【名师推荐-新课标】2018年山东省临沂市中考数学第一次模拟试题及答案解析

2018年山东省临沂市中考数学一模试卷
一.选择题（每小题3分，共42分）
1．﹣5的绝对值是（）
A．B． C．+5 D．﹣5
2．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为（）
A．0.5×1011千克B．50×109千克C．5×109千克D．5×1010千克
3．下列计算正确的是（）
A．a+2a2=3a3B．（a3）2=a5C．a3•a2=a6 D．a6÷a2=a4
4．长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（）
A．3 B．4 C．12 D．16
5．不等式组的所有整数和是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．如图，AB∥CD，∠A=48°，∠C=22°．则∠E等于（）
A．70°B．26°C．36°D．16°
7．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）
A．45°B．85°C．90°D．95°
9．如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（）
A．B．C．D．
10．计算1÷的结果是（）
A．﹣m2﹣2m﹣1 B．﹣m2+2m﹣1 C．m2﹣2m﹣1 D．m2﹣1
11．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）
A．（，1）B．（1，﹣）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）
12．如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（）
A．AD=CF B．BF=CF C．AF=CD D．DE=EF
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直
线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，毎小题3分，共15分）
15．分解因式：a3﹣10a2+25a= ．
16．某校四个绿化小组一天植树的棵树如下：10、10、12、x、8．已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是．
17．如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走100m到达D点，测出塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为m．
18．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数y=
（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．
19．若x是不等于1的实数，我们把称为x“差倒数”，如2的差倒数是=﹣1，﹣
1的差倒数为=．现已知x1=﹣，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2015的值为．
三、解答题（本题共7小题，共63分）
20．计算：（﹣）﹣2﹣（π﹣2016）0+sin45°+|1﹣|
21．4月23日是“世界读书日”，学校开展“让书香溢满校园”读书活动，以提升青少年的阅读兴趣，九年（1）班数学活动小组对本年级600名学生每天阅读时间进行了统计，根据所得数据绘制了两幅不完整统计图（每组包括最小值不包括最大值）．九年（1）班每天阅读时间在0.5小时以内的学生占全班人数的8%．根据统计图解答下列问题：
（1）九年（1）班有名学生；
（2）补全直方图；
（3）除九年（1）班外，九年级其他班级每天阅读时间在1～1.5小时的学生有165人，请你补全扇形统计图；
（4）求该年级每天阅读时间不少于1小时的学生有多少人？
22．已知甲、乙两站的距离为828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲站开往乙站，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h而先于普通快车4h到达乙站．分别求出两车的平均速度．
23．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD 交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）求证：∠C=2∠DBE；
（3）若EA=AO=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
24．甲、乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
25．猜想与证明：
如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．
26．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；
（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共42分）
1．﹣5的绝对值是（）
A．B． C．+5 D．﹣5
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值的意义直接判断即可．
【解答】解：|﹣5|=5．
故选C．
2．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为（）
A．0.5×1011千克B．50×109千克C．5×109千克D．5×1010千克
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将50 000 000 000用科学记数法表示为5×1010．
故选D．
3．下列计算正确的是（）
A．a+2a2=3a3B．（a3）2=a5C．a3•a2=a6 D．a6÷a2=a4
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；
B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
4．长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（）
A．3 B．4 C．12 D．16
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据物体的主视图与俯视图可以得出，物体的长与高以及长与宽，进而得出左视图面积=宽×高．
【解答】解：由主视图易得高为1，由俯视图易得宽为3．
则左视图面积=1×3=3，
故选：A．
5．不等式组的所有整数和是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】求出不等式组的解集，即可确定出所有整数的和．
【解答】解：不等式解得：﹣2＜x≤1，
整数解为﹣1，0，1，即整数解之和为﹣1+0+1=0，
故选B．
6．如图，AB∥CD，∠A=48°，∠C=22°．则∠E等于（）
A．70°B．26°C．36°D．16°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠1的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠E的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A=48°，
∴∠1=∠A=48°，
∵∠C=22°，
∴∠E=∠1﹣∠C=48°﹣22°=26°．
故选B．
7．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1
【考点】根的判别式．
【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，
即4﹣4m≥0，
∴﹣4m≥﹣4，
∴m≤1．
故选：D．
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）
A．45°B．85°C．90°D．95°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆周角定理以及推论和角平分线的定义可分别求出∠BAC和∠CAD的度数，进而求出∠BAD的度数．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=40°，
∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，
∴∠ABD=∠DBC=45°，
∴∠CAD=∠DBC=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，
故选：B．
9．如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】几何概率；平行四边形的性质．
【分析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
观察发现：图中阴影部分面积=S四边形，
∴针头扎在阴影区域内的概率为，
10．计算1÷的结果是（）
A．﹣m2﹣2m﹣1 B．﹣m2+2m﹣1 C．m2﹣2m﹣1 D．m2﹣1
【考点】分式的混合运算．
【分析】首先将除法变为乘法运算，即乘以除数的倒数，然后利用乘法运算法则约分求解即可求得答案．
【解答】解：1÷=1××（m+1）（m﹣1）=﹣（m﹣1）2=﹣m2+2m
﹣1．
故选B．
11．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）
A．（，1）B．（1，﹣）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，由旋转的性质得到∠POQ=120°，根据AP=BP=OP=2，得到∠AOP 度数，进而求出∠MOQ度数为30°，在直角三角形OMQ中求出OM与MQ的长，即可确定出Q的坐标．
【解答】解：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，
∴∠POQ=120°，
∵AP=OP，
∴∠BAO=∠POA=30°，
∴∠MOQ=30°，
在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，
∴MQ=1，OM=，
则P的对应点Q的坐标为（1，﹣），
故选B
12．如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（）
A．AD=CF B．BF=CF C．AF=CD D．DE=EF
【考点】平行四边形的性质．
【分析】可证△AEF≌△DEC（AAS或ASA），由∠FCD=∠D得△DEC、△AEF都是等腰三角形．
故易判断C、D都成立；
∠B=∠D=∠F，则CF=BC=AD．
没有条件证明BF=CF．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠B=∠D，AB∥CD．
∵BF∥CD，∴∠F=∠FCD，∠FAE=∠D．
∵AE=ED，
∴△AEF≌△DEC．
∴AF=CD，EF=CE．
∵∠FCD=∠D，∴CE=DE．
∴DE=EF．
故C、D都成立；
∵∠B=∠D=∠F，则CF=BC=AD．故A成立．
没有条件证明BF=CF．
故选B．
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直
线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=
﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x ＞2时，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，
∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；
∵当x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
即9a+c＜3b，（故②错误）；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，
而b=﹣4a，
∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；
∵对称轴为直线x=2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，
当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．
故选：B．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（）
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】求出CE的长，然后分①点P在AD上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x
的函数关系；②点P在CD上时，根据S△APE=S梯形AECD﹣S△ADP﹣S△CEP列式整理得到
y与x的关系式；③点P在CE上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后选择答案即可．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，
∴CD=AB=2，BC=AD=3，
∵点E是BC边上靠近点B的三等分点，
∴CE=×3=2，
①点P在AD上时，△APE的面积y=x•2=x（0≤x≤3），
②点P在CD上时，S△APE=S梯形AECD﹣S△ADP﹣S△CEP，
=（2+3）×2﹣×3×（x﹣3）﹣×2×（3+2﹣x），
=5﹣x+﹣5+x，
=﹣x+，
∴y=﹣x+（3＜x≤5），
③点P在CE上时，S△APE=×（3+2+2﹣x）×2=﹣x+7，
∴y=﹣x+7（5＜x≤7），
故选：A．
二、填空题（本题共5小题，毎小题3分，共15分）
15．分解因式：a3﹣10a2+25a= a（a﹣5）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣10a2+25a，
=a（a2﹣10a+25），（提取公因式）
=a（a﹣5）2．（完全平方公式）
16．某校四个绿化小组一天植树的棵树如下：10、10、12、x、8．已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是10 ．
【考点】中位数；加权平均数；众数．
【分析】根据题意先确定x的值，再根据定义求解．
【解答】解：当x=8或12时，有两个众数，而平均数只有一个，不合题意舍去．
当众数为10，根据题意得=10，
解得x=10，
将这组数据从小到大的顺序排列8，10，10，10，12，
处于中间位置的是10，
所以这组数据的中位数是10．
故答案为10．
17．如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走
100m到达D点，测出塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为50（+1）m．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC ﹣BD=100的关系，进而可解即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABD中，
∵∠ADB=45°，
∴BD=AB．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=30°，
=tan30°=，
∴BC=AB．
设AB=x（米），
∵CD=100m，
∴BC=x+100．
∴x+100=x，
∴x=50+50，
故答案为：50（+1）
18．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数y=（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，
DE，则△ODE的面积为．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】由A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），得到P（2，1），求得k=2，得到反
比例函数的解析式为：y=，求出D（4，），E（1，2）于是问题可解．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，BC=OA，
∵A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），
∴OA=4，OC=2，
∵P是矩形对角线的交点，
∴P（2，1），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象过对角线的交点P，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=，
∵D，E两点在反比例函数y=（x＞0）的图象的图象上，
∴D（4，），E（1，2）
∴S阴影=S矩形﹣S△AOD﹣S△COF﹣S△BDE=4×2﹣×2﹣×2﹣××3=．
故答案为：．
19．若x是不等于1的实数，我们把称为x“差倒数”，如2的差倒数是=﹣1，﹣
1的差倒数为=．现已知x1=﹣，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，
x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2015的值为．
【考点】规律型：数字的变化类；倒数．
【分析】根据差倒数的定义分别计算出x1=﹣，x2=；x3=4，x4=﹣，…得到从x1开始每3个值就循环，而2015÷3=671…2，即可得出答案．
【解答】解：∵x1=﹣，
∴x2==；
x3==4；
x4==﹣；
…，
∴三个数一个循环，
∵2015÷3=671…2，
∴x2015=x2=．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共63分）
20．计算：（﹣）﹣2﹣（π﹣2016）0+sin45°+|1﹣|
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简求出答案．
【解答】解：原式=4﹣1++﹣1
=2+．
21．4月23日是“世界读书日”，学校开展“让书香溢满校园”读书活动，以提升青少年的阅读兴趣，九年（1）班数学活动小组对本年级600名学生每天阅读时间进行了统计，根据所得数据绘制了两幅不完整统计图（每组包括最小值不包括最大值）．九年（1）班每天阅读时间在0.5小时以内的学生占全班人数的8%．根据统计图解答下列问题：
（1）九年（1）班有50 名学生；
（2）补全直方图；
（3）除九年（1）班外，九年级其他班级每天阅读时间在1～1.5小时的学生有165人，请你补全扇形统计图；
（4）求该年级每天阅读时间不少于1小时的学生有多少人？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）利用条形统计图与扇形统计图中0～0.5小时的人数以及所占比例进而得出该班的人数；
（2）利用班级人数进而得出0.5～1小时的人数，进而得出答案；
（3）利用九年级其他班级每天阅读时间在1～1.5小时的学生有165人，求出1～1.5小时在扇形统计图中所占比例，进而得出0.5～1小时在扇形统计图中所占比例；
（4）利用扇形统计图得出该年级每天阅读时间不少于1小时的人数，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：4÷8%=50（人）；
故答案为：50；
（2）由（1）得：0.5～1小时的为：50﹣4﹣18﹣8=20（人），
如图所示：
；
（3）∵除九年（1）班外，九年级其他班级每天阅读时间在1～1.5小时的学生有165人，∴1～1.5小时在扇形统计图中所占比例为：165÷×100%=30%，
故0.5～1小时在扇形统计图中所占比例为：1﹣30%﹣10%﹣12%=48%，
如图所示：
；
（4）该年级每天阅读时间不少于1小时的学生有：×（30%+10%）+18+8=246（人）．
22．已知甲、乙两站的距离为828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲站开往乙站，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h而先于普通快车4h到达乙站．分别求出两车的平均速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设普通快车的平均速度为xkm/h，直达快车的平均速度为1.5km/h，根据甲、乙两站的距离为828km，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h而先于普通快车4h到达乙站，列出方程求出x的值即可．
【解答】解：设普通快车的平均速度为xkm/h，则直达快车的平均速度为1.5km/h，根据题意得：
﹣6=，
解得：x=46，
经检验x=46是原方程的解，符合题意，则1.5x=46×1.5=69（km/h）．
答：普通快车的平均速度为46km/h，直达快车的平均速度为69km/h．
23．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD 交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）求证：∠C=2∠DBE；
（3）若EA=AO=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算．
【分析】
（1）连接OD，由BC为圆O的切线，利用切线的性质得到∠ABC为直角，由CD=CB，利用等边对等角得到一对角相等，再由OB=OD，利用等边对等角得到一对角相等，进而得到∠ODC=∠ABC，确定出∠ODC为直角，即可得证；
（2）根据图形，利用外角性质及等边对等角得到∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，由（1）得：OD⊥EC于点D，可得∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°，等量代换即可得证；
（3）作OF⊥DB于点F，利用垂径定理得到F为BD中点，连接AD，由EA=AO可得：AD是Rt△ODE斜边的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
AD=AE=AO，即三角形AOD为等边三角形，确定出∠DAB=60°，即∠OBD=30°，在直角三角形BOF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，利用勾股定理求出BFO的长，得到BD的长，得出∠DOB为120°，由扇形BDO面积减去三角形BOD面积求出阴影部分面积即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线；
（2）证明：如图，∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，
由（1）得：OD⊥EC于点D，
∴∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°，
∴∠C=∠DOE=2∠DBE；
（3）解：作OF⊥DB于点F，连接AD，
由EA=AO可得：AD是Rt△ODE斜边的中线，
∴AD=AO=OD，
∴∠DOA=60°，
∴∠OBD=30°，
又∵OB=AO=2，OF⊥BD，
∴OF=1，BF=，
∴BD=2BF=2，∠BOD=180°﹣∠DOA=120°，
∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=﹣．
24．甲、乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了0.5 h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）利用图象得出CD这段时间为2.5﹣2=0.5，得出答案即可；
（2）利用D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），求出函数解析式即可；（3）利用OA的解析式得出，当60x=110x﹣195时，即可求出轿车追上货车的时间．【解答】解：（1）利用图象可得：线段CD表示轿车在途中停留了：2.5﹣2=0.5小时；
（2）根据D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），
代入y=kx+b，得：
，
解得：，
故线段DE对应的函数解析式为：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）∵A点坐标为：（5，300），
代入解析式y=ax得，
300=5a，
解得：a=60，
故y=60x，当60x=110x﹣195，
解得：x=3.9，故3.9﹣1=2.9（小时），
答：轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车．
25．猜想与证明：
如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=ME，DM⊥ME ．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．
【考点】四边形综合题；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质．
【分析】猜想：延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明．
（1）延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，
（2）连接AE，AE和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，
【解答】猜想：DM=ME
证明：如图1，延长EM交AD于点H，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．
（1）如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是正方形，∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．
∵四边形ABCD和CEFG是正方形，∴AD=CD，CE=CF，
∵△FME≌△AMH，
∴EF=AH，
∴DH=DE，
∴△DEH是等腰直角三角形，
又∵MH=ME，
故答案为：DM=ME，DM⊥ME．（2）如图2，连接AE，
∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，
∴AE和EC在同一条直线上，
在Rt△ADF中，AM=MF，
∴DM=AM=MF，∠MDA=∠MAD，
∴∠DMF=2∠DAM．
在Rt△AEF中，AM=MF，
∴AM=MF=ME，
∴DM=ME．
∵∠MDA=∠MAD，∠MAE=∠MEA，
∴∠DME=∠DMF+∠FME=∠MDA+∠MAD+∠MAE+∠MEA=2（∠DAM+∠MAE）=2∠DAC=2×45°=90°．
∴DM⊥ME．
26．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；
（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由线段长度求出三个点的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）找到点B关于抛物线对称轴的对称点A，取AB与抛物线对称轴的交点即可；
（3）分别过点P，A作AP的垂线，取点Q，根据等腰直角三角形构建全等三角形即可求解．
【解答】解：（1）由题意可求，A（0，2），B（﹣1，0），点C的坐标为（4，0）．
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），
把点A（0，2）代入，解得：a=﹣，
所以抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣4）（x+1）=﹣x2+x+2，
（2）如图1，
抛物线y=﹣x2+x+2的对称轴为：x=，
由点C是点B关于直线：x=的对称点，所以直线AC和直线x=的交点即为△GAB周长
最小时的点G，
设直线AC的解析式为：y=mx+n，把A（0，2），点C（4，0）代入得：．
，
解得：，
所以：y=﹣x+2，
当x=时，y=，
所以此时点G（，）；
（3）如图2，
使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标：Q1（，），Q2
（﹣，﹣），Q3（2，），Q4（﹣2，），
证明：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M，
由题意：∠APQ1=90°，AP=PQ1，∴∠APO+∠MPQ1=90°，
∵∠APO+∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠MPQ1，
在△AOP和△MPQ1中，
，∴△AOP≌△MPQ1，
∴PM=AO=2，Q1M=OP=，
∴OM=，
此时点Q的坐标为：（，）．
2016年6月23日。