福建省漳州市高三数学5月适应性考试试题 文 (2)

图1
743210987
82015年漳州市普通高中毕业班适应性考试---5月
文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式
V =3
1Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式
球的表面积、体积公式 V =Sh
2
4S R =π，343
V R =
π
其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{
}3,2,1=A ，{}
220,B x x x x =--=∈R ，则A B I 为( )
A ．∅
B ．{
}1 C ．{}2 D ．{}2,1 2．复数
i
1i
3++等于( ) A ．i 21+
B ．i 21-
C ．i 2-
D ．i 2+
3．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1）， 其中茎为十位数， 叶为个位数，则这组数据的中位数是 A. 91 B. 91.5 C. 92 D. 92.5
4．条件:P “1x <”，条件:q “()()210x x +-<”，则P 是q 的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知x ,y 满足不等式组28
2800
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩,则目标函数3z x y =+的最大值为( )
A ．12
B ．24
C ．8
D ．
3
32
6．已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( )
A ．1
B ．2
C ．
23
3
D ．2 7．如图2，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝BC ＝CD ＝2，
则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD ）的面积为（ ）
A ．2
B ．2
C ．22
D ．32 8．在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若A ＝0
60，3=a ，3=+c b ，
则ABC ∆的面积为（ ） A ．
43 B ．2
3
C ．3
D ．2 9. 已知双曲线
22
1169
x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线与该双曲线的右支交于A 、B 两点,若5=AB ,则1ABF ∆的周长为( )
A ．16
B ．20
C ．21
D ．26 10．如图，边长为a 的正方形组成的网格中，设椭圆1C 、2C 、3C 的 离心率分别为1e 、2e 、3e ，则
A ．123e e e =<
B ．231e e e =<
C ．123e e e =>
D ．231e e e =>
11．有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成
图3
两堆
并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( ) A . 45 B . 55 C . 90 D . 100
12．已知圆O 的圆心为坐标原点，半径为1，直线:(l y kx t k =+为常数，0)t ≠与圆O 相交于,M N 两点，记△MON 的面积为S ，则函数()S f t =的奇偶性为( )
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．既不是偶函数，也不是奇函数
D ．奇偶性与k 的取值有关
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．
13．如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî
,那么()2f f =⎡⎤⎣⎦ . 14．在区间［－2,2］上随机取一个数x
，使得函数()f x =有意义的
概率为 .
15．已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则m 的值为 .
16. 已知函数()11
f x x =
+，点O 为坐标原点, 点()(),(n A n f n n ∈N *
)， 向量()0,1=i ， n θ是向量n OA u u u u r 与i 的夹角，则201512
122015
cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+++L 的值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 已知函数()sin cos 6f x x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若α是第一象限角，且435f πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，求tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝
⎭的值.
P
A
B
C D
M 图6
18.(本小题满分12分)
为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：[]15,75）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：
()1求月收入在[)35,45内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标； ()2根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入；
()3若从月收入（单位：百元）在[]65,75的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的概率．
19.(本小题满分12分)
如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形, 且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=︒的菱形,M 为PC 的中点. (1) 求证:PC AD ⊥；
(2) 在棱PB 上是否存在一点Q ,使得,,,A Q M D 四点共面? 若存在,指出点Q 的位置并证明；若不存在,请说明理由； (3) 求点D 到平面PAM 的距离.
20.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =, ()()1112
n n n n nS n S ++-+=, n ∈N *
.
（1）求2a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）是否存在正整数k ，使k a ，2k S ， 4k a 成等比数列? 若存在，求k 的值； 若不存
在，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知点()2,1M ,()2,1N -,直线MP ,NP 相交于点P ,且直线MP 的斜率减直线NP 的斜率的差为1.
设点P 的轨迹为曲线E . (1) 求E 的方程；
(2) 已知点()0,1A ,点C 是曲线E 上异于原点的任意一点,若以A 为圆心,线段AC 为半径的圆交y 轴负半轴于点B ,试判断直线BC 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.
22.(本小题满分14分)
已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()
1,1f 处的切线为1y =． （1）求实数a ，b 的值；
（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()2
1g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，
求出m 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）若120x x <<，求证：21
221
2ln ln x x x x x -<-．
2015年漳州市普通高中高三适应性考试5月
高三数学答题卷（文科）
总分：
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

）
13
14
15 16
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：
18．（本小题满分12分）
考室座位号：
数学试题（文科）参考答案和评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分60分．
13．1 14．
34 15．112-或 16． 20152016
三、解答题：本大题共6小题，满分76分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分） （1）解：()sin cos 6f x x x π⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
sin cos
cos sin
cos 6
6
x x x π
π
=-+ …………………1分
31
sin cos 22
x x =
+ ………………………2分 sin cos cos sin
6
6
x x π
π
=+ ……………………3分
sin 6x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. ………………………4分 ∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ………………………5分
（2）解：∵435f πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭， ∴ 4sin 365ππα⎛⎫++= ⎪⎝⎭. ………………………6分 ∴ 4sin 25πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭. ∴ 4cos 5
α=. ……………7分 ∵ α是第一象限角， ∴ 2
3
sin 1cos 5
αα=-=. ……………………8分 ∴ sin 3
tan cos 4
ααα=
=. ……………………9分 ∴ tan tan
4tan 41tan tan 4
π
απαπ
α-⎛⎫
-=
⎪⎝
⎭+⋅ ……………………10分
31
43114
-=+⨯ 1
7=-. …………………12分
18. （本小题满分12分）
【解析】17、解：(1)1-0.01×10×3-0.02×10×2=0.3…………………1分
…………………3分
P A B C D M Q O （2）200.1300.2400.3500.2600.1700.143⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）………5分
即这50人的平均月收入估计为4300元。

……………………6分
（3）[65，75]的人数为5人，其中2人赞成，3人不赞成。

……………7分
记赞成的人为b a ,，不赞成的人为z y x ,, ……………8分
任取2人的情况分别是：,,,,,,,,,,yz xz xy bz by bx az ay ax ab 共10种情况。

……9分
其中2人都不赞成的是：,,,yz xz xy 共3种情况。

…………11分
∴ 2人都不赞成的概率是：310
p =
…………12分 19. （本小题满分12分） 【解析】(Ⅰ)方法一:取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形,
所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OC OP O =I ,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC , 所以AD ⊥平面POC ,又PC ⊂平面POC ,所以PC AD ⊥.………………4分
方法二:连结AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形,
又M 为PC 的中点,所以AM PC ⊥,DM PC ⊥,
又AM DM M =I ,AM ⊂平面AMD ,DM ⊂平面AMD ,
所以PC ⊥平面AMD ,
又AD ⊂平面AMD ,所以PC AD ⊥.………………4分 (Ⅱ)当点Q 为棱PB 的中点时,,,,A Q M D 四点共面,证明如下:………………5分
取棱PB 的中点Q ,连结QM ,QA ,又M 为PC 的中点,所以//QM BC ,
在菱形ABCD 中//AD BC ,所以//QM AD ,所以,,,A Q M D 四点共面.…………7分 (Ⅲ)点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离,
由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD I 平面ABCD AD =,
PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面ABCD ,即PO 为三棱锥P ACD -的体高.……………8分
在Rt POC ∆中
,PO OC ==PC = 在PAC ∆中
,2PA AC ==,
PC =
边PC 上的高
AM ==,
所以PAC ∆
的面积112222
PAC S PC AM ∆=⋅==,………………10分 设点D 到平面PAC 的距离为h ,由D PAC P ACD V V --=得
1133PAC ACD S h S PO
∆∆⋅=
⋅,
又224ACD
S ∆==
所以1
1323
h ⨯⋅=
………11分 解得5h
=, 所以点D 到平面PAM 的距离为5.……………12分
20．（本小题满分12分）
（本小题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）
（1）解：∵11a =, ()()1112n n n n nS n S ++-+=
, ∴2112212
S S ⨯-==. …………………………1分 ∴ 21112123S S a =+=+=. …………………………2分
∴ 2212a S a =-=. …………………………3分
（2）解法1: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=, 得1112
n n S S n n +-=+. ∴ 数列n S n ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭是首项为111S =, 公差为12的等差数列. ∴ ()()1111122
n S n n n =+-=+. ………………………4分 ∴ ()12
n n n S +=. 当2n ≥时, 1n n n a S S -=- ……………………5分
()()1122
n n n n +-=- n =. ……………………7分
而11=a 适合上式，
∴ n a n =. …………………8分
解法2: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=, 得()()112
n n n n n n S S S ++--=， ∴()112
n n n n na S ++-=． ① ………………………4分 当2n ≥时，()()1112
n n n n n a S ----=，② ①-②得()()()()1111122n n n n n n n n na n a S S +-+-----=
-，
∴1n n na na n +-=． …………………5分
∴11n n a a +-=． ……………………６分
∴ 数列{}n a 从第２项开始是以22a =为首项, 公差为1的等差数列. ………７分 ∴ ()22n a n n =+-=. ……………………7分
而11=a 适合上式，
∴ n a n =. ……………………8分
（3）解：由(2)知n a n =, ()12
n n n S +=. 假设存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列,
则224k k k S a a =⋅. ……………………9分
即()222142k k k k +⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦
. ……………………10分 ∵ k 为正整数,
∴()2214k +=.
得212k +=或212k +=-,
解得12k =或32
k =-, 与k 为正整数矛盾. ……………………11分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列. ………………12分
21. （本小题满分12分）
【解析】(Ⅰ)设(),P x y ,依题意得
11122y y x x ---=-+, …………2分 化简得24x y =(2x ≠±),
所以曲线E 的方程为2
4x y =(2x ≠±). ………………4分
(Ⅱ) 结论:直线BC 与曲线E 相切.
证法一:设()00,C x y ,则2004x y =, 圆A 的方程为()()22
220011x y x y +-=+-, ……………6分 令0x =,则,()()()222
2000111y x y y -=+-=+, 因为00,0y y ><,所以0y y =-,点B 的坐标为()00,y -, …………7分
直线BC 的斜率为002y k x =
,直线BC 的方程为0002y y y x x +=, 即000
2y y x y x =-,…………9分 代入24x y =得200024y x x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,即20000840x x y x x y -+=,……………11分
()22000000064441640y x x y y y x ∆=-⋅=-=,
所以,直线BC 与曲线E 相切. ……………………12分
证法二:设()00,C x y ,则2004x y =,
圆A 的方程为()()22
220011x y x y +-=+-, ……………6分 令0x =,则,()()()222
2000111y x y y -=+-=+, 因为00,0y y ><,所以0y y =-,点B 的坐标为()00,y -, ……………7分 直线BC 的斜率为002y k x =
, ……………………9分 由24x y =得214y x =得12y x '=,过点C 的切线的斜率为1012
k x =,……………10分 而200000122142
x y k x x x ⨯===,所以1k k =,……………11分 所以直线BC 与曲线2
4x y =过点C 的切线重合,
即直线BC 与曲线E 相切. ……………………………………12分
22．（本小题满分14分）
（1）解：∵()2ln f x ax b x =-，其定义域为()0,+∞， ∴()2b f x ax x
'=-. …………1分 依题意可得(1)1,(1)20.f a f a b ==⎧⎨'=-=⎩
…………………………2分 解得1,2a b ==. ……………………4分
（2）解：2()()(1)(1)2ln ,(0,1]g x f x x m x m x x x =-+-=--∈，
∴ 22()mx g x m x x
-'=-=. ……………………………5分 ① 当0m ≤时，()0g x '<，则()g x 在(0,1]上单调递减，
∴min ()(1)0g x g ==. ………………………6分
② 当02m <≤时，2()()0m x m g x x -
'=≤，则()g x 在(0,1]上单调递减, ∴min ()(1)0g x g ==. …………………7分
③当2m >时，则20,x m ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；2,1x m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时，()0g x '>， ∴()g x 在20,m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,1m ⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递增. 故当2x m =时，()g x 的最小值为2g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. ∵2(1)0g g m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
. ∴min ()0g x ≠. ………………………8分
综上所述，存在m 满足题意，其取值范围为(,2]-∞. ……………9分
（3）证法1：由（2）知，当1m =时，()12ln g x x x =--在(0,1)上单调递减,
∴ (0,1)x ∈时，()(1)0g x g >=, 即12ln x x ->. ……………………10分 ∵ 120x x <<, ∴ 1201x x <
<. ……………………11分 ∴
112212ln x x x x ->. ……………………………12分 ∴ 12122
2(ln ln )x x x x x ->-. ………………………………13分 ∵ 21ln ln x x >, ∴21221
2ln ln x x x x x -<-. ……………………………14分 证法2：
设2222()2(ln ln )(0)x x x x x x x x ϕ=--+<<， 则2222()1x x x x x x
ϕ-'=-+=. 当2(0,)x x ∈，()0x ϕ'<， ………………………10分
∴()x ϕ在2(0,)x 上单调递减
∴2()()0x x ϕϕ<=. …………………………………11分
∴2(0,)x x ∈时，2222(ln ln )x x x x x -<-. …………………………12分 120x x <<Q ,
∴221212(ln ln )x x x x x -<-. …………………………………13分 21ln ln x x >Q , ∴21
2212ln ln x x x x x -<-. ……………………………14分。