高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第一讲 函数与方程思想课件

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G 高考
(ɡāo kǎo) 突破点3 运用函数(hánshù)与方程思想解决不等
热点突 破
式问题
例3 (1)已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么( )
A．x＋y<0 B．x＋y>0 C．xy<0 D．xy>0
栏
(2)设不等式2x－1>m(x2－1)对满足m∈[－2，2]的一切实
者均值不等式证明 f(x)＜x9＋x6即可．从近几年的高考命题
趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时
要加强训练．本题属于中档题．
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G高 考(ɡāo kǎo)热点 突破
跟踪 (训gē练1n．zō(2n0g1)4·陕西卷)
栏
如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连
＜4（xx＋＋61）－（x＋546）2＝（4x（＋x6）＋31－）2（16x（＋x6＋）12）.
栏
令 g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当 0＜x＜2 时，g′(x)＝3(x
目 链
＋6)2－216＜0.
接
因此 g(x)在(0，2)内是递减函数，又由 g(0)＝0，得 g(x)＜0，
所以 h′(x)＜0.
建不等式或构造函数加以解决．
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G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
破
跟踪
(gēnzōng) 训练2．如果方程(fāngchéng)lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－
x)(a∈R)有解，求实数a的取值范围．
栏 目 链 接
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G高
考(ɡāo
kǎo)热点
突破
考点(kǎo diǎn)自测
1．方程 m＋ 1－x＝x 有解，则 m 的最大值为( A )
A．1
B．0
C．－1
D．－2
栏
目
பைடு நூலகம்
2．(2014·湖南卷)已知f(x)，g(x)分别(fēnbié)是定义
链 接
在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则
f(1)＋g(1)C＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
因此 h(x)在(0，2)内是递减函数，又 h(0)＝0，得 h(x)＜0，于
是当 0＜x＜2 时，f(x)＜x9＋x3.
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G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
证法二 由(1)知 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1－1.
由均值不等式，当 x＞0 时，2 （x＋1）×1＜x＋1
＋1＝x＋2，故 x＋1＜2x＋1.①
(2)证明：当 0＜x＜2 时，f(x)＜x9＋x6.
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G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
解析
(1)由 y＝f(x)过(0，0)点，得 b＝－1. 由 y＝f(x)在(0，0)点的切线斜率为23，
又 y′x＝0＝x＋1 1＋2 x1＋1＋ax＝0＝23＋a，
栏 目 链
得 a＝0.
目
链
续(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函
接
数的解析式为( A )
A．y＝12x3－21x2－x
B．y＝12x3＋12x2－3x
C．y＝14x3－x
D．y＝14x3＋21x2－2x 第十九页，共45页。
G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
破
解析 由题目图象可知：该三次函数过原点，故可设该三 次函数为 y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cx，则 y′＝f′(x)＝3ax2＋
面：
(1)解方程或解不等式；
(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程
栏 目
的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应
链 接
用(yìngyòng)；
(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；
(4)构造方程或不等式求解问题．
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Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
第二页，共45页。
Z主 干考点 (kǎo diǎn) 梳理
栏 目 链 接
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Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
考点(kǎo diǎn)1 函数思想
一般(yībān)地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图
象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、
最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐
即 f(x)＜x9＋x6.
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G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
点评：本题综合考查导数的概念、几何意义、导数
在判断函数单调性与最值中的运用．本题容易忽略函数
f(x)的定义域，根据条件曲线 y＝f(x)与直线 y＝32x 在(0，
栏 目 链
接
0)点相切，求出 a，b 的值，然后，利用函数的单调性或
2bx＋c，由题意得：f′(0)＝－1，f(2)＝0，f′(2)＝3，即
栏
c＝－1， 8a＋4b＋2c＝0，解得
12a＋4b＋c＝3，
a＝12， b＝－12，所以 y＝12x3－12x2－x.
c＝－1，
目 链 接
故选 A.
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G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
破
突破2 运用(yùnyòng)函数与方程思想解决方程问题
(组)，通过(tōngguò)解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到
栏
目
解决．
链
接
2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函
数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二
元方程f(x)－y＝0，通过(tōngguò)方程进行研究，方程f(x)＝a有解，
栏
y2＝4x 没有交点，联立直线与抛物线yy＝2＝k4（x，x＋1）消元可
目 链 接
得 y＝k·y42＋k
k4·y2－y＋k＝0，即该方程无根，则 k≠0
且Δ＝1－k2＜0 k＜－1 或 k＞1，所以 k 的取值范围为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
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栏 目 链 接
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G高 考(ɡāo kǎo)热点 突破
突破点1 运用函数与方程(fāngchéng)思想解决 字母(或式子)的求值或取值范围问题
例 1 设 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b(a，b
∈R，a，b 为常数)，曲线 y＝f(x)与直线 y＝23x 在
栏 目
链
(0，0)点相切．
接
(1)求 a，b 的值；
接
(2)证法一 由(1)知 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1－1.
由均值不等式，当 x＞0 时，2 （x＋1）×1＜x＋1
＋1＝x＋2，故 x＋1＜2x＋1.
记 h(x)＝f(x)－x9＋x6，则
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G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
h′(x)＝x＋1 1＋2 x1＋1－（x＋546）2＝22（＋x＋x＋1）1 －（x＋546）2
触不到(bù dào)过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取
栏
值范围是_(_－__∞_，__－__1_)∪．(1，＋∞)
目 链
接
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Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
解析 根据抛物线的概念可得机器人在以点 F(1，0)为焦
点的抛物线 y2＝4x 上，由题可得直线 y＝k(x＋1)与抛物线
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G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
即－ 1－1－ a≥a＜ 0，0，∴－1＜a≤1.
故 a 的取值范围是(－1，1]．
栏
目
误区警示：本题易忽视 x∈0，π2 ，而将 sin x
链 接
误为属于[－1，1]，而得 a∈－45，1.
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G高 考(ɡāo kǎo)热点 突破
π
例2
如果方程
cos2x－sin
x＋a＝0
在0，
2
上有解，求 a 的取值范围．
栏 目
链
思路点拨：可分离变量为 a＝－cos2x＋sin x，
接
转化为求确定的相关函数的值域．
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G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
破
解法一 把方程变形为 a＝－cos2x＋sin x. 设 f(x)＝－cos2x＋sin xx∈0，π2 .
f(1)
＋
g(1)
＝
1
，
即
f（1）－g（1）＝3， f（1）＋g（1）＝1
接
f（1）＝2， g（1）＝－1
f(1)＋g(1)＝1.故选 C.
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Z主 干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
3. (2014·湖南卷)平面上以机器人在行进中始终保持与 点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接
目 链
等式、解方程以及讨论参数的取值范围(fànwéi)等问题；
接
(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数， 把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化 繁为简的目的．
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Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
2．方程思想在解题中的应用(yìngyòng)主要表现在四个方
栏 目
链
令 k(x)＝ln(x＋1)－x，则 k(0)＝0，k′(x)＝x＋1 1－1
接
＝x－＋x1＜0，故 k(x)＜0，即
ln(x＋1)＜x.②
由①②得，当 x＞0 时，f(x)＜32x. 第十六页，共45页。
G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
记 h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当 0＜x＜2 时，h′(x)＝f(x)
＋
(x
＋
6)f′(x)
－
9
＜
3 2
x
＋
(x
＋
6)
x＋1 1＋2
1 x＋1
－
9
＝
1 2（x＋1）
[3x(x
＋
1)
＋
(x
＋
6)(2
＋
x＋1 ) － 18(x ＋ 1)] ＜
栏 目 链 接
1 2（x＋1）
3x（x＋1）＋（x＋6）3＋x2－18（x＋1）
＝
4（xx＋1）(7x－18)＜0. 因此 h(x)在(0，2)内单调递减，又 h(0)＝0，所以 h(x)＜0，
解法二 令 t＝sin x，由 x∈0，π2 ， 可得 t∈(0，1]．
将方程变为：t2＋t－1－a＝0.
依题意，该方程在(0，1]上有解．
设 f(t)＝t2＋t－1－a，
栏
其图象是开口向上的抛物线，对称轴 t＝－12，如下
目 链 接
图所示．
因此 f(t)＝0 在(0，1]上有解等价于ff（ （01） ）＜ ≥00， ，
栏
目
含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思
链 接
想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．
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Z主 干考点
(kǎo diǎn) 考点(kǎo diǎn)2 方程思想
梳理
1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未
知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程
由原方程可得
解析
x－1>0，
3－x>0， a－x>0， （x－1）（3－x）＝a－x，
① ② ③ ④
栏 目 链 接
由①②得 1<x<3， ∴原方程等价于(x－1)(3－x)＝a－x(1<x<3)，
即 a＝－x2＋5x－3(1<x<3)＝－x－522＋143(1<x<3)，
易求得值域为1，143，故 a 的取值范围是1，143.
当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十
分重要．
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Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
考点3 函数与方程思想在解题(jiě tí)中的应用
可用函数与方程思想解决的相关问题．
1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
栏
(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不
显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时，a＝f(x)有解．
栏
目
∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x
链 接
＝sin
x＋122－45，
由 x∈0，π2 知 sin x∈(0，1]．
易求得 f(x)的值域为(－1，1]．
故 a 的取值范围是(－1，1]．
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G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
第八页，共45页。
Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
解析 分别令 x＝1 和 x＝－1 可得 f(1)－g(1)＝3 和 f(－1)
－g(－1)＝1，因为函数 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函
数和奇函数，所以 f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即 f(－1)－
栏 目
链
g(－ 1)＝ 1
规律方法
研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程
(fāngchéng)解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数
栏 目
构建函数，将方程(fāngchéng)有解转化为求函数的值域；二
链 接
是换元，将复杂方程(fāngchéng)问题转化为熟悉的二次方程
(fāngchéng)，进而利用二次方程(fāngchéng)解的分布情况构
随堂讲义·第一部分 知识复习专题 专题八 思想方法专题
第一讲 函数(hánshù)与方程思想
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高考预测 函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、 解析几何、三角函数(sānjiǎhánshù)等处都可能考到，几乎 大多数年份高考中大题都会涉及到．因此认真体会函数与方
程思想是成功高考的关键．