串联电路的频率响应与谐振

串联电路的频率响应与谐振
在正弦稳态电路分析中，只有同频率的正弦量才能用向量法分
析。

如果多个频率的正弦量同时激励一个线性电路，这时就要将不同频率的激励源分开并分别求取相应，然后在时域用叠加定理将时域响应进行叠加，从而得到电路在多个频率的正弦量激励下的响应。

如果电路由一个频率变化的正弦量激励源激励，那么电路响应也随频率变化。

⑴ RLC 串联电路谐振的条件与特点
对于含有电感和电容两种储能元件的输入端口来说，输入电压与输入电流一般是不同相的。

但是，改变输入电压的频率或者调节电路参数，可是电压和电流达到同相位，工程商将电路的这种工作状况称为谐振。

即 对含有L 、C 元件的端口，如果端口电压和电流同相，则电路发生了谐振。

则对输入阻抗
0)](Im[=ωj Z
对于如图所示的RLC 串联电路，如果发生谐振，则
)]1
(Im[)](Im[00=-
+=C
L j R j Z ωωω
由此得RLC 串联电路的谐振频率为
LC
f LC
π
ω21,100=
=
可见，改变输入电压的频率或者电路参数（L 或C ）均可使电路发生谐振。

值得指出的是，电路的谐振与力学系统的共振概念相似。

电路的谐振频率是由电路的自身结构和电路参数决定的，是“固有频率”，与外部激励无关。

和力学系统一样，只有当外加激励的频率等于系统的“固有频率”时，系统才发生谐振。

串联电路的一个最大特点是，当电路满足
R
C
L >>=
001
ωω时，L 和C 上的电压
)
(0max
max 0C
I C L LI U U ωω=
==将远远大于输入
电压1U 。

因此，串联谐振也称电压谐振。

在弱电信号（如通信）系统中，正是利用电压谐振的这一特点使微弱信号的选取与放大成为可能。

⑵ 谐振电路的品质因数、通频带和选择性
2
2
1
)
1
(C
L R
U I ωω-
+=
①
电路消耗的平均功率和谐振时消耗的最大平均功率分别为
R
I
P P R I P 2
max
0max 2
)(,)(===ωω ②
可见，电路的平均功率随频率而变化。

当电路参数和输入电压不变时，
谐振时的功率不变，且为最大值。

当频率偏离谐振频率时，功率将下降。

工程上将功率下降到最大值一半时所对应的频率之差定义为谐振电路的带宽BW。

设功率下降一半时所对应的频率分别为21ωω和，则半功率为
2
)()()(p 021ωωωP P =
= ③
将式①和②代入③式中，得
2
2
2
2)
1
(R
C
L R
=-
+ωω
则RLC 串联电路的两个半功率点的频率分别为
LC
L
R L
R LC
L
R L
R 1)2(
2,1)2(
22
22
1+
+=
+
+-
=ωω
得带宽为
L
R BW =
-=21ωω
可见，RLC 串联电路的频带由其参数决定。

当L 的值一定时，BW 由R 确定。

谐振电路的品质或工作特征还可用品质因数Q 描述，即
C
L R
R
L
Q 101
20=
=
-=
ωωωω
利用参数Q 可得L 、C 元件上的电压表达式为
11000)(QU
R
U L
LI U L ===ωωω
11
0001
1
)(QU
R
U C I C
U C ==
=
ωωω
可见，当R L >>0ω时，则Q>>1，有100)()(U U U C L >>=ωω。

因此，当输入电压一定时，Q 值越大，电感或电容上的电压越大。

从能量角度看，品质因数的大小反映过了电路对外部输入电能的存储能力。

或消耗电能速度的快慢程度。

因此，还可从能量的角度对Q 值进行定义
量
一个周电路消耗的电能
能量一个周期电路存储的电=Q。