优化方案2017高中数学第二章平面向量2.4.2平面(精)

它们对应坐标的乘积的和， 两个向量的数量积等于______________________ x1x2＋y1y2 即 a· b＝___________ x1x2＋y1y2＝0 a⊥b⇔ ______________
2.三个重要公式
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) )
1．向量垂直的坐标表示 (1)记忆口诀和注意问题 注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要 混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为 0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为 0”． (2)可以解决的问题 应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题．
解：(1)a－b＝(4，0)，|a－b|＝ 42＋02＝4. (2)ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－b＝(4，0)， 因为 ka＋b 与 a－b 垂直， 所以(ka＋b)· (a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)· 0＝0， 解得 k＝3.
1.已知向量 a＝(1， 3)， b＝(2， 5)， c＝(2， 1)， 求： (1)2a· (b－a)； (2)(a＋2b)· c； (3)a· (b· c)．
解：(1)因为 2a＝2(1，3)＝(2，6)，b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1， 2)，所以 2a· (b－a)＝(2，6)· (1，2)＝2×1＋6×2＝14. (2)a＋2b＝(1， 3)＋2(2， 5)＝(1， 3)＋(4， 10)＝(5， 13)， (a＋2b)· c ＝(5，13)· (2，1)＝5×2＋13×1＝23. (3)因为 b· c＝2×2＋5×1＝9，所以 a· (b· c)＝9a＝9(1，3)＝(9， 27)．
探究点二
向量的模
(1)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则 |3a＋b|等于( A． 5 C． 17 ) B． 6 D． 26
(2)已知|a|＝10， b＝(1， 2)， 且 a· b＝10， 则 a 的坐标为________．
[解析]
(1)因为 a∥b，所以 1· y－2×(－2)＝0，
b＝(x，y)(y≠0)，则依题意有
x2＋y2＝1， 3x＋y＝ 3，
1 x＝2， 1 3 解得 故 b＝ ， . 2 2 y ＝ 3， 2
1 答案： ， 2
3 2
4．已知 a＝(1，2)，b＝(－3，2)． (1)求 a－b 及|a－b|； (2)若 ka＋b 与 a－b 垂直，求实数 k 的值．
正确求出这三个 量是求两向量夹 角的关键
利用数量积求两向量夹角的步骤 (1)求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个 向量的数量积． (2)求模：利用|a|＝ x2＋y2计算出这两个向量的模． x1x2＋y1y2 (3)求余弦值： 由公式 cos θ＝ 2 2 2 2直接求出 cos θ 的 x1＋y1 x2＋y2 值． (4)求角：在 0≤θ≤π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
解得 y＝－4，从而 3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝ 5.
(2)设 a
x＋2y＝10， 的坐标为(x，y)，由题意得 2 2 x ＋y ＝10，
x＋2y＝10， 即 2 2 x ＋y ＝100， x＝10， x＝－6， 解得 或 y＝0， y＝8，
3.已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4， y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
解：(1)因为 a∥b，所以 3x＝4×9，所以 x＝12. 因为 a⊥c， 所以 3×4＋4y＝0， 所以 y＝－3， 所以 b＝(9， 12)， c＝(4，－3)．
答案：C
4．若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________.
1 答案：－ 2
5．已知 a＝( 3，1)b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝ ________.
答案：120°
探究点一 则(2a＋b)· a＝( A．－1 C．1 ＝30，则 x＝( A．6 C．4 ) )
所以 a＝(10，0)或 a＝(－6，8)．
[答案] (1)A (2)(10，0)或(－6，8)
本例(1)条件不变，则|2a－b|＝________.
解析：a＝(1，2)，b＝(－2，－4)， 所以 2a－b＝(4，8)， 所以|2a－b|＝4 5.
答案：4 5
求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的 问题． (2)坐标表示下的运算 若 a＝(x，y)，则 a· a＝a2＝|a|2＝x2＋y2， 于是有|a|＝ x2＋y2.
→ ＝λa(λ>0)， (2)由题意可设AB → ＝(2λ，3λ)，又|AB → |＝2 13， 所以AB 所以(2λ)2＋(3λ)2＝(2 13)2， 解得 λ＝2(λ＝－2 舍去)． → 所以AB＝(4，6)，又 A(1，－2)，所以 B(5，4)．
答案：(1)44
(2)(5，4)
探究点三
向量的夹角(垂直)(规范解答)
数量积的坐标运算
(1)(2015· 高考全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， B．0 D．2
(2)若向量 a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)· c B．5 D．3
[解析]
(1)法一：因为 a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
所以 a2＝2，a· b＝－3， 从而(2a＋b)· a＝2a2＋a· b＝4－3＝1. 法二：因为 a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， 所以 2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)， 从而(2a＋b)· a＝(1，0)· (1，－1)＝1，故选 C.
2.(1)若 a＝(－4，3)，b＝(1，2)，则 2|a|2－3a· b＝ ________. → 与 a＝(2， → |＝2 13， (2)已知点 A(1， －2)， 若向量AB 3)同向， |AB 则点 B 的坐标是________．
解析： (1)原式＝ 2a2－ 3a· b＝ 2×(16＋ 9)－ 3×( －4＋ 6)＝ 50－6 ＝44.
(2)因为 a＝(1，1)，b＝(2，5)， 所以 8a－b＝(8，8)－(2，5)＝(6，3)． 又因为(8a－b)· c＝30， 所以(6，3)· (3，x)＝18＋3x＝30， 所以 x＝4.
[答案] (1)C (2)C
数量积坐标运算的两个途径 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利 用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
解析： 选 D.易得 a· b＝2×(－1)＋4×2＝6， 所以 c＝(2， 4)－6(－ 1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝ 82＋（－8）2＝8 2.
3． 已知向量 a＝( 3， 1)， b 是不平行于 x 轴的单位向量， 且 a· b ＝ 3，则向量 b 的坐标为________．
解析：设
(本题满分 12 分)已知三个点 A(2，1)，B(3，2)，D(－1， 4)．
(1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形， 求点 C 的坐标， 并求矩形 ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值．
[解 ]
(1)证明：因为 A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
→ ＝(1，1)，AD → ＝(－3，3)． 所以AB (2 分) → ·AD → ＝1×（－3）＋1×3＝0， AB → ⊥AD → ，所以 AB⊥AD. 所以AB (4 分)
第二章
平面向量
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、
模、夹角
第二章
平面向量
1.掌握平面向量数量积的坐标表示． 2.会用向量的 坐标形式求数量积，向量的模，两向量的夹角． 3．用向量的数量积解决平行与垂直问题．
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数量积 两个向 量垂直
(7 分) → 所以点 C 的坐标为(0，5)．所以AC＝(－2，4)． → ＝(－4，2)， 又BD
→ → → → 所以|AC|＝2 5，|BD|＝2 5，AC·BD＝8＋8＝16. (9 分) → → 设AC与BD的夹角为 θ，则 → ·BD → AC 16 4 cos θ＝ ＝ ＝ . → ||BD → | 2 5× 2 5 5 |AC (11 分) 4 故矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为 . 5 (12 分)
→ ＝AB → ＋AD → 解析：选 A．由四边形 ABCD 为平行四边形，知AC → ·AC → ＝(2，1)· ＝(3，－1)，故AD (3，－1)＝5.
2．已知平面向量 a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若 c＝a－(a· b)b， 则|c|等于( A．4 2 C．8 ) B．2 5 D．8 2
2．区分向量平行与垂直的坐标公式 (1)向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使 有关模(长度)、 角度、 垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单． (2)注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区 别．
1．(2015· 高考广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 → ＝(1，－2)，AD → ＝(2，1)，则AD → ·AC → ABCD 是平行四边形，AB ＝( A．5 C．3 ) B．4 D．2
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)． 设 m、n 的夹角为 θ， －3×7＋（－4）×1 m· n 则 cos θ＝ ＝ |m||n| （－3）2＋（－4）2× 72＋12 －25 2 ＝ ＝－ . 2 25 2 3π 因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝ ， 4 3π 即 m，n 的夹角为 . 4
(2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( (3)向量的模等于向量坐标平方和．(
答案：(1)√ (2)× (3)×
)
2．已知 a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则 a· b 的值是( A．23 B．7 C．－23 D．－7
)
答案：D
3．已知 a＝(2，1)，b＝(－1，－3)，则|a－b|等于( A． 5 B． 7 C．5 D．25 )
利用数量积 为 0，证明向 量垂直
→ → (2)因为AB⊥AD，四边形 ABCD 为矩形， → → 所以AB＝DC.(5 分) → 设点 C 的坐标为(x，y)，则DC＝(x＋1，y－4)．
x＋1＝1， x＝0， → 又因为AB＝(1，1)，所以 解得 y－4＝1， y＝5.