【精品高考数学试卷】2019年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)+答案

2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 1．（5分）若复数12()2ai
a R i
+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A ．1
B ．1-
C ．
16 D ．16
-
2．（5分）已知集合{|34}M x x =-<„，2{|280}N x x x =--„，则( ) A ．M N R =U B ．{|34}M N x x =-<U „ C ．{|24}M N x x =-I 剟
D ．{|24}M N x x =-<I „
3．（5分）已知矩形ABCD 中，24BC AB ==，现向矩形ABCD 内随机投掷质点M ，则满
足0MB MC u u u r u u u u r
g …的概率是( ) A ．
4
π B ．
44
π
- C ．
2
π D ．
2
4
π-
4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[1-，1]上单调递增的是( ) A ．()|sin |f x x = B ．()e x
f x ln
e x
-=+ C ．1
()()2
x x f x e e -=-
D ．2()(1)f x ln x x =+-
5．（5分）在ABC ∆中，三边长分别为a ，2a +，4a +，最小角的余弦值为13
14
，则这个三角形的面积为( )
A ．
15
34
B ．
154 C ．2134 D ．35
34 6．（5分）如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上一点，若13
AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，则实数
t 的值为( )
A ．
23
B ．
25
C ．
16
D ．
34
7．（5分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐
近线方程为1
3
y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(6)1E x y ++=上一点，则
2||||MN MF +的最小值为( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)22
ππ
θ-剟的图象相邻的两个对称中心之间
的距离为
2π，若将函数()f x 的图象向左平移6
π
后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为( ) A ．[,]36
ππ
-
B ．7[,]412ππ
C ．[0，]3π
D ．5[,]26
ππ
9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．2(32162165)π+
B ．162(162165)π+
C ．2(32322325)π+
D ．162(163225)π+
10．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -中的底面为等腰直角三角形，AB AC ⊥，点M ，N 分别是边1AB ，1A C 上动点，若直线//MN 平面11BCC B ，点Q 为线段MN 的中点，则Q 点的轨迹为( )
A ．双曲线的一支（一部分）
B ．圆弧（一部分）
C ．线段（去掉一个端点）
D ．抛物线的一部分
11．（5分）抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且
满足60
AFB
∠=︒，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则|| || AB CD u u
u r
u u u r的最小值为()
A．3B．1C．
23
D．2
12．（5分）已知函数
2
32
36,0
()
34,0
x x x
f x
x x x
⎧-+
=⎨
--+<
⎩
…
，设{|(())0
A x Z x f x a
=∈-…，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为()
A．31B．32C．33D．34
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13．（5分）已知2
1
()n
x
x
+的展开式的各项系数和为64，则展开式中3x的系数为
14．（5分）已知变量x，y满足
240
2
60
x y
x
x y
-+
⎧
⎪
⎨
⎪+-
⎩
„
…
„
，则
1
3
y
z
x
+
=
-
的取值范围是
15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春g长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐g六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春g长沙》与《清平乐g六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有种．（用数字作答）．
16．（5分）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点(,)
P x y的轨迹方程是()
y f x
=，则对函数()
y f x
=有下列判断：①函数()
y f x
=是偶函数；
②对任意的x R
∈，都有(2)(2)
f x f x
+=-③函数()
y f x
=在区间[2，3]上单调递减；④函数()
y f x
=的值域是[0，1]；⑤2
1
()
2
f x dx
π+
=
⎰．其中判断正确的序号是．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分
17．（12分）已知数列{}n a 为等比数列，首项14a =，数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=．
()I 求数列{}n a 的通项公式
（Ⅱ）令1
4
n
n n n c a b b +=
+g ，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分） 已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为15
，点F 在PC 上移动．
（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ． （Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值．
19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布 2.5PM 数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数()AQI ，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量．
（Ⅰ）若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；
（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170，180)内．
组数 分组 天数 第一组 [50，80) 3 第二组 [80，110) 4 第三组
[110，140)
4
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．
20．（12分）设M 点为圆22:4C x y +=上的动点，点M 在x 轴上的投影为N ．动点P 满足
2PN =u u u r u u u r
，动点P 的轨迹为E ．
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）设E 的左顶点为D ，若直线:l y kx m =+与曲线E 交于两点A ，(B A ，B 不是左右顶点），且满足
||||DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标． 21．（12分）已知函数2()8()f x x x alnx a R =-+∈．
()I 当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）当函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且11x ≠时，总有21
111
(43)1alnx t x x x >+--成立，求t 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线221:(3)9C x y +-=，A 是曲线1C 上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C ． （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线5(0)6
π
θρ=
>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点，定点(4,0)M -，求MPQ ∆的
面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|32||22|()f x x a x a R =-+-∈． （Ⅰ）当1
2
a =
时，解不等式()6f x >； （Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式000()34|22|f x x x +>+-都成立，求a 的取值范围．
2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 【解答】解：Q 复数
12(12)(2)22142(2)(2)55
ai ai i a a
i i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴
221455
a a
-+=
，解得16a =． 故选：C ．
【解答】解：Q 集合{|34}M x x =-<„，
2{|280}{|24}N x x x x x =--=-剟?， {|34}M N x x ∴=-U 剟， {|24}M N x x =-<I „．
故选：D ．
【解答】
解：建立如图所示的直角坐标系，则(0,0)B ，(4,0)C ，(0,2)A ，(4,2)D
设(,)M x y ，则(,)MB x y =--u u u r ，(4,)MC x y =--u u u u r
，
由0MB MC u u u r u u u u r
g …
得：22(2)4x y -+…， 由几何概型可得：24184
S p S ππ
-==-
=阴矩
， 故选：B ．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，()|sin |f x x =，为偶函数，不符合题意； 对于B ，()e x f x ln e x -=+，其定义域为(,)e e -，有()()e x e x
f x ln ln f x e x e x
+--==-=--+，为奇函数， 设21e x e
t e x x e
-=
=-+
++，在(,)e e -上为减函数，而y lnt =为增函数， 则()e x
f x ln
e x
-=+在(,)e e -上为减函数，不符合题意； 对于C ，1()()2x x f x e e -=-，有11
()()()()22x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，为奇函数，
且1
()()02
x x f x e e -'=+>，在R 上为增函数，符合题意；
对于D
，())f x ln x =，其定义域为R ，
()))()f x ln x ln x f x -==-=-，为奇函数，
设t x ==
，y lnt =，t 在R 上为减函数，而y lnt =为增函数，
则())f x ln x =在R 上为减函数，不符合题意； 故选：C ．
【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a ，
则22222(4)(2)122013
cos 2(4)(2)2121614a a a a a a a a a α+++-++===++++，解得3a =．
Q 最小角α的余弦值为
13
14
，
∴sin α==
∴11(4)(2)sin 3522ABC S a a α∆=
⨯++=⨯=
． 故选：A ．
【解答】解：由题意及图，()(1)AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴2(1)5
AP mAC m AB =+-u u u r u u u r u u u r ，
又13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以1215
3m t m -=⎧⎪
⎨=⎪⎩，解得56m =，16t =，
故选：C ．
【解答】解：由题意可得26a =，即3a =，
渐近线方程为1
3
y x =±，即有13b a =，
即1b =，可得双曲线方程为2
219
x y -=，
焦点为1(10F -，0)，2F ，(10，0)，
由双曲线的定义可得211||2||6||MF a MF MF =+=+， 由圆22:(6)1E x y ++=可得(0,6)E -，半径1r =， 21||||6||||MN MF MN MF +=++，
连接1EF ，交双曲线于M ，圆于N ，
可得1||||MN MF +取得最小值，且为1||6104EF =+=， 则则2||||MN MF +的最小值为6419+-=． 故选：B ．
【解答】解：函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)22
ππ
θ-剟的图象相邻的两个对称中心之间的
距离为
2
π
， 则：T π=， 所以：2ω=
将函数()f x 的图象向左平移6
π
后， 得到()sin(2)3
g x x π
θ=++是偶函数，
故：
()3
2
k k Z π
π
θπ+=+
∈，
解得：()6
k k Z π
θπ=+∈，
由于：
2
2
π
π
θ
剟，
所以：当0k =时6
π
θ=
．
则()sin(2)6f x x π
=+，
令：
3222()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ++
+
∈剟， 解得：
2()6
3
k x k k Z π
π
ππ++
∈剟， 当0k =时，单调递减区间为：2[,]63
ππ
，
由于72[,][,]41263
ππππ⊂，
故选：B ．
【解答】解：根据几何体的三视图得到：
该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，
故：上面的正方体的表面积为：18S =， 设中间的圆锥展开面的圆心角为n ，
16π=， 解得：
n =，
所以圆锥的展开面的面积为S ==，
所以：中间的圆锥的表面积为2168S π=+-， 同理得：
下面的圆锥的表面积为316S π=+，
所以总面积为：123(32S S S S π=++=+， 故选：A ． 【解答】解：如图
当N 与C 重合，M 与1B 重合时，MN ⊂平面11BCC B ， MN 的中点为O ；
当N 与1A 重合，M 与A 重合时，//MN 平面11BCC B ， MN 的中点为H ；
一般情况，如平面//PQRK 平面11BCC B ，可得点M ，N ， 取MN 的中点D ，作DE KR ⊥于E ， NF KR ⊥于F ，
易知，E 为KR 中点，且D 在OH 上， 故选：C ．
【解答】解：设||AF a =，||BF b =， 由抛物线定义，得||||AF AQ =，||||BF BP = 在梯形ABPQ 中，2||||||CD AQ BP a b ∴=+=+． 由余弦定理得，
22222||2cos60AB a b ab a b ab =+-︒=+- 配方得，22||()3AB a b ab =+-， 又(ab Q „
)2
a b + 2
， 222231
()3()()()44a b ab a b a b a b ∴+-+-+=+…
得到1
||()||2
AB a b CD +=…．
∴||1||AB CD u u u r u u u r …，即||||
AB CD u u u r u u u r 的最小值为1． 故选：B ．
【解答】解：0x A =∈Q ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可． 画出()f x 的图象如下图：
当0x >时，()f x a …；当0x <时，()a f x …
． 即y 轴左侧的图象在y a =下面，y 轴右侧的图象在y a =上面， f Q （3）39189=-⨯+=-，f （4）3162424=-⨯+=-，
32(3)(3)3(3)44f -=---⨯-+=，32(4)(4)3(4)420f -=---⨯-+=， 平移y a =，由图可知：
当249a -<-„时，{1A =，2，3}，符合题意； 0a =时，{1A =-，1，2}，符合题意；
23a 剟时，{1A =，1-，2}-，符合题意； 420a <„时，{1A =-，2-，3}-，符合题意；
∴整数a 的值为23-，22-，21-，20-，19-，18-，17-，16-，15-，14-，13-，12-，
11-，10-，9-，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，
共34个． 故选：D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的 【解答】解：令1x =，可得21
()n x x +的展开式的各项系数和为264n =，6n ∴=，
故22611
()()n x x x x
+=+的展开式的通项公式为3616r r r T C x -+=g ，令363r -=，可得3r =，
故展开式中3x 的系数为3
6
20C =， 故答案为：20．
【解答】解：由变量x ，y 满足240
260x y x x y -+⎧⎪
⎨⎪+-⎩
„…„作出可行域如图：
(2,3)A ，24060
x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩解得8(3B ，10
)3， 1
3
y z x +=
-的几何意义为可行域内动点与定点(3,1)D -连线的斜率． 31
423
DA k +=
=--Q ，101313833
DB
k +==--． 1
3
y z x +∴=
-的取值范围是[13-，4]-． 故答案为：[13-，4]-．
【解答】解：《沁园春g 长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐g 六盘山》，
分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，
由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后．
第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共1
4
4C =（种)选法 第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共5245
2472A A A -=g （种)排法， 第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以2
2
2A =即可，
即六场的排法有4722144⨯÷=（种) 故答案为：144．
【解答】解：当21x --剟
，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的1
4
圆， 当11x -剟
时，P 的轨迹是以B 21
4
圆， 当12x 剟
时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的1
4圆， 当34x 剟
时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的1
4
圆， ∴函数的周期是4．
因此最终构成图象如下：
①，根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数，故①正确；
②，由图象即分析可知函数的周期是4．
即(4)()f x f x +=，即(2)(2)f x f x +=-，故②正确； ③，函数()y f x =在区间[2，3]上单调递增， 故③错误；
④，由图象可得()f x 的值域为[0，2]，故④错误；
⑤
，根据积分的几何意义可知22201111()(2)11182422
f x dx π
ππ=+⨯⨯+⨯=+⎰g ，
故⑤正确． 故答案为：①②⑤．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分 【解答】解：()I 数列{}n a 为等比数列，首项14a =，公比设为q ， 数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=， 即有212223log log log 12a a a ++=，
2123log ()12a a a =，即3
122
2a =， 即有216a =，4q =， 则4n n a =；
（Ⅱ）22log log 4n n b a ==2n n =， 14111
44(1)1
n n n n n n c a b b n n n n +=
+=+=-+++g ， 前n 项和11111
(1)(4164)2231
n n S n n =-
+-+⋯+-+++⋯++ 14(14)
1114n n -=-++-
14413
n n n +-=++． 【解答】证明：（Ⅰ）Q 四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平
面ABCD ，
E 、M 分别是BC 、PD 上的中点， AE PA ∴⊥，AE AD ⊥，
PA AD A =Q I ，AE ∴⊥平面PAD ，
Q 点F 在PC 上移动，AE ∴⊂平面AEF ，
∴无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ．
解：（Ⅱ）直线EM 与平面PAD
，点F 恰为PC 的中点时， 以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB =，AP x =
，则E 0，0)，(0M ，1，)2
x
，
1,)2
x
ME =--u u u r ，平面PAD 的法向量(1n =r ，0，0)，
|||cos ,|||||ME n ME n ME n ∴<>===u u u r r
u u u r g r u u u r r g
解得2x AP ==，
C 1，0)，(0A ，0，0)，(0P ，0，2)
，E 0，0)
，1
,1)2
F ，
AC =u u u r
，AE =u u u r
，1
,1)2
AF =u u u r ，
设平面ACF 的法向量(n x =r
，y ，)z ，
则01
02
n AC y n AF y z ⎧=+=⎪⎨=
++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r
，0)， 设平面AEF 的法向量(m x =r
，y ，)z ，
则01
02
m AE m AF y z ⎧==⎪⎨=
++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取2y =，得(0m =r ，2，1)-， 设二面角C AF E --的平面角为θ，
则||cos ||||m n m n θ===r r
g r r g ．
∴二面角C AF E --
．
【解答】解：（Ⅰ）设重度污染区AQI 的平均值为x ，则 742114521189x ⨯+⨯+=⨯，
解得172x =；
（Ⅱ）①11月份仅有一天AQI 在[170，180)内，则AQI 小于180的天数为18天， 则该校周日去进行社会实践活动的概率为183
305
P =
=； ②由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3；
计算318330204
(0)1015
C P X C ===，
2118123
30459
(1)1015
C C P X C ===g ， 1218123
30297
(2)1015
C C P X C ===g ， 31233055
(3)1015
C P X C ===，
X ∴的分布列为：
X 0
1
2
3 P
2041015 4591015 297
1015
55
1015
数学期望为2044592975512186
()0123101510151015101510155
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯==． 【解答】解：（Ⅰ）设(,)P x y ，0(M x ，0)y ， 则0(N x ，0)，
∴0(,)PN x x y =--u u u r ，0(0,)MN y =-u u u u r
，
Q 2PN =u u u r u u u r ，
0x x ∴=
，0y y =
， 代入圆的方程得，224
43x y +=，
即22143
x y +=， 故动点P 的轨迹为E 的方程为：
22143
x y +=； （Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）知，(2,0)D -， Q ||||DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，
DA DB ∴⊥，
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
由2214
3y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩消去y 得：
222(34)84120k x kmx m +++-=，
∴122
834km
x x k +=-+，212241234m x x k -=+，⋯①
1212()()y y kx m kx m ∴=++
221212()k x x mk x x m =+++，⋯② 由DA DB ⊥得： 1212122
y y
x x ⨯=-++， 即1212122()4y y x x x x -=+++，⋯③
由②③得：221212(1)(2)()40k x x mk x x m ++++++=，⋯④ 把①代入④并整理得：2271640m km k -+=， 得：(72)(2)0m k m k --=，
即2
7
m k =
或2m k =， 故直线l 的方程为2
()7y k x =+，或(2)y k x =+，
当直线l 的方程为2()7y k x =+时，l 过定点2
(,0)7
-；
当直线l 的方程为(2)y k x =+时，l 过定点(2,0)-，这与A ，B 不是左顶点矛盾． 故直线l 的方程为2()7y k x =+，过定点2
(,0)7
-．
【解答】解：()()28a
I f x x x
'=-+，(0)x >，Q 当1x =时，()f x 取得极值，
f ∴'（1）280a =-+=，解得6a =，
此时，2()86f x x lnx =-+，62(1)(3)
()28x x f x x x x
--'=-+
=
， 令()0f x '>，解得：3x >或1x <，令()0f x '<，解得：13x <<， 故()f x 在(0,1)递增，在(1,3)递减，在(3,)+∞递增， 故1x =是极大值点；
()II 当函数()f x 在(0,)+∞内有两个极值点1x ，212()x x x <且11x ≠时，
则2()280u x x x a =-+=在(0,)+∞上有两个不等正根． ∴6480
(0)020a u a x =->⎧⎪
=>⎨⎪=>⎩V ，08a ∴<<． 124x x ∴+=，122
a
x x =
，120x x <<， 214x x ∴=-，121122(4)a x x x x ==-，可得102x <<．
∴
21111(43)1alnx t x x x >+--成立，即111
1112(4)(4)(1)1x x lnx t x x x ->-+-， 即
11112(1)1x lnx t x x >+-，即1111
2(1)01x lnx
t x x -+>-， 即
211111(1)[2]01x t x lnx x x -+>-，且101x <<时，1101x
x >-． 112x <<时，
1101x x <-．即2(1)
()2(02)t x h x lnx x x
-=+<<． 22
2()tx x t
h x x ++'=(02)x <<，
①0t =时，2
()0h x x
'=>．()h x ∴在(0,2)上为增函数，且h （1）0=，
(1,2)x ∴∈时，()0h x >，不合题意舍去．
②0t >时，()0h x '>．同①不合题意舍去． ③0t <时，()i △0„时，解得1t -„，()0h x '„，
在(0,2)内函数()h x 为减函数，且h （1）0=，可得：01x <<时，()0h x >． 12x <<时，()0h x <，
∴2(1)[2]01x t x lnx x x
-+>-成立． ()ii △0>时，10t -<<，()h x '分子中的二次函数对称轴1
1x t =->，开口向下，
且函数值2(1)0t =+>，即1
{a min t
=-，2}，
则(1,)x a ∈时，()0h x '>，()h x 为增函数，h （1）0=，()0h x >，故舍去． 综上可得：t 的取值范围是1t -„． [选修4-4：坐标系与参数方程]
【解答】1解：（Ⅰ）知曲线221:(3)9C x y +-=， 整理得：22699x y y +-+=， 转换为极坐标方程为：6sin ρθ=，
A 是曲线1C 上的动点，以极点O 为中心，
将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C ． 所以得到的直角坐标方程为：22(3)9x y ++=， 转换为极坐标方程为：6cos ρθ=-． （Ⅱ）由于射线5(0)6π
θρ=>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点， 则：15||6sin 36
OQ π
ρ===，
25||6cos
6
OP π
ρ=== 所以：1511
||||sin 4332622MOP S OM OP π∆===g g g g g ，
1511
||||sin 42622
MOQ S OM OQ π∆===g g g g g
所以：3MPQ MOQ MOP S S S ∆∆∆=-=． [选修4-5：不等式选讲]
21 / 21
【解答】解：（Ⅰ）12
a =时，|31||22|6x x -+->， 故131226x x x ⎧⎨-+->⎩…或11331226x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+->⎩或1313226
x x x ⎧⎪⎨⎪-+->⎩„， 解得：95x >或35
x <-， 故不等式的解集是(-∞，39)(55
-⋃，)+∞； （Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式000()34|22|f x x x +>+-都成立， 则00|32|34x a x -+>恒成立， 故023
x a …时，0624x a >+恒成立， 故26243
a a ⨯>+，解得：2a >， 023
x a <时，24a >，解得：2a >， 综上，(2,)a ∈+∞．。