大学物理课件24功动能势能机械能守恒定律
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守恒定律的意义
Ep Ek
不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各 个守恒定律的特点和优点 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
21
完全弹性碰撞
（五个小球质量全同）
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
22
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，
B
d ( A ) 2 AdA
2
A m r (t) dr M r (t dt )
O
d ( A A) 2 A d A A d A AdA
r dr 同理 r dr rdr r0 dr r dr rB Mm Mm Mm A G 2 dr [(G ) (G )] rA r rB rA
Mm Ep G r 弹性势能
1 2 Ep kx 2
A ( Ep2 Ep1 ) EP
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
15
讨论
势能是状态函数
Ep Ep ( x, y, z )
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
势能是属于系统的 .
势能计算
A (Ep Ep0 ) Ep
A12 Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理 仅适用于惯性系 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
13
例2.10 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t ＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4t N 的作用下运动了3s，它的速度增为多大？(2)物体在 力F＝3＋4x N的作用下移动了3m，它的速度增为多 大？ 解 (1)由动量定理 Fdt mv ，得
(2)因为由原点到点(2,4)的直线方程为y＝2x，所以
A f x dx f y dy (4 x x )dx
2 2 0 0 0 2 4 2 4 0
3 2 y dy 40 J 2
(3)因为 y x2 ，所以
A
2
0
2 ( x x )dx 3 y dy 42 J 0 15
P Fv cos
功率的单位 （瓦特） 1W 1J s 1 1kW 103 W
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
4
3 保守力的功 1） 重力的功 质量为m的质点在重力G作用 下由A点沿任意路径移到B点。 重力G只有z方向的分量
Fz mg
解
(1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)，此时y＝0， dy＝0，所以
A1 Fx dx
0
4 4 0 0
2
2
0
8 ( x )dx J 3
2
A2 Fy dy 6 ydy 48 J
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
11
1 A A1 A2 45 J 3
O
M 对 m 的万有引力为
m 移动 dr 时，F作元功为
Mm dA F dr G 2 r 0 dr r
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
B
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
6
Mm A F dr G 2 r 0 dr A r 2 d ( A ) d ( A A)
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
20
五
机械能守恒定律
功能原理
当
A外 A内非 (Ek2 Ep2 ) (Ek1 Ep1 )
A外 A 内非 0 时，有 E E0
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下， 质点系的机械能保持不变 .
Ep2 Ep1 ( Ek2 Ek1 )
C A
D B
C A
D B
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
23
讨 论
下列各物理量中，与参照系有关的物 理量是哪些？ （不考虑相对论效应）
1）质量
4）动能
2）动量
5）势能
3）冲量
6） 功
答：动量、动能、功 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
14
三 势能 势能曲线 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
A重 (mgz mgz0 )
引力功
Mm Mm A引 [(G ) (G )] r r0 弹力功
Ep mgz
引力势能
1 2 1 2 A弹 ( kx kx0 ) 2 2
保守力的功
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
j
n 1
m1
m2
Fi内
Fi外
1 1 2 mi vi 2 mi vi21 2 2
对所有质点求和可得
mi
i 1
n
2
1
n 1 1 2 F i外 dr i f ji dr i mi vi 2 mi vi21 i 1 j i 1 2 i 1 2
n
n 1
Ep
O
Ep
r
O
y
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
y 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
17
四 质点系的动能定理与功能原理 对第 i 个质点，有
2
1
F i外 d r i f ji d r i
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
25
例2.13 在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱， 一颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧击入，在 沙箱中前进一段距离l后停止.在这段时间内沙箱向 右运动的距离为 ，此后沙箱带着弹丸以匀速运动. 求此过程中内力所做的功.(假定子弹所受阻力为一 恒力) 解 设子弹对沙箱作 用力为f′；沙箱对 子弹作用力为f 则这一对内力的功
Ep0 0
令
Ep0 0 Ep ( x, y, z )
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
( x, y , z )
F dr
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
16
势能曲线:由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线.
Ep mgy
Ep
1 2 Ep kx 2
Mm Ep G r
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
kxdx 0
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
8
保守力和非保守力 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 引力功 重力功 弹力功
Mm Mm A (G ) (G ) rB rA
A (mgz mgz0 )
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
1
一 1.功
功 功率
力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与 位移大小的乘积 . （功是标量，过程量）
A F r cos
2 , dA 0
, dA 0 2 F dr dA 0
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
ACB
F dr
1 2 1 2 A ( kx kx0 ) 2 2
ADB
A
D
C
F dr
B
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
ACB F dr ADB F dr A F dr F dr F dr
0
t
t
3 3 4t F v dt dt 2.7 m / s 0 m 0 10 x (2)由动能定理 Fdx 1 mv 2 ，得
0
2
v
x
0
2F dx m
3
0
2(3 4 x) dx 2.3 m / s 10
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
10
例2.9 质点所受外力 F ( y 2 x2 )i 3xyj ，求质点由点 (0,0)运动到点(2,4)的过程中力F所做的功：(1)先沿x 轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行y轴由点(2,0)运动 到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线；(3)沿 抛物线 y x2 由点(0,0)到点(2,4)(单位为国际单位制).
4 2 4
3 2
可见题中所示力是非保守力.
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
12
二 动能定理
动能定理 合外力对质点所作的功, 等于质点动能的增量 .
d ( mv ) dA F dr vdt mv dv dt v2 1 1 1 2 2 2 A d( mv ) mv2 mv1 v1 2 2 2 2 1 p 动能（状态函数） Ek mv 2 2 2m
19
功能原理
A Ep ( Ep 2 Ep1 ) 内保
Ep表示势能总和
A外 A 内非 ( Ek2 Ek1 ) ( Ep2 Ep1 )
机械能
E Ek Ep
A外 A内非 E2 E1
质点系的功能原理:系统机械能的增量等于外力 的功与内部非保守力功之和
l ACB BDA
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
9
C
D
l
F保 dr 0
A
B
C
D
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 . 保守力: 力所作的功与路径无关 .
B
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
B
r (t )
dr
r (t dt )
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
7
3 ） 弹簧弹性力的功 F
F F
o x0
dA
x x
x x0
O
x0
x x0
dx
x
x
F kxi
A Fdx kxdx
A
1 2 1 2 A ( kx kx0 ) 2 2
物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 B、C、D 组成的系统 （A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .
n
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
18
质点系动能定理
A外 A Ek2 Ek1 内非 A 内保
质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保 守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。
注意
内力可以改变质点系的动能
第2章 运动定律与力学中的恒定律
A Fz dz mgdz (mgz mgz0 )
z0 z0
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
z
z
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
5
2） 万有引力的功 以M
m 的位置矢量为 r . 为参考系，
Mm F G 2 r 0 r
A m d r r (t) M r (t dt )
24
六
能量转换与守恒定律
在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各 种形式的能量之间无论怎样转换，但系统的总能量将 保持不变.这就是能量转换与守恒定律. 1）生产斗争和科学实验的经验总结；
2）能量是系统状态的函数；
3）系统能量不变, 但各种能量形式可以互相转化；
4）能量的变化常用功来量度 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
2
变力的功
b a
dA F dr
b b a a
A F dr F cos | dr | F ds
合力的功 = 分力的功的代数和
A Fi dr Fi dr Wi
i F Fxi Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
A
F dx F dy F dz
x y z
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
3
功的大小与参照系有关
功的量纲和单位 dim W ML T
2 2
1J 1N m
2.功率
平均功率
A P t
瞬时功率
A dA P lim F v t 0 t dt
Ep Ek
不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各 个守恒定律的特点和优点 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
21
完全弹性碰撞
（五个小球质量全同）
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
22
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，
B
d ( A ) 2 AdA
2
A m r (t) dr M r (t dt )
O
d ( A A) 2 A d A A d A AdA
r dr 同理 r dr rdr r0 dr r dr rB Mm Mm Mm A G 2 dr [(G ) (G )] rA r rB rA
Mm Ep G r 弹性势能
1 2 Ep kx 2
A ( Ep2 Ep1 ) EP
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
15
讨论
势能是状态函数
Ep Ep ( x, y, z )
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
势能是属于系统的 .
势能计算
A (Ep Ep0 ) Ep
A12 Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理 仅适用于惯性系 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
13
例2.10 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t ＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4t N 的作用下运动了3s，它的速度增为多大？(2)物体在 力F＝3＋4x N的作用下移动了3m，它的速度增为多 大？ 解 (1)由动量定理 Fdt mv ，得
(2)因为由原点到点(2,4)的直线方程为y＝2x，所以
A f x dx f y dy (4 x x )dx
2 2 0 0 0 2 4 2 4 0
3 2 y dy 40 J 2
(3)因为 y x2 ，所以
A
2
0
2 ( x x )dx 3 y dy 42 J 0 15
P Fv cos
功率的单位 （瓦特） 1W 1J s 1 1kW 103 W
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
4
3 保守力的功 1） 重力的功 质量为m的质点在重力G作用 下由A点沿任意路径移到B点。 重力G只有z方向的分量
Fz mg
解
(1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)，此时y＝0， dy＝0，所以
A1 Fx dx
0
4 4 0 0
2
2
0
8 ( x )dx J 3
2
A2 Fy dy 6 ydy 48 J
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
11
1 A A1 A2 45 J 3
O
M 对 m 的万有引力为
m 移动 dr 时，F作元功为
Mm dA F dr G 2 r 0 dr r
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
B
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
6
Mm A F dr G 2 r 0 dr A r 2 d ( A ) d ( A A)
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
20
五
机械能守恒定律
功能原理
当
A外 A内非 (Ek2 Ep2 ) (Ek1 Ep1 )
A外 A 内非 0 时，有 E E0
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下， 质点系的机械能保持不变 .
Ep2 Ep1 ( Ek2 Ek1 )
C A
D B
C A
D B
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
23
讨 论
下列各物理量中，与参照系有关的物 理量是哪些？ （不考虑相对论效应）
1）质量
4）动能
2）动量
5）势能
3）冲量
6） 功
答：动量、动能、功 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
14
三 势能 势能曲线 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
A重 (mgz mgz0 )
引力功
Mm Mm A引 [(G ) (G )] r r0 弹力功
Ep mgz
引力势能
1 2 1 2 A弹 ( kx kx0 ) 2 2
保守力的功
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
j
n 1
m1
m2
Fi内
Fi外
1 1 2 mi vi 2 mi vi21 2 2
对所有质点求和可得
mi
i 1
n
2
1
n 1 1 2 F i外 dr i f ji dr i mi vi 2 mi vi21 i 1 j i 1 2 i 1 2
n
n 1
Ep
O
Ep
r
O
y
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
y 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
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四 质点系的动能定理与功能原理 对第 i 个质点，有
2
1
F i外 d r i f ji d r i
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
25
例2.13 在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱， 一颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧击入，在 沙箱中前进一段距离l后停止.在这段时间内沙箱向 右运动的距离为 ，此后沙箱带着弹丸以匀速运动. 求此过程中内力所做的功.(假定子弹所受阻力为一 恒力) 解 设子弹对沙箱作 用力为f′；沙箱对 子弹作用力为f 则这一对内力的功
Ep0 0
令
Ep0 0 Ep ( x, y, z )
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
( x, y , z )
F dr
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
16
势能曲线:由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线.
Ep mgy
Ep
1 2 Ep kx 2
Mm Ep G r
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
kxdx 0
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
8
保守力和非保守力 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 引力功 重力功 弹力功
Mm Mm A (G ) (G ) rB rA
A (mgz mgz0 )
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
1
一 1.功
功 功率
力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与 位移大小的乘积 . （功是标量，过程量）
A F r cos
2 , dA 0
, dA 0 2 F dr dA 0
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
ACB
F dr
1 2 1 2 A ( kx kx0 ) 2 2
ADB
A
D
C
F dr
B
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
ACB F dr ADB F dr A F dr F dr F dr
0
t
t
3 3 4t F v dt dt 2.7 m / s 0 m 0 10 x (2)由动能定理 Fdx 1 mv 2 ，得
0
2
v
x
0
2F dx m
3
0
2(3 4 x) dx 2.3 m / s 10
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
10
例2.9 质点所受外力 F ( y 2 x2 )i 3xyj ，求质点由点 (0,0)运动到点(2,4)的过程中力F所做的功：(1)先沿x 轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行y轴由点(2,0)运动 到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线；(3)沿 抛物线 y x2 由点(0,0)到点(2,4)(单位为国际单位制).
4 2 4
3 2
可见题中所示力是非保守力.
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
12
二 动能定理
动能定理 合外力对质点所作的功, 等于质点动能的增量 .
d ( mv ) dA F dr vdt mv dv dt v2 1 1 1 2 2 2 A d( mv ) mv2 mv1 v1 2 2 2 2 1 p 动能（状态函数） Ek mv 2 2 2m
19
功能原理
A Ep ( Ep 2 Ep1 ) 内保
Ep表示势能总和
A外 A 内非 ( Ek2 Ek1 ) ( Ep2 Ep1 )
机械能
E Ek Ep
A外 A内非 E2 E1
质点系的功能原理:系统机械能的增量等于外力 的功与内部非保守力功之和
l ACB BDA
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
9
C
D
l
F保 dr 0
A
B
C
D
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 . 保守力: 力所作的功与路径无关 .
B
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
B
r (t )
dr
r (t dt )
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
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3 ） 弹簧弹性力的功 F
F F
o x0
dA
x x
x x0
O
x0
x x0
dx
x
x
F kxi
A Fdx kxdx
A
1 2 1 2 A ( kx kx0 ) 2 2
物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 B、C、D 组成的系统 （A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .
n
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
18
质点系动能定理
A外 A Ek2 Ek1 内非 A 内保
质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保 守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。
注意
内力可以改变质点系的动能
第2章 运动定律与力学中的恒定律
A Fz dz mgdz (mgz mgz0 )
z0 z0
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
z
z
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
5
2） 万有引力的功 以M
m 的位置矢量为 r . 为参考系，
Mm F G 2 r 0 r
A m d r r (t) M r (t dt )
24
六
能量转换与守恒定律
在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各 种形式的能量之间无论怎样转换，但系统的总能量将 保持不变.这就是能量转换与守恒定律. 1）生产斗争和科学实验的经验总结；
2）能量是系统状态的函数；
3）系统能量不变, 但各种能量形式可以互相转化；
4）能量的变化常用功来量度 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
2
变力的功
b a
dA F dr
b b a a
A F dr F cos | dr | F ds
合力的功 = 分力的功的代数和
A Fi dr Fi dr Wi
i F Fxi Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
A
F dx F dy F dz
x y z
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
3
功的大小与参照系有关
功的量纲和单位 dim W ML T
2 2
1J 1N m
2.功率
平均功率
A P t
瞬时功率
A dA P lim F v t 0 t dt