工程数学(线性代数与概率统计)答案(1章)

工程数学（线性代数与概率统计）
习题一
一、 1.
5)1(122211
2=-⨯-⨯=-；
2.
1)1)(1(1
11232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x ；
3.
b a ab b
a
b a 222
2
-=
4.5361582732559841
31
11=---++=
5.比例）第一行与第三行对应成(,00
000
0=d
c b
a
6.1866627811
32213
3
21=---++=。

二．求逆序数 1. 55
1243
1
2
2
=↓↓↓↓↓τ即 2. 52
134
2
3
=↓↓↓↓τ即
3. 2
)
1(12)2()1(1
2)1(0
1
)
2()
1(-=
+++-+-=-↓↓-↓-↓n n n n n n
n n ΛΛ
τ即 4.
2
)1(*
2]12)2()1[()]1(21[2
4)22()2()12(310
1
2
1
1
1
-=+++-+-+-+++=--↓↓-↓-↓-↓↓↓n n n n n n n n n n n ΛΛΛ
Λ
τ
三．四阶行列式中含有2311a a 的项为4234231144322311a a a a a a a a +- 四．计算行列式值
1.
07
1
1
08517002
02145
9001577
1
1
202150202142701047
110
0251020214214
43412321=++------r r r r r r r r
2.
310
0100001
0111130
11110111101111130
1131013110311130
1111011110111104
321-=---⋅
=⋅
=+++c c c c
3.abcdef adfbce ef cf bf de cd bd
ae ac ab
4111
111
1
11=---=--- 4.
d
c
d
c
b
a d
c
b a
10
10
1110
11
110
1
10011001--------按第一行展开 ad cd ab d
c d
a
d
c ab
+++=-+
---=)1)(1(11
1111
5.
b
a c c
b
c a b a a c b a c c b c a b a a b b a c c c b c a b b a a a b
a c c c
b
c a b b a a c b a --------------=------202022202022222222222222 其中
)
3)(()(3522)
(22)(1222122
2122)
(22020
222020
22222220222200222202222222222222ac ab a c a b a ab abc b
a c c a
a c a
b b a a b a ab
c b
a c c a
a c a b
c c b b a a
a c
c b b a a
c c
c b b b a
a a
b a
c c b c b a
a b a c c b a b a a b a c c c b b b a a a b a c c c b c a b b a a a ++++++=--+-+-=--+---=--------=----其余同法可求。

方法2:
c
c
c a b b a
b
a c c b
b
a
b
a c c
b c a b c b a b
a c c c
b
c a b b a a c b a 2222222222)
(222222--+---------=------
6.
2701
1
2
3
840553004222321502
321353*********
312=-----+++-----r r r r r r
7.)!2(22
00001002222
0001)2(222232222222
2212-⨯-=--≠-n n i r r n
i Λ
M O M M M Λ
ΛΛ
Λ
M O M M M ΛΛΛ
8.
2
211
11
)1()1(00010000000000)1(000000000000001000000100--+-+--=--+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a
a a a Λ
ΛM M O
M M ΛΛΛ
ΛM M O M M ΛΛΛ
ΛM
M O M M ΛΛ按第一行展开
五．证明下列等式
322322232122)(1
1
1
)(20)(021
1
1
22)(01
1
1
22b a a b a b a b a b a ar r b b a a a b a b a r a r b b a a b ab a -=-----+---+.2
222
22
2
22
222122
2
22
222222222222)3()2(12)3()2(12)3()2(12)3()2(12)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++-++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a c c d d d d c c c c b b b b a a a a 03
21232123
2123
212229
64412964
412964
4129644122
2
22
24232
2
22
1413=++++--++++++++++++--d d c c b b a a c c c c d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c
3.
n
n n n n n n n n
n n n n n n n a xD a xD a x a a a a x x x a x a a a a x x x x x a x a a a a x x x x D +=-⋅-⋅+=+---+
+---+---=
--+---------121111
2
3
2
1
2
32
1
1
2
21
)1()1(1000000000100001010
000000
001
0001100000000
01
00001ΛΛM M O
M M M ΛΛΛΛ
ΛM M O M M M Λ
Λ
ΛΛ
ΛM M O M M M ΛΛ
Λ按第一行展开同理 11--+=k k k a xD D ，返回代入得
n n n n n n n n n n a x a x a x a a xD x a xD D ++++==++=+=-----111121)(ΛΛ
六、计算下列各式
1. 设321,,x x x 为方程03
=++q px x 的三个根， 则由三次方程根的性质
023=+++d cx bx ax
,/321a b x x x -=++ a d x x x /321-=， a c x x x x x x /313221=++
得03
=++q px x 的三个根满足：,0321=++x x x q x x x -=321
所以033)(33213213213
332311
32213
3
21
=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x 。

2. x
x x x x x f 2112323
21
01)(=
中3
x 的系数为-1.
3.求c
d
b a a
c b
d
a d
b
c
d c b
a D =
的44342414A A A A +++的值，
01
1
1
144342414==
+++d b a c b
d
d b c c b
a A A A A
4.求x a a a x a a a x D Λ
M
O M M Λ
Λ
=
的nn n n A A A +++Λ21的值，
1
21)(1
11
1
0000
00
00)(1
111--=---≠-=+++n n i nn n n a x a x a x a x n i ar r a x a a a a x a a a a x A A A Λ
ΛM M
O M M ΛΛΛ
ΛM M O
M M Λ
Λ
Λ七.计算行列式值 1.
1
1
2
1
12
1
212
1212
12121))((0000)
,,2(-======--=---=------+---=
∑∑∑∑∑∑n n
i i n
n
i i
i n n i i
n n
i i
n n
i i
n j j n n
n
n m m x m
m x x m
x
n i r r m
x x m
x
x m x m x
x x m
x c c m
x x x x m
x x x x m x D Λ
M O M M ΛΛ
ΛΛ
M O M M
Λ
Λ
Λ
M O M M ΛΛ
2.
1
1
00
000110000111321!1
1100
000
220000111321----------=Λ
M M O M M M ΛΛ
ΛΛ
M M O M M M Λ
ΛΛn n n n n n n D n ）（各行提出公因子
2
)!
1()1(!12)1()1()
1(!11
000100
00010
12!
1)1,,1(11
1
1
3
2
1
1+-=-+-=--=------=+--=-===+∑∑∑∑n n n n k n n n k
k k n n j c c n n n
k n n
k n
k n
k j j ）（）（）（Λ
M M O M M M ΛΛ
ΛΛ 3.
1
21
21
2200)1(00-+--+=
n n n n c
d c d
c b a b
a
b d
d
c d
c b a b a a
d
c
d
c b a b
a D O N N
O
O
N N O
O N N
O
按第一行展开2222---=n n bcD adD ,同理4222)(---=n n D bc ad D ，…，bc ad d
c b a D -==
2，
所以n
n bc ad D )(2-=
4.
n
n
n
i n n a a a a a a a a a a a a n i r r a a a D Λ
M O M M ΛΛΛ
M
O M M ΛΛ
Λ
M O M M ΛΛΛΛM O M M ΛΛ011
00011
10
111)
,,2(1111111111
21121
21
1121--+=
--+=-+++=
八．克莱姆法则解方程
1. ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=+-=++321202z y x z y x z y x
解：
82
11112121-=--=D 42
131111201=--=D 42
311121012==D 123
111120
213-=--=D
即2/3,2/1,2/1=-=-=z y x ；
2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-3
37133443243242
14324321x x x x x x x x x x x x x
解：
161370103111104321=----=
D ， 1281
3731031
111343241-=------=
D
481330101
1113043412=----=
D 961
3
7011
3
1
1310442
13=-----=
D
03
3
7
0103
1
3
11043214=-----=
D ，0,6,3,84321===-=x x x x
九．参数μλ,取值使⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
200
321
321321x x x x x x x x x μμλ有非零解，
当0)1(1
2111
1
1=--==λμμμλ
D 即0=μ或1=λ时，方程组有非零解。