大庆市2019届高三第一次模拟考试数学(理科)含答案解析
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因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．
4．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的方程是（ ）
A． ﹣ =1B． ﹣ =1C． ﹣ =1D． ﹣ =1
【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y= x，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x轴上，从而可求双曲线的标准方程．
【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），
②若“p∧q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题；故错误．
③“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b= ，
若a=b=c=0，满足b= ，但三个数a，b，c成等比数列不成立，
∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件，正确．
故不正确的是②．
故选：B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题
∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，
∵双曲线的一条渐近线方程为y= x，∴b=2 ，
∴双曲线的方程是 ﹣ =1．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．
5．下列说法中不正确的个数是（ ）
①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；
【解答】解：选项A，
y=x2是偶函数，
当x＞0时，y=x在在（0，+∞）上单调递增，不合题意；
选项B，
y=﹣x3，是奇函数，不合题意；
选项C，
y=﹣ln|x|是偶函数，
当x＞0时，y=﹣lnx在在（0，+∞）上单调递减，符合题意；
选项D，
y=2x，不是偶函数，递增，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题．
6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题
①α∥β=l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥m⇒α∥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③D．②④
【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；
【解答】解：∵集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|x＜a}，A∩B=A，
∴a≥2，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
2．若复数x满足x+i= ，则复数x的模为（ ）
A． B．10C．4D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由新定义计算定积分可将问题转化为g（x）=x3+2x﹣ 在x∈[﹣1，1]上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得．
【解答】解：由题意可得 （x3+2x）dx=（ x4+x2） = ，
∴函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x= 在[﹣1，1]上根的个数，
所以真命题为①③．
故选C．
【点评】本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．
7．记定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（x0）= 成立，则称x0为函数f（x）在[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为（ ）
由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．
【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；
【解答】解：x+i= ，
∴x= ﹣i=﹣1﹣3i，
∴|x|= ，
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
3．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（ ）
A．y=x2B．y=﹣x3C．y=﹣ln|x|D．y=2x
【分析】本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论．
]上的零点个数，
求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，
由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．
故选：A．
【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．
②若“p∧q”为假命题，则p、q均为假命题；
③“三个数a，b，c成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件．
A．OB．1C．2D．3
【分析】①根据含有量词的命题的否定判断．②根据复合命题与简单命题之间的关系判断．③根据充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：①全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”正确．
黑龙江省大庆市2019年高考数学一模试卷（理科）（解析版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）
【分析】化简A，再根据A∩B=A，求得实数a的取值范围．
8．（5分）（2019呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（ ）
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．
4．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的方程是（ ）
A． ﹣ =1B． ﹣ =1C． ﹣ =1D． ﹣ =1
【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y= x，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x轴上，从而可求双曲线的标准方程．
【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），
②若“p∧q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题；故错误．
③“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b= ，
若a=b=c=0，满足b= ，但三个数a，b，c成等比数列不成立，
∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件，正确．
故不正确的是②．
故选：B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题
∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，
∵双曲线的一条渐近线方程为y= x，∴b=2 ，
∴双曲线的方程是 ﹣ =1．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．
5．下列说法中不正确的个数是（ ）
①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；
【解答】解：选项A，
y=x2是偶函数，
当x＞0时，y=x在在（0，+∞）上单调递增，不合题意；
选项B，
y=﹣x3，是奇函数，不合题意；
选项C，
y=﹣ln|x|是偶函数，
当x＞0时，y=﹣lnx在在（0，+∞）上单调递减，符合题意；
选项D，
y=2x，不是偶函数，递增，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题．
6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题
①α∥β=l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥m⇒α∥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③D．②④
【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；
【解答】解：∵集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|x＜a}，A∩B=A，
∴a≥2，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
2．若复数x满足x+i= ，则复数x的模为（ ）
A． B．10C．4D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由新定义计算定积分可将问题转化为g（x）=x3+2x﹣ 在x∈[﹣1，1]上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得．
【解答】解：由题意可得 （x3+2x）dx=（ x4+x2） = ，
∴函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x= 在[﹣1，1]上根的个数，
所以真命题为①③．
故选C．
【点评】本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．
7．记定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（x0）= 成立，则称x0为函数f（x）在[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为（ ）
由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．
【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；
【解答】解：x+i= ，
∴x= ﹣i=﹣1﹣3i，
∴|x|= ，
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
3．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（ ）
A．y=x2B．y=﹣x3C．y=﹣ln|x|D．y=2x
【分析】本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论．
]上的零点个数，
求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，
由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．
故选：A．
【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．
②若“p∧q”为假命题，则p、q均为假命题；
③“三个数a，b，c成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件．
A．OB．1C．2D．3
【分析】①根据含有量词的命题的否定判断．②根据复合命题与简单命题之间的关系判断．③根据充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：①全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”正确．
黑龙江省大庆市2019年高考数学一模试卷（理科）（解析版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）
【分析】化简A，再根据A∩B=A，求得实数a的取值范围．
8．（5分）（2019呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（ ）