）参考解答
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

（1）A （2）B （3）B （4）A （5）C （6）D （7）C （8）D （9）D （10）B 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分24分。

（11）35 （12
）
10
（13
（14
）22
(1)(1x y -+= （15）20 （16）24
（1）已知集合{|31},{|2}A x x B x x =-≤≤=≤={|22}x x -≤≤，则A B I ＝
{}|21x x -≤≤，选A.
（2）{}n a 是等差数列，13533639,3,9.a a a a a a ++==== ∴
12,1d a ==-，则这个数列的前6
项和等于
166()
242
a a +=，选B. （3）设变量x 、y 满足约束条件2,36y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
在坐标系中画出可行域△
ABC ，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数2z x y =+的最小值为3，选B.
（4）2323log 31,0log 21,log (log 2)0,P Q R =><=<=< 则R Q P <<，选A.
（5）在开区间(,)22ππ
-
中，函数tan y x =为单调增函数，所以设,(,),22
ππ
αβ∈-那么""αβ<是"tan tan "αβ<的充分必要条件，选C.
（6）由函数1(0)y x =
<解得x ==，所以原函数
的反函数是2)y x =>，选D.
（7）若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，下面三个命题：
①,;αγβγαβ⊥⊥⇒⊥不正确； ②
,;αγβγαβ⊥⇒⊥∥正确；③
//,.l l αβαβ⊥⇒⊥正确，所以正确的命题有2个，选C.
（8）椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -∴ 半焦距2c =，相应于焦点F
的准线方程为7.2
x =- ∴ 252a c =，22
5,1a b ==，则这个椭圆的方程是
22(1)15x y ++=，选D.
（9）已知函数()sin cos f x a x b x =-(a 、b 为常数,0,)a x R ≠∈，∴
())f x x ϕ=-的周期为2π，若函数的图象关于直线4
x π=
对称，不妨设
()sin()4f x x π=+，则函数3()4y f x π=-=3sin()sin()sin 44
x x x ππ
π-+=-=，所以
3()4
y f x π
=-是奇函数且它的图象关于点(,0)π对称，选D.
（10）函数y 2
(31)(0x
x
a a a a =-->且1)a ≠可以看作是关于x
a 的二次函数，若a >1，则
x
y a =是增函数，原函数在区间[0,)+∞上是增函数，则要求对称轴231
2
a +≤0，矛盾；若
0<a <1，则x y a =是减函数，原函数在区间[0,)+∞上是增函数，则要求当x
t a =(0<t<1)时，
2
2
(31)y t a t =-+在t ∈(0，1)上为减函数，即对称轴2312a +≥1，∴2
13
a ≥，∴实数a 的
取值范围是3
，选B. 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分24分。

（11）35 （12 （13 （14）22
(1)(1x y -+-=
（15）20 （16）24 （11
）7(x 的二项式展开式中x
项为3
347
()35C x x ⋅=，x 项的系数是35. （12）设向量a r 与b r 的夹角为,θ且(3,3),2(1,1),a b a =-=-r r r ∴ (1,2)b =r
，则
cos θ
=||||a b a b ⋅=
=⋅r r
r
r 10。

（13）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中， 1.AB =若二面角1C AB C --的大小
为60o
，过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连接C 1D ，则C 1D ⊥AB ，∠C 1DC=60°，CD=2
3
，则C 1D=3，所以点C 1到直线AB 的距离为3。

（14）若半径为1的圆分别与y
轴的正半轴和射线(0)3
y x x =
≥相切，则圆心在直线y=
3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为
3，这个圆的方程
为
22(1)(1x y -+-=。

（15）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买
400
x
次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为400
44x x
⋅+万
元，40044x x ⋅+≥160，当16004x x
=即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最
小。

（16）用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，其中数字1、2相邻的偶数。

可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个
数字，共可以组成3
3212A ⋅=个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2
224A ⋅=个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一
组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有2
22(2)A ⋅⋅=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。

三．解答题
（17）本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。

满分12分。

C
B
A
A 1
B 1
C 1
解法一：由5tan cot ,2αα+=得sin cos 5,cos sin 2
αααα+=则
254
,sin 2.sin 25αα== 因为(,),42ππα∈所以2(,),2
π
απ∈
3
cos 2,5
α==
sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444
πππ
ααα+=+
43525210
=
⨯-⨯= 解法二：由5
tan cot ,2
αα+=得
15
tan ,tan 2
αα+
= 解得tan 2α=或1tan .2α=由已知(,),42ππα∈故舍去1
tan ,2
α=得
tan 2.α=
因此，sin 55
αα==那么
223
cos 2cos sin ,5
ααα=-=-
且4
sin 22sin cos ,5
ααα==故
sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444
πππ
ααα+=+
43525210
=
⨯-⨯= （18）本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能
力。

满分12分。

（I ）解：任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为
2233(2)0.90.10.243.P C =⨯⨯=
（II ）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A ，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B 。

则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为
(.)(.)(.)0.90.950.90.050.10.95P A B P A B P A B ++=⨯+⨯+⨯
0.995.=
解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为
1(.)10.10.050.995.P A B -=-⨯=
（19）本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。

满分12分。

（I ）证明：取CD 中点M ，连结OM 。

在矩形ABCD 中， 1,2OM BC ∥又1
,2
EF BC ∥
则.EF OM ∥
连结EM ，于是 四边形EFOM 为平行四边形。

FO ∴∥EM.
又FO ⊂Q 平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，FO ∴∥平面CDE 。

（II ）证明：连结FM 。

由（I ）和已知条件，在等边CDE ∆中，,CM DM =
EM CD ⊥
且1
.22
EM BC EF =
== 因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO FM ⊥。

,,CD OM CD EM CD ⊥⊥∴⊥Q 平面EOM ，从而.CD EO ⊥
而,FM CD M =I 所以EO ⊥平面.CDF
（20）本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合
分析和解决问题的能力。

满分12分。

（I ）解：当cos 0θ=时3
1
()4,32
f x x =+
则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数，
故无极值。

（II ）解：2
'()126cos ,f x x x θ=-令'()0,f x =得
12cos 0,.2
x x θ
==
由02
π
θ≤≤
及（I ），只需考虑cos 0θ>的情况。

当x 变化时，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：
因此，函数()f x 在
2x =处取得极小值(
),2
f 且
3cos 11()cos .2432
f θθ=-+
D
C
A
B E O
F M
要使cos ()0,2f θ>必有311cos 0,432θ-+>可得10cos ,2θ<<所以 32ππθ<<
（III ）解：由（II ）知，函数()f x 在区间(,0)-∞与cos (,)2θ+∞内都是增函数。

由题设，函数()f x 在(21,)a a -内是增函数，则a 须满足不等式组
210a a a -<⎧⎨≤⎩ 或21121cos 2
a a a θ-<⎧⎪⎨-≥⎪⎩ 由（II ），参数(,)32ππθ∈时，10cos .2θ<<要使不等式121cos 2
a θ-≥关于参数θ恒成立，必有121.4a -≥
综上，解得0a ≤或
5 1.8a ≤<所以a 的取值范围是5(,0][,1).8-∞U （21）本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n 项和公式、等差数列前n 项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。

满分14分。

（I ）解：由已知121,x x ==且
36335244345213243
,,.x x x x x x x x x x x x x x x λλλλλλ=⇒==⇒==⇒= 若1x 、3x 、5x 成等比数列，则2315,x x x =即26.λλ=而0,λ≠解得 1.λ=±
（II ）证明：设1,n n n x a x +=由已知，数列{}n a 是以21
1x x =为首项、λ为公比的等比数列，故11,n n n
x x λ-+=则
1112....n k n k n k n n n k n k n x x x x x x x x +++-++-+-= 231
(3)
2
.....n k n k n k k kn λλλλ+-+---+= 因此，对任意*,n N ∈
1212...k k n k n
x x x x x x ++++++
(3)(3)(3)2222...k k k k k k k k kn λλλ---+++=+++ (3)22(3)
2(...)(1).1k k k k nk k k k nk k
λλλλλλλλ--=+++-=- 当3k ≥且01λ<<时，(3)
201,011,k k nk λλ-<≤<-<所以
*1212...().1k k k n k k n x x x n N x x x λλ
++++++<∈- （22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力。

满分14分。

（I ）解：根据题设条件，12(,0),(,0).F c F c - 设点(,),M x y 则x 、y 满足
2.a x c b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
因5,2c e a =
=解得(,)55M -，故 12.(,).(,)5555
F M F M c c =-+--u u u u r u u u u r
222441.554a c b =-+=-
利用222,a b c +=得25,4c =于是2211,.4a b ==因此，所求双曲线方程为
224 1.x y -= （II ）解：设点112233(,),(,),(,),C x y D x y E x y 则直线l 的方程为
11().y y x m x m
=-- 于是11(,)C x y 、22(,)D x y 两点坐标满足1122()41y y x m x m x y ⎧=-⎪-⎨⎪-=⎩
①② 将①代入②得
2
22
22
2222
1111111(24)8420.x x m m y x my x y m x mx m -+-+--+-=
由已知，显然21210.m x m -+≠于是222
111
12212.21
x
mx m x x x m x m -+=--+因为10,x ≠得
2
11
2212.21x m m x x m x m
-+=--+
同理，11(,)C x y 、33(,)E x y 两点坐标满足
11221
()
14 1.
y y x m x m
x y ⎧=-⎪⎪-⎨⎪-=⎪⎩
可解得
2211113221111
2
()2.
112()21x x m x m x m m x x m m
x m m -+-+=-
=--+-+
所以23x x =，故直线DE 垂直于x 轴。